全序关系





全序关系即集合X{displaystyle X}X上的反对称的、传递的和完全的二元关系（一般称其为≤{displaystyle leq }leq）。


若X{displaystyle X}X满足全序关系，则下列陈述对于X{displaystyle X}X中的所有a,b{displaystyle a,b}a,b和c{displaystyle c}c成立：



  • 反对称性：若a≤b{displaystyle aleq b}{displaystyle aleq b}且b≤a{displaystyle bleq a}{displaystyle bleq a}则a=b{displaystyle a=b}{displaystyle a=b}

  • 传递性：若a≤b{displaystyle aleq b}{displaystyle aleq b}且b≤c{displaystyle bleq c}{displaystyle bleq c}则a≤c{displaystyle aleq c}{displaystyle aleq c}

  • 完全性：a≤b{displaystyle aleq b}{displaystyle aleq b}或b≤a{displaystyle bleq a}{displaystyle bleq a}


满足全序关系的集合叫做全序集合、线性序集合、简单序集合或链。
链还常用来描述偏序集合的全序子集。


全序关系的完全性可以如下这样描述：集合中的任何一对元素都是可相互比较的。


注意完全性条件蕴涵了自反性：a≤a{displaystyle aleq a}{displaystyle aleq a}，因此全序关系也是（满足“完全性”条件的）偏序关系。




目录






  • 1 严格全序


  • 2 例子


  • 3 参见


  • 4 引用





严格全序


对于每一（非严格）全序关系≤都有一关联的非对称的严格全序关系<，它可以以一下两种等价的方式定义：




  • a<b{displaystyle a<b}{displaystyle a<b}当且仅当a≤b{displaystyle aleq b}{displaystyle aleq b}且a≠b{displaystyle aneq b}{displaystyle aneq b}


  • a>b{displaystyle a>b}{displaystyle a>b}当且仅当¬(b≤a){displaystyle neg (bleq a)}{displaystyle neg (bleq a)}（即>{displaystyle >}>为≤{displaystyle leq }leq的逆补关系）


性质：




  • 传递性：a<b{displaystyle a<b}{displaystyle a<b}且b<c{displaystyle b<c}{displaystyle b<c}蕴涵a<c{displaystyle a<c}{displaystyle a<c}。


  • 三分性：a<b{displaystyle a<b}{displaystyle a<b}, b<a{displaystyle b<a}{displaystyle b<a}和a=b{displaystyle a=b}{displaystyle a=b}中有且仅有一个成立。

  • 弱序性：其中关联的等价是相等的。


我们可以通过指定<{displaystyle <}<为三分二元关系，用这两种等阶的方式来定义全序≤{displaystyle leq }leq：




  • a≤b{displaystyle aleq b}{displaystyle aleq b}当且仅当a<b{displaystyle a<b}{displaystyle a<b}或a=b{displaystyle a=b}{displaystyle a=b}


  • a≤b{displaystyle aleq b}{displaystyle aleq b}当且仅当¬(b<a){displaystyle neg (b<a)}{displaystyle neg (b<a)}


另两个关联的关系是补关系≥{displaystyle geq }geq和>{displaystyle >}>，它们构成了四元组{<,>,≤,≥}{displaystyle {<,>,leq ,geq }}{displaystyle {<,>,leq ,geq }}。


我们可以用这四个关系中的任何一个来定义全序集，符号指明了全序集的严格性。



例子




  • 字典序的字母表，比如A<B<C{displaystyle A<B<C}{displaystyle A<B<C}等等。

  • 全序集的任何保持原次序不变的子集。

  • 满足完全性的偏序集。


  • 基数或序数集（严格地说，它们都是良序集）。

  • 若X{displaystyle X}X为任何集合，f{displaystyle f}f为X{displaystyle X}X到一全序集的单射，则f{displaystyle f}f诱导X{displaystyle X}X为x1<x2{displaystyle x_{1}<x_{2}}{displaystyle x_{1}<x_{2}}当且仅当f(x1)<f(x2){displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}{displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}的全序集。

  • 有序数的全序集的直积的字典序是全序的，例如按字典序排序的任何单词表——长为n{displaystyle n}n的单词可视为字母表集合的直积自乘n{displaystyle n}n次所得结果集合中的元素。

  • 拥有小于（<{displaystyle <}<）和大于关系（>{displaystyle >}>）的实数集是全序的，因此其子集（自然数集、整数集、有理数集等）均为全序集。

    • 自然数集是最小的无上界全序集。

    • 整数集是最小的无界全序集。

    • 有理数集是最小的无界稠密全序集。

    • 实数集是最小的无界连通全序集。





参见



  • 二元关系

  • 偏序关系



引用



  • George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0

  • John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4




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