Mixing
克罗内克δ函数
在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）δij{displaystyle delta _{ij},!}
δij={1(i=j)0(i≠j){displaystyle delta _{ij}=left{{begin{matrix}1&(i=j)\0&(ineq j)end{matrix}}right.,!}。
克罗内克函数的值一般简写为 δij{displaystyle delta _{ij},!}
克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。
目录
1 其它记法
2 数字信号处理
3 性质
3.1 线性代数中的应用
4 廣義克羅內克函數
5 积分表示
6 参见
7 參考文獻
其它记法
另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：
δij=[i=j]{displaystyle delta _{ij}=[i=j],!}。
同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 δi{displaystyle delta _{i},!}
δi={1,if i=00,if i≠0{displaystyle delta _{i}=left{{begin{matrix}1,&{mbox{if }}i=0\0,&{mbox{if }}ineq 0end{matrix}}right.,!}。
在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 δji{displaystyle delta _{j}^{i},!}
数字信号处理
冲激函数
类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 Z{displaystyle mathbb {Z} ,!}
δ[n]={1,n=00,n≠0{displaystyle delta [n]={begin{cases}1,&n=0\0,&nneq 0end{cases}},!}![delta [n]={begin{cases}1,&n=0\0,&nneq 0end{cases}},!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58467920d2ae0bdb31abff278040696b5090f076)
这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。
性质
克罗内克函数有筛选性：对任意 j∈Z{displaystyle jin mathbb {Z} ,!}
∑i=−∞∞δijai=aj{displaystyle sum _{i=-infty }^{infty }delta _{ij}a_{i}=a_{j},!}。
如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：
∫−∞∞δ(x−y)f(x)dx=f(y){displaystyle int _{-infty }^{infty }delta (x-y)f(x)dx=f(y),!}。
实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 δ(t){displaystyle delta (t),,!}
线性代数中的应用
在线性代数中，单位矩阵可以写作 (δij)i,j=1n{displaystyle (delta _{ij})_{i,j=1}^{n},!}
在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 δji{displaystyle delta _{j}^{i},!}
这个(1,1)向量表示:
- 作为线性映射的单位矩阵。
迹数。
内积 V∗⊗V→K{displaystyle V^{*}otimes Vto K,!}。
- 映射 K→V∗⊗V{displaystyle Kto V^{*}otimes V,!}
，将数量乘积表示为外积的形式。
廣義克羅內克函數
定義廣義克羅內克函數為 n×n{displaystyle ntimes n,!}
δi1i2…inj1j2…jn=[δi1j1δi2j1⋯δinj1δi1j2δi2j2⋯δinj2⋮⋱⋮δi1jnδi2jn⋯δinjn]{displaystyle delta _{i_{1}i_{2}dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}dots j_{n}}={begin{bmatrix}delta _{i_{1}}^{j_{1}}delta _{i_{2}}^{j_{1}}&cdots &delta _{i_{n}}^{j_{1}}\delta _{i_{1}}^{j_{2}}delta _{i_{2}}^{j_{2}}&cdots &delta _{i_{n}}^{j_{2}}\vdots &ddots &vdots \delta _{i_{1}}^{j_{n}}delta _{i_{2}}^{j_{n}}&cdots &delta _{i_{n}}^{j_{n}}\end{bmatrix}},!}；
其中，δji{displaystyle delta _{j}^{i},!}
以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：
δimnijk=δmnjk=δmjδnk−δnjδmk{displaystyle delta _{imn}^{ijk}=delta _{mn}^{jk}=delta _{m}^{j}delta _{n}^{k}-delta _{n}^{j}delta _{m}^{k},!}。
δijmijk=2δmk{displaystyle delta _{ijm}^{ijk}=2delta _{m}^{k},!}。
δijkijk=6{displaystyle delta _{ijk}^{ijk}=6,!}。
δlmnijk=ϵijkϵlmn{displaystyle delta _{lmn}^{ijk}=epsilon ^{ijk}epsilon _{lmn},!}；
- 其中，ϵijk{displaystyle epsilon ^{ijk},!}
和 ϵlmn{displaystyle epsilon _{lmn},!}
是列維-奇維塔符號。
δi1i2…inj1j2…jn=ϵj1j2…jnϵi1i2…in{displaystyle delta _{i_{1}i_{2}dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}dots j_{n}}=epsilon ^{j_{1}j_{2}dots j_{n}}epsilon _{i_{1}i_{2}dots i_{n}},!}。
δi1i2…in12…n=ϵi1i2…in{displaystyle delta _{i_{1}i_{2}dots i_{n}}^{12dots n}=epsilon _{i_{1}i_{2}dots i_{n}},!}。
δi1i2…inj1j2…jnTj1j2…jn=n! Ti1i2…in{displaystyle delta _{i_{1}i_{2}dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}dots j_{n}}T_{j_{1}j_{2}dots j_{n}}=n! T_{i_{1}i_{2}dots i_{n}},!}；
其中，Tj1j2…jn{displaystyle T_{j_{1}j_{2}dots j_{n}},!}
积分表示
对任意的整数 n{displaystyle n,!}
δx,n=12πi∮zx−n−1dz{displaystyle delta _{x,n}={frac {1}{2pi i}}oint z^{x-n-1}dz,!}；
其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。
这个表示方式与下面的另一形式等价：
δx,n=12π∫02πei(x−n)φdφ{displaystyle delta _{x,n}={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }e^{i(x-n)varphi }dvarphi ,!}。
参见
- 列維-奇維塔符號
- 狄拉克测度
- 同或门
參考文獻
^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics, Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001, ISBN 1-55369-133-4 引文格式1维护：冗余文本 (link)
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