虛數單位

虛數單位 i{displaystyle i,!} 在複平面的位置。橫軸是實數，豎軸是虛數。

各种各样的數

基本

N⊆Z⊆Q⊆R⊆C{displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} } 正數 R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}} 自然数 N{displaystyle mathbb {N} } 正整數 Z+{displaystyle mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q{displaystyle mathbb {Q} } 代數數 A{displaystyle mathbb {A} } 实数 R{displaystyle mathbb {R} } 複數 C{displaystyle mathbb {C} } 高斯整數 Z[i]{displaystyle mathbb {Z} [i]} 负数 R−{displaystyle mathbb {R} ^{-}} 整数 Z{displaystyle mathbb {Z} } 负整數 Z−{displaystyle mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I{displaystyle mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z[ω]{displaystyle mathbb {Z} [omega ]}

延伸

雙曲複數 雙複數 四元數 H{displaystyle mathbb {H} } 共四元數（英语：Dual quaternion） 八元數 O{displaystyle mathbb {O} } 超數 上超實數 超复数 十六元數 S{displaystyle mathbb {S} } 複四元數 大實數 超實數 ∗R{displaystyle ^{*}mathbb {R} } 超現實數

其他

对偶数 序数 質數 P{displaystyle mathbb {P} } 同餘 可計算數 整數數列 數學常數 公稱值 超限数 基數 P進數 規矩數 可定義數 阿列夫數 圓周率 π=3.141592653…{displaystyle pi =3.141592653dots } 自然對數的底 e=2.718281828…{displaystyle e=2.718281828dots } 虛數單位 i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}}} 無窮大 ∞{displaystyle infty }

在數學、物理及工程學裏，虛數單位標記為i{displaystyle i,!}，在电机工程和相关领域中则标记为j{displaystyle j,}，这是为了避免与电流（记为i(t){displaystyle i(t),}或i{displaystyle i,}）混淆。虛數單位的發明使實數系統 R{displaystyle mathbb {R} ,!} 能夠延伸至复数系統C{displaystyle mathbb {C} ,!} 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式x2+1=0{displaystyle x^{2}+1=0,!}就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

目录

• 
  1 定義
  


• 
  2 i 和 −i
  


• 
  3 正当的使用
  


• 
  4 i的运算
  


• 
  5 在程式語言
  


• 
  6 註解
  


• 
  7 参见
  


• 
  8 参考文献
  


• 
  9 外部链接
  

定義

…{displaystyle ldots }

i−3=i{displaystyle i^{-3}=i,!}

i−2=−1{displaystyle i^{-2}=-1,!}

i−1=−i{displaystyle i^{-1}=-i,!}

i0=1{displaystyle i^{0}=1,!}

i1=i{displaystyle i^{1}=i,!}

i2=−1{displaystyle i^{2}=-1,!}

i3=−i{displaystyle i^{3}=-i,!}

i4=1{displaystyle i^{4}=1,!}

i5=i{displaystyle i^{5}=i,!}

i6=−1{displaystyle i^{6}=-1,!}

…{displaystyle ldots }

虛數單位i{displaystyle i,!}定義為二次方程式x2+1=0{displaystyle x^{2}+1=0,!}的兩個解答中的一個解答。這方程式又可等價表達為：

x2=−1{displaystyle x^{2}=-1,!} 。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號 i{displaystyle i,!} 。很重要的一點是，i{displaystyle i}是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}},}

i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}},}往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為 −1=i⋅i=(−1)×(−1)=(−1)×(−1)=1=1{displaystyle -1,=icdot i=left({sqrt {-1}}right)times left({sqrt {-1}}right)={sqrt {left(-1right)times left(-1right)}}={sqrt {1}}=1,}，但是-1不等於1。

但請注意：a⋅b=a⋅b{displaystyle {sqrt {acdot b}}={sqrt {a}}cdot {sqrt {b}},}成立的條件有a{displaystyle a}, b{displaystyle b}不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設i{displaystyle i,!} 是一個未知數，然後依照i{displaystyle i,!} 的定義，替代任何i2{displaystyle i^{2},!} 的出現為-1 。 i{displaystyle i,!}的更高整數冪數也可以替代為 −i{displaystyle -i,!} ，1{displaystyle 1,!} ，或 i{displaystyle i,!}，根據下述方程式：

i3=i2i=(−1)i=−i{displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i,!} ，

i4=i3i=(−i)i=−(i2)=−(−1)=1{displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1,!} ，

i5=i4i=(1)i=i{displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i,!} 。

一般地，有以下的公式：

i4n=1{displaystyle i^{4n}=1,}

i4n+1=i{displaystyle i^{4n+1}=i,}

i4n+2=−1{displaystyle i^{4n+2}=-1,}

i4n+3=−i.{displaystyle i^{4n+3}=-i.,}

in=inmod4{displaystyle i^{n}=i^{n{bmod {4}}},}

其中mod4{displaystyle {bmod {4}}}表示被4除的余数。

i 和 −i

方程x2=−1{displaystyle x^{2}=-1,!}有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解i{displaystyle i}，那么−i{displaystyle i}（不等于i{displaystyle i}）也是一个解，由于这个方程是i{displaystyle i}的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为i{displaystyle i}，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然−i{displaystyle i}和i{displaystyle i}在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是i{displaystyle i}和−i{displaystyle i}之间没有质量上的区别（−1和+1就不是这样的）。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的+i{displaystyle i}换成−i{displaystyle i}，而把−i{displaystyle i}换成+i{displaystyle +i}，那么所有的事实和定理都依然是正确的。

−i2=1{displaystyle -i^{2}=1,!}

−i=i−1=1i{displaystyle -i=i^{-1}={frac {1}{i}}}

正当的使用

虚数单位有时记为−1{displaystyle {sqrt {-1}}}。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立：

−1=i⋅i=−1⋅−1=(−1)⋅(−1)=1=1{displaystyle -1=icdot i={sqrt {-1}}cdot {sqrt {-1}}={sqrt {(-1)cdot (-1)}}={sqrt {1}}=1}   （不正确）

−1=i⋅i=±−1⋅±−1=±(−1)⋅(−1)=±1=±1{displaystyle -1=icdot i=pm {sqrt {-1}}cdot pm {sqrt {-1}}=pm {sqrt {(-1)cdot (-1)}}=pm {sqrt {1}}=pm 1}   （不正确）

1i=1−1=1−1=−1=i{displaystyle {frac {1}{i}}={frac {sqrt {1}}{sqrt {-1}}}={sqrt {frac {1}{-1}}}={sqrt {-1}}=i}    （不正确）

公式a⋅b=a⋅b{displaystyle {sqrt {a}}cdot {sqrt {b}}={sqrt {acdot b}}}仅对于非负的实数a{displaystyle a}和b{displaystyle b}才成立。

为了避免这种错误，尽量不要用平方根来表示虚数。例如，我们不应使用−7{displaystyle {sqrt {-7}}}，而应使用7i{displaystyle {sqrt {7}}i}。

i的运算

虛數單位 i{displaystyle i} 的平方根在複平面的位置。

许多实数的运算都可以推广到 i{displaystyle i} ，例如平方根、冪、对数和三角函数。

i{displaystyle i}的平方根为：

i=±12(1+i){displaystyle {sqrt {i}}=pm {frac {1}{sqrt {2}}}(1+i)}^[1]

其解法為先假設兩實數x{displaystyle x}及y{displaystyle y}，使得(x+iy)2=i{displaystyle (x+iy)^{2}=i}，求解x,y{displaystyle x,y}^[2]

这是因为：

[±12(1+i)]2 {displaystyle left[pm {frac {1}{sqrt {2}}}(1+i)right]^{2} }	=(±12)2(1+i)2 {displaystyle =left(pm {frac {1}{sqrt {2}}}right)^{2}(1+i)^{2} }
	=(±1)212(1+i)(1+i) {displaystyle =(pm 1)^{2}{frac {1}{2}}(1+i)(1+i) }
	=12(1+2i+i2)(i2=−1) {displaystyle ={frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})quad quad quad (i^{2}=-1) }
	=12+i−12 {displaystyle ={frac {1}{2}}+i-{frac {1}{2}} }
	=i {displaystyle =i }

以下运算均为与i{displaystyle i}有关的复多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

一个数的ni{displaystyle ni}次方为：

 xni=cos⁡ln⁡xn+isin⁡ln⁡xn.{displaystyle ! x^{ni}=cos ln x^{n}+isin ln x^{n}.}

一个数的ni{displaystyle ni}次方根为：

 xni=cos⁡ln⁡xn−isin⁡ln⁡xn.{displaystyle ! {sqrt[{ni}]{x}}=cos ln {sqrt[{n}]{x}}-isin ln {sqrt[{n}]{x}}.}

利用歐拉公式

ii=[ei(π2+2kπ)]i=ei2(π2+2kπ)=e−(π2+2kπ){displaystyle i^{i}=left[e^{i({frac {pi }{2}}+2kpi )}right]^{i}=e^{i^{2}({frac {pi }{2}}+2kpi )}=e^{-({frac {pi }{2}}+2kpi )}}

其中k∈Z{displaystyle kin mathbb {Z} }

最小的解(k=0){displaystyle (k=0)}是e−π/2{displaystyle e^{-pi /2}}或近似值0.20787957635076...^[3]

Z{displaystyle mathbb {Z} }代表整數集，代入不同的k{displaystyle k}值，可計算出無限多的解。

以i{displaystyle i}为底的对数为：

logi⁡x=2ln⁡xiπ.{displaystyle log _{i}x={{2ln x} over ipi }.}

i{displaystyle i}的余弦是一个实数：

cos⁡i=cosh⁡1=e+1e2=e2+12e{displaystyle cos i=cosh 1={{e+{frac {1}{e}}} over 2}={{e^{2}+1} over 2e}}

i{displaystyle i}的正弦是纯虚数：

sin⁡i=isinh⁡1=e−1e2i=e2−12ei{displaystyle sin i=,isinh 1={{e-{frac {1}{e}}} over 2},i={{e^{2}-1} over 2e},i}

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。


• 但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。


• 一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。


• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。


• 在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。


• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。

註解

1. 
   ^ 在Maple與Mathematica中，i=12(1+i).{displaystyle {sqrt {i}}={frac {1}{sqrt {2}}}(1+i).}
   


2. 
   ^ (University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)
   


3. 
   ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
   

参见

• 代數基本定理


• 虚数


• 复平面


• 单位根


• i

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究


• 
  i作為-1的平方根（英文視頻）^{[永久失效連結]}
  


• 
  i7321{displaystyle i^{7321},}的計算方法舉例（英文視頻）

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