Mixing
圓周摺積
兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的。週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來，所產生的新函數。x(t){displaystyle x(t)}
- xT(t) =def ∑k=−∞∞x(t−kT)=∑k=−∞∞x(t+kT).{displaystyle x_{T}(t) {stackrel {mathrm {def} }{=}} sum _{k=-infty }^{infty }x(t-kT)=sum _{k=-infty }^{infty }x(t+kT).}
兩個函數 x(t){displaystyle x(t)}
- y(t)=∫toto+ThT(τ)⋅xT(t−τ)dτ=∫−∞∞h(τ)⋅xT(t−τ)dτ=(xT∗h)(t),{displaystyle {begin{aligned}y(t)&=int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(tau )cdot x_{T}(t-tau ),dtau \&=int _{-infty }^{infty }h(tau )cdot x_{T}(t-tau ),dtau quad =quad (x_{T}*h)(t),end{aligned}}}
其中 ∗{displaystyle *}
類似地，對於離散信號（數列），可以定義週期 N 的圓周摺積 (x⊗h)[n]{displaystyle (xotimes h)[n]}![(xotimes h)[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5207e2843bba767cc5cd9e15d312b6523d7f1f05)
- (xN∗h)[n]=∑m=−∞∞h[m]⋅xN[n−m]=∑m=−∞∞(h[m]⋅∑k=−∞∞x[n−m−kN]).{displaystyle {begin{aligned}(x_{N}*h)[n]&=sum _{m=-infty }^{infty }h[m]cdot x_{N}[n-m]\&=sum _{m=-infty }^{infty }left(h[m]cdot sum _{k=-infty }^{infty }x[n-m-kN]right).,end{aligned}}}
![{begin{aligned}(x_{N}*h)[n]&=sum _{{m=-infty }}^{{infty }}h[m]cdot x_{N}[n-m]\&=sum _{{m=-infty }}^{{infty }}left(h[m]cdot sum _{{k=-infty }}^{{infty }}x[n-m-kN]right).,end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038f2571926d149a4d3f9f1781902a51f77b52f0)
離散信號的圓周摺積可以經由圓周摺積定理使用快速傅立葉變換（FFT）而有效率的計算。因此，若原本的（線性）摺積能轉換成圓周摺積來計算，會遠比直接計算更快速。考慮到長度 L{displaystyle L}
用以上方法計算摺積時，若兩個信號長度相差很多，則較短者須補上相當多的零，太不經濟。而且在某些情況下，例如較短的 h[n]{displaystyle h[n]}![h[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![x[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
相關條目
- 摺積
- 圓周摺積定理
- DFT與圓周摺積
參考文獻
Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard. Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. 1975: pp 63–67. ISBN 0-13-914101-4. 引文格式1维护：冗余文本 (link).
Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2. .
外部連結
cnx
Comments
Post a Comment