克萊姆法則

线性代数
A=[1234]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix}}}
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克萊姆法則（英语：Cramer's rule），又稱為克拉瑪公式，是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，所以在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這定理在理論性方面十分有用。

目录

• 
  1 基本方程
  


• 
  2 抽象方程
  


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  3 證明概要
  


• 
  4 例子
  
  
  
  • 
    4.1 微分幾何上的應用
    
  
  
  • 
    4.2 基本代數上的應用
    
  
  
  • 
    4.3 線性規劃上的應用
    
  
  
  
  


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  5 外部链接
  

基本方程

一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示：

Ax=c(1){displaystyle Ax=c,qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1)}

其中的A{displaystyle A}是一个n×n{displaystyle ntimes n}的方塊矩陣，而向量 x=(x1,x2,⋯xn)T{displaystyle x=(x_{1},x_{2},cdots x_{n})^{T}} 是一个长度为n的列向量。c=(c1,c2,⋯cn)T{displaystyle c=(c_{1},c_{2},cdots c_{n})^{T}} 也一样。

克莱姆法则说明：如果A{displaystyle A}是一个可逆矩陣（ detA≠0{displaystyle det {A}neq 0} ），那么方程(1)有解 x=(x1,x2,⋯xn)T{displaystyle x=(x_{1},x_{2},cdots x_{n})^{T}}，其中

xi=det(Ai)det(A){displaystyle x_{i}={det(A_{i}) over det(A)}} (1)

當中Ai{displaystyle A_{i}}是被列向量c{displaystyle c}取代了A{displaystyle A}的第i列的列向量后得到的矩阵。為了方便，我們通常使用Δ{displaystyle Delta }來表示det(A){displaystyle det(A)}，用Δi{displaystyle Delta _{i}}來表示det(Ai){displaystyle det(A_{i})}。所以等式(1)可以寫成為：

xi=ΔiΔ{displaystyle x_{i}={Delta _{i} over Delta },}。

抽象方程

更多信息：餘因子矩陣

設R{displaystyle R}為一個環，A{displaystyle A}就是一個包含R{displaystyle R}的系數的n×n{displaystyle ntimes n}矩陣。所以：

Adj(A)A=det(A)I{displaystyle mathrm {Adj} (A)A=mathrm {det} (A)I,}

當中det(A){displaystyle det(A)}就是A{displaystyle A}的行列式，以及I{displaystyle I}就是單位矩陣。

證明概要

对于n{displaystyle n}元线性方程组
Ax=c{displaystyle Ax=c}

把系数矩阵 A{displaystyle {begin{smallmatrix}Aend{smallmatrix}}} 表示成列向量的形式

A=(u1,u2,⋯,un){displaystyle A=left(u_{1},u_{2},cdots ,u_{n}right)}

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解x∗=A−1c{displaystyle x^{*}=A^{-1}c}.

设x∗=(x1,x2,⋯,xn)T{displaystyle x^{*}=(x_{1},x_{2},cdots ,x_{n})^{T}}，即

Ax∗=∑k=1nxkuk=c{displaystyle Ax^{*}=sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k}=c}

考虑Δi{displaystyle Delta _{i}}的值，利用行列式的線性和交替性質，有

Δi=det(⋯,ui−1,c,ui+1,⋯)=det(⋯,ui−1,∑k=1nxkuk,ui+1,⋯)=∑k=1nxk⋅det(⋯,ui−1,uk,ui+1,⋯)=xi⋅det(⋯,ui−1,ui,ui+1,⋯)=xiΔ{displaystyle {begin{aligned}Delta _{i}&=detleft(cdots ,u_{i-1},c,u_{i+1},cdots right)\&=detleft(cdots ,u_{i-1},sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k},u_{i+1},cdots right)\&=sum _{k=1}^{n}x_{k}cdot detleft(cdots ,u_{i-1},u_{k},u_{i+1},cdots right)\&=x_{i}cdot detleft(cdots ,u_{i-1},u_{i},u_{i+1},cdots right)\&=x_{i}Delta end{aligned}}}

于是

xi=ΔiΔ{displaystyle x_{i}={frac {Delta _{i}}{Delta }}}

例子

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知：

ax+by=e{displaystyle ax+by={color {red}e},}

cx+dy=f{displaystyle cx+dy={color {red}f},}

使用矩陣來表示時就是：

[abcd][xy]=[ef]{displaystyle {begin{bmatrix}a&b\c&dend{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}={begin{bmatrix}{color {red}e}\{color {red}f}end{bmatrix}}}

当矩阵可逆时，x和y可以從克萊姆法則中得出：

x=|ebfd||abcd|=ed−bfad−bc{displaystyle x={frac {begin{vmatrix}color {red}{e}&b\color {red}{f}&dend{vmatrix}}{begin{vmatrix}a&b\c&dend{vmatrix}}}={{color {red}e}d-b{color {red}f} over ad-bc}}

以及

y=|aecf||abcd|=af−ecad−bc{displaystyle y={frac {begin{vmatrix}a&color {red}{e}\c&color {red}{f}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}a&b\c&dend{vmatrix}}}={a{color {red}f}-{color {red}e}c over ad-bc}}

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知：

ax+by+cz=j{displaystyle ax+by+cz={color {red}j},}

dx+ey+fz=k{displaystyle dx+ey+fz={color {red}k},}

gx+hy+iz=l{displaystyle gx+hy+iz={color {red}l},}

當中的矩陣表示為：

[abcdefghi][xyz]=[jkl]{displaystyle {begin{bmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&iend{bmatrix}}{begin{bmatrix}x\y\zend{bmatrix}}={begin{bmatrix}{color {red}j}\{color {red}k}\{color {red}l}end{bmatrix}}}

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：

x=|jbckeflhi||abcdefghi|{displaystyle x={frac {begin{vmatrix}{color {red}j}&b&c\{color {red}k}&e&f\{color {red}l}&h&iend{vmatrix}}{begin{vmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&iend{vmatrix}}}}、   y=|ajcdkfgli||abcdefghi|{displaystyle y={frac {begin{vmatrix}a&{color {red}j}&c\d&{color {red}k}&f\g&{color {red}l}&iend{vmatrix}}{begin{vmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&iend{vmatrix}}}}   以及   z=|abjdekghl||abcdefghi|{displaystyle z={frac {begin{vmatrix}a&b&{color {red}j}\d&e&{color {red}k}\g&h&{color {red}l}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&iend{vmatrix}}}}

微分幾何上的應用

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式F(x,y,u,v)=0{displaystyle F(x,y,u,v)=0,}和G(x,y,u,v)=0{displaystyle G(x,y,u,v)=0,}。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我們可定義x=X(u,v){displaystyle x=X(u,v),}和y=Y(u,v){displaystyle y=Y(u,v),}。

找出一條等式適合∂x/∂u{displaystyle partial x/partial u}是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算F{displaystyle F}、G{displaystyle G}、x{displaystyle x}和y{displaystyle y}的導數：

dF=∂F∂xdx+∂F∂ydy+∂F∂udu+∂F∂vdv=0{displaystyle dF={frac {partial F}{partial x}}dx+{frac {partial F}{partial y}}dy+{frac {partial F}{partial u}}du+{frac {partial F}{partial v}}dv=0}

dG=∂G∂xdx+∂G∂ydy+∂G∂udu+∂G∂vdv=0{displaystyle dG={frac {partial G}{partial x}}dx+{frac {partial G}{partial y}}dy+{frac {partial G}{partial u}}du+{frac {partial G}{partial v}}dv=0}

dx=∂X∂udu+∂X∂vdv{displaystyle dx={frac {partial X}{partial u}}du+{frac {partial X}{partial v}}dv}

dy=∂Y∂udu+∂Y∂vdv{displaystyle dy={frac {partial Y}{partial u}}du+{frac {partial Y}{partial v}}dv}

將dx{displaystyle dx}和dy{displaystyle dy}代入dF{displaystyle dF}和dG{displaystyle dG}，可得出：

dF=(∂F∂x∂x∂u+∂F∂y∂y∂u+∂F∂u)du+(∂F∂x∂x∂v+∂F∂y∂y∂v+∂F∂v)dv=0{displaystyle dF=left({frac {partial F}{partial x}}{frac {partial x}{partial u}}+{frac {partial F}{partial y}}{frac {partial y}{partial u}}+{frac {partial F}{partial u}}right)du+left({frac {partial F}{partial x}}{frac {partial x}{partial v}}+{frac {partial F}{partial y}}{frac {partial y}{partial v}}+{frac {partial F}{partial v}}right)dv=0}

dG=(∂G∂x∂x∂u+∂G∂y∂y∂u+∂G∂u)du+(∂G∂x∂x∂v+∂G∂y∂y∂v+∂G∂v)dv=0{displaystyle dG=left({frac {partial G}{partial x}}{frac {partial x}{partial u}}+{frac {partial G}{partial y}}{frac {partial y}{partial u}}+{frac {partial G}{partial u}}right)du+left({frac {partial G}{partial x}}{frac {partial x}{partial v}}+{frac {partial G}{partial y}}{frac {partial y}{partial v}}+{frac {partial G}{partial v}}right)dv=0}

因為u{displaystyle u}和v{displaystyle v}互不相关，所以du{displaystyle du}和dv{displaystyle dv}的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：

∂F∂x∂x∂u+∂F∂y∂y∂u=−∂F∂u{displaystyle {frac {partial F}{partial x}}{frac {partial x}{partial u}}+{frac {partial F}{partial y}}{frac {partial y}{partial u}}=-{frac {partial F}{partial u}}}

∂G∂x∂x∂u+∂G∂y∂y∂u=−∂G∂u{displaystyle {frac {partial G}{partial x}}{frac {partial x}{partial u}}+{frac {partial G}{partial y}}{frac {partial y}{partial u}}=-{frac {partial G}{partial u}}}

∂F∂x∂x∂v+∂F∂y∂y∂v=−∂F∂v{displaystyle {frac {partial F}{partial x}}{frac {partial x}{partial v}}+{frac {partial F}{partial y}}{frac {partial y}{partial v}}=-{frac {partial F}{partial v}}}

∂G∂x∂x∂v+∂G∂y∂y∂v=−∂G∂v{displaystyle {frac {partial G}{partial x}}{frac {partial x}{partial v}}+{frac {partial G}{partial y}}{frac {partial y}{partial v}}=-{frac {partial G}{partial v}}}

現在用克萊姆法則就可得到：

∂x∂u=|−∂F∂u∂F∂y−∂G∂u∂G∂y||∂F∂x∂F∂y∂G∂x∂G∂y|{displaystyle {cfrac {partial x}{partial u}}={cfrac {begin{vmatrix}-{cfrac {partial F}{partial u}}&{cfrac {partial F}{partial y}}\-{cfrac {partial G}{partial u}}&{cfrac {partial G}{partial y}}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}{cfrac {partial F}{partial x}}&{cfrac {partial F}{partial y}}\{cfrac {partial G}{partial x}}&{cfrac {partial G}{partial y}}end{vmatrix}}}}

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：

∂x∂u=−(∂(F,G)∂(y,u))(∂(F,G)∂(x,y)){displaystyle {cfrac {partial x}{partial u}}=-{cfrac {left({cfrac {partial left(F,Gright)}{partial left(y,uright)}}right)}{left({cfrac {partial left(F,Gright)}{partial left(x,yright)}}right)}}}

用類似的方法就可以找到∂x∂v{displaystyle {frac {partial x}{partial v}}}、∂y∂u{displaystyle {frac {partial y}{partial u}}}以及∂y∂v{displaystyle {frac {partial y}{partial v}}}。

基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

外部链接

• Online calculator to solve a system of ecuations using the Cramer's Rule


• Systems Solver

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