Mixing
张量积
在数学中，张量积，记为 ⊗{displaystyle otimes }
例子:
- b⊗a→[b1b2b3b4][a1a2a3]=[a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3a1b4a2b4a3b4]{displaystyle mathbf {b} otimes mathbf {a} rightarrow {begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}\b_{4}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}end{bmatrix}}}
结果的秩为1，结果的维数为 4×3 = 12。
这里的秩指的是“张量秩”（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 1。
代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。
目录
1 两个张量的张量积
1.1 例子
2 两个矩阵的克罗内克积
3 多重线性映射的张量积
4 向量空间的张量积
5 张量积的泛性质
6 希尔伯特空间的张量积
6.1 定义
6.2 性质
7 与对偶空间的关系
8 注解
9 参见
两个张量的张量积
有两个（或更多）张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为
(V⊗U)i1i2…im+n=Vi1i2i3…inUin+1in+2…in+m{displaystyle (Votimes U)_{i_{1}i_{2}dots i_{m+n}}=V_{i_{1}i_{2}i_{3}dots i_{n}}U_{i_{n+1}i_{n+2}dots i_{n+m}}}。[1]
所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。
注意在张量积中，因子 U 消耗第一个 rank(U) 指标，而因子 V 消耗下一个 rank(V) 指标，所以
- rank(U⊗V)=rank(U)rank(V){displaystyle mathrm {rank} (Uotimes V)=mathrm {rank} (U)mathrm {rank} (V)}
例子
设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 Uαβ；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 Vγ。则
- UαβVγ=(U⊗V)αβγ{displaystyle U^{alpha }{}_{beta }V^{gamma }=(Uotimes V)^{alpha }{}_{beta }{}^{gamma }}
而
VμUνσ=(V⊗U)μνσ{displaystyle V^{mu }U^{nu }{}_{sigma }=(Votimes U)^{mu nu }{}_{sigma }}。
张量积继承它的因子的所有指标。
两个矩阵的克罗内克积
对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 U{displaystyle U}
U⊗V=[u11Vu12V⋯u21Vu22V⋮⋱]=[u11v11u11v12⋯u12v11u12v12⋯u11v21u11v22u12v21u12v22⋮⋱u21v11u21v12u21v21u21v22⋮]{displaystyle Uotimes V={begin{bmatrix}u_{11}V&u_{12}V&cdots \u_{21}V&u_{22}V\vdots &&ddots end{bmatrix}}={begin{bmatrix}u_{11}v_{11}&u_{11}v_{12}&cdots &u_{12}v_{11}&u_{12}v_{12}&cdots \u_{11}v_{21}&u_{11}v_{22}&&u_{12}v_{21}&u_{12}v_{22}\vdots &&ddots \u_{21}v_{11}&u_{21}v_{12}\u_{21}v_{21}&u_{21}v_{22}\vdots end{bmatrix}}}。
多重线性映射的张量积
给定多重线性映射 f(x1,…,xk){displaystyle f(x_{1},dots ,x_{k})}
它们的张量积是多重线性函数
- (f⊗g)(x1,…,xk+m)=f(x1,…,xk)g(xk+1,…,xk+m){displaystyle (fotimes g)(x_{1},dots ,x_{k+m})=f(x_{1},dots ,x_{k})g(x_{k+1},dots ,x_{k+m})}
向量空间的张量积
在域 K{displaystyle K}
要构造 V⊗W{displaystyle Votimes W}
- (v1+v2)⊗w=v1⊗w+v2⊗w{displaystyle (v_{1}+v_{2})otimes w=v_{1}otimes w+v_{2}otimes w}
- v⊗(w1+w2)=v⊗w1+v⊗w2{displaystyle votimes (w_{1}+w_{2})=votimes w_{1}+votimes w_{2}}
- cv⊗w=v⊗cw=c(v⊗w){displaystyle cvotimes w=votimes cw=c(votimes w)}
这里的 v,vi,w,wi{displaystyle v,v_{i},w,w_{i}}
我们可以推出恒等式
0v⊗w=v⊗0w=0(v⊗w)=0{displaystyle 0votimes w=votimes 0w=0(votimes w)=0}，
零在 V⊗W{displaystyle Votimes W}
结果的张量积 V⊗W{displaystyle Votimes W}
的张量形成 V⊗W{displaystyle Votimes W}
张量积的泛性质
张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自
- ϕ(u,w)=u⊗w{displaystyle phi (u,w)=uotimes w}
的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(X, ψ)，这里的 X 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 V × W → X，则存在一个唯一的线性映射
- T:V⊗W→X{displaystyle T:Votimes Wrightarrow X}
使得
ψ=T∘ϕ{displaystyle psi =Tcirc phi }。
假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。
直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射
- B(V×W,X){displaystyle B(Vtimes W,X)}
和线性映射
- L(V⊗W,X){displaystyle L(Votimes W,X)}
的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。
希尔伯特空间的张量积
两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。
定义
设 H1{displaystyle H_{1}}
考虑他们的作为线性空间的张量积H=H1⊗H2{displaystyle H=H_{1}otimes H_{2}}
由内积的双线性（Bilinearity），只需定义
- ⟨ϕ1⊗ϕ2,ψ1⊗ψ2⟩=⟨ϕ1,ψ1⟩1⋅⟨ϕ2,ψ2⟩2{displaystyle langle phi _{1}otimes phi _{2},psi _{1}otimes psi _{2}rangle =langle phi _{1},psi _{1}rangle _{1}cdot langle phi _{2},psi _{2}rangle _{2}}
其中 ϕ1,ψ1∈H1{displaystyle phi _{1},psi _{1}in H_{1}}
即可。
现在H{displaystyle H}
性质
如果 H1 和 H2 分别有正交基 {φk} 和 {ψl}，则 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。
与对偶空间的关系
在泛性质的讨论中，替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间 (V⊗W)⋆{displaystyle (Votimes W)^{star }}
只要 V{displaystyle V}
注解
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类似的公式对反变以及混合型张量也成立。尽管许多情形，比如定义了一个内积，这种区分是无关的。
参见
- 外积
- 并矢积
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