对偶空间

线性代数

A=[1234]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix}}}

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查 论 编

在數學裡，任何向量空間V都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由V的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。

对偶空間是 行向量（1×n{displaystyle 1times n}）與列向量（n×1{displaystyle ntimes 1}）的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為测度,分佈及希爾伯特空間提供重要的觀點。对偶空間的應用是泛函分析理論的特徵。傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念。

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目录

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  1 代數对偶空间
  
  
  
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    1.1 例子
    
  
  
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    1.2 線性映射的轉置
    
  
  
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    1.3 雙線性乘積及对偶空間
    
  
  
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    1.4 到雙对偶空間内的單射
    
  
  
  
  


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  2 連續對偶空間
  
  
  
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    2.1 例子
    
  
  
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    2.2 進一步的性質
    
  
  
  
  


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  3 引用
  

代數对偶空间

設V{displaystyle V}為 在域F{displaystyle F}上的向量空間，定義其对偶空間V∗{displaystyle V^{*}}為由V{displaystyle V}到F{displaystyle F}的所有線性函數的集合。
即是V{displaystyle V}的標量線性變換。V∗{displaystyle V^{*}}本身是F{displaystyle F}的向量空間，並且對所有V∗{displaystyle V^{*}}中的φ{displaystyle varphi }及ψ{displaystyle psi }、所有F{displaystyle F}中的a{displaystyle a}、所有V{displaystyle V}中的x{displaystyle x}滿足以下加法及標量乘法：

(ϕ+ψ)(x)=ϕ(x)+ψ(x){displaystyle (phi +psi )(x)=phi (x)+psi (x),}

(aϕ)(x)=aϕ(x){displaystyle (aphi )(x)=aphi (x),}

在張量的語言中，V{displaystyle V}的元素被稱為反變或逆變（contravariant）向量而V_*的元素被稱為共變或協變（covariant）向量、「餘向量」或「同向量」（co-vectors），「线性型」或「一形」（one-form）。

例子

如果V{displaystyle V}是有限維的，V∗{displaystyle V^{*}}的維度和V的維度便相等；
如果{e1,...,en}{displaystyle left{e_{1},...,e_{n}right}}是V{displaystyle V}的基，V∗{displaystyle V^{*}}便應該有相對基{e1,...,en}{displaystyle left{e^{1},...,e^{n}right}}，記作：

ei(ej)={1,if i=j0,if i≠j{displaystyle e^{i}(e_{j})=left{{begin{matrix}1,&{mbox{if }}i=j\0,&{mbox{if }}ineq jend{matrix}}right.}

如果V{displaystyle V}是平面幾何向量的空間，V∗{displaystyle V^{*}}便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。

如果V{displaystyle V}是無限維度，ei{displaystyle e^{i}}不能產生V∗{displaystyle V^{*}}的基；而V∗{displaystyle V^{*}}的維度比V{displaystyle V}的大。

例如空間R(ω){displaystyle R^{(omega )}}的元素是實數列，其擁有很多非零數字。Rω{displaystyle R^{omega }}的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列(an){displaystyle (a_{n})}被用於元素(xn){displaystyle (x_{n})}而產生∑nanxn{displaystyle sum _{n}a_{n}x_{n}}。

線性映射的轉置

設f:V→W{displaystyle f:Vrightarrow W}是線性映射。
f{displaystyle f}的轉置tf:W∗→V∗{displaystyle ^{t}f:W^{*}rightarrow V^{*}}定義為

tf(ϕ)=ϕ∘f{displaystyle {}^{t}f(phi )=phi circ f,}

   ∀ φ ∈ W*.

對任何向量空間V,W{displaystyle V,W}，定義L(V,W){displaystyle L(V,W)}為所有從V{displaystyle V}到W{displaystyle W}的線性映射組成的向量空間。f|→tf{displaystyle f|rightarrow ^{t}f}產生從L(V,W){displaystyle L(V,W)}至L(W∗,V∗){displaystyle L(W^{*},V^{*})}的單射；這是個同構若且唯若W{displaystyle W}是有限維的。

若 線性映射f表示作其對V,W{displaystyle V,W}的基之矩陣A{displaystyle A} ,則tf{displaystyle ^{t}f}表示作其對V∗,W∗{displaystyle V^{*},W^{*}}的對偶基之轉置矩陣。
若g:W→X{displaystyle g:Wrightarrow X}是另一線性映射，則t(g∘f)=tg∘tg{displaystyle ^{t}left(gcirc fright)=^{t}gcirc ^{t}g}。

在范畴論的語言裡，為任何向量空間取對偶及為任何線性映射取轉置都是向量空間范畴的逆變函子。

雙線性乘積及对偶空間

正如所見，如果V{displaystyle V}擁有有限維度，V{displaystyle V}跟V∗{displaystyle V^{*}}是同構的，但是该同構并不自然；它是依賴于我们开始所用的V{displaystyle V}的基。事實上，任意同構ϕ=(V→V∗){displaystyle phi =left(Vrightarrow V^{*}right)}在V{displaystyle V}上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：

⟨v,w⟩=(Φ(v))(w){displaystyle langle v,wrangle =(Phi (v))(w),}

相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以产生由V{displaystyle V}映射到V∗{displaystyle V^{*}}的同構。

到雙对偶空間内的單射

存在一個由V{displaystyle V}到其雙对偶V∗∗{displaystyle V^{**}}的自然映射ψ{displaystyle psi }，定義為

(ψ(v))(φ)=φ(v)∀v∈V,φ∈V∗{displaystyle left(psi (v)right)(varphi )=varphi (v)forall vin V,varphi in V^{*}}

ψ{displaystyle psi }常是單射；当且仅当V{displaystyle V}的維數有限時，ψ{displaystyle psi }是個同構。

連續對偶空間

處理拓撲向量空間時，我们一般僅對該空間射到其基域的連續線性泛函感興趣。由此導致連續對偶空間之概念，此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間V{displaystyle V}之連續對偶記作V{displaystyle V}′。此脈絡下可逕稱連續對偶為對偶。

線性賦範向量空間V{displaystyle V}（如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間）之連續對偶V{displaystyle V}產生一線性賦範向量空間。對一V{displaystyle V}上之連續線性泛函，其範數‖φ‖{displaystyle leftVert varphi rightVert }定義為

‖ϕ‖=sup{|ϕ(x)|:‖x‖≤1}{displaystyle |phi |=sup{|phi (x)|:|x|leq 1}}

此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。

例子

對任意有限維之線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。

令1<p<∞{displaystyle 1<p<infty }為實數，並考慮所有序列a=(an){displaystyle a=(a_{n})}構成之巴拿赫空間l ^p，使其範數

‖a‖p=(∑n=0∞|an|p)1/p{displaystyle |mathbf {a} |_{p}=left(sum _{n=0}^{infty }|a_{n}|^{p}right)^{1/p}}

有限。以1p+1q=1{displaystyle {frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}=1}定義q{displaystyle q}，Ip{displaystyle I^{p}}其連續對偶遂自然等同於Iq{displaystyle I^{q}}：給定一元素φ∈(Ip){displaystyle varphi in (I^{p})}，Iq{displaystyle I^{q}}中相應元素為序列 (φ(en)){displaystyle left(varphi (e_{n})right)}，其中en{displaystyle e_{n}}謂第n{displaystyle n}項為1且餘項皆0之序列。反之，給定一元素a=(an)∈Iq{displaystyle a=(a_{n})in I^{q}}，Ip{displaystyle I^{p}}上相應之連續線性泛函φ{displaystyle varphi }定為φ(a)=∑nanxn{displaystyle varphi (a)=sum _{n}a_{n}x_{n}}（對一切a=(an)∈Ip{displaystyle a=(a_{n})in I^{p}}，見Hölder不等式）。

準此，I1{displaystyle I^{1}}之連續對偶亦自然同構於I∞{displaystyle I^{infty }}。再者，巴拿赫空間c{displaystyle c}（賦以上確界範數之全體收斂序列）及c0{displaystyle c_{0}}（c{displaystyle c}中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於I1{displaystyle I^{1}}。

進一步的性質

若V{displaystyle V}為希爾伯特空間，則其連續對偶亦然，並反同構於V{displaystyle V}；此蓋黎茲表示定理所明，物理學人賴以描述量子力學之狄拉克符號肇端乎是。

類似雙重代數對偶，對連續線性算子亦有連續單射ψ:V→V″{displaystyle psi :Vrightarrow V''}，此映射實為等距同構，即 ‖ψ(x)‖=‖x‖{displaystyle leftVert psi (x)rightVert =leftVert xrightVert }對一切V{displaystyle V}中x{displaystyle x}皆真。使ψ{displaystyle psi }為雙射之空間稱自反空间。

連續對偶賦V{displaystyle V}以一新拓撲，名弱拓撲。

若V之對偶可分，則V{displaystyle V}亦可分。反之則不然；試取空間I1{displaystyle I_{1}}，其對偶I∞{displaystyle Iinfty }不可分。

引用

• 
  Bourbaki, Nicolas. Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-64243-9. 
  


• 
  Paul Halmos. Finite dimensional vector spaces. Springer. 1974. ISBN 0387900934. 
  


• 
  Walter Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Science. 1991. ISBN 978-0070542365. 
  

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