曲线

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曲线的普通定义就是在几何空间中的“弯曲了的线”。而直线是一种特殊的曲线，只不过它的曲率为零。在《解析几何》中，曲线用一组连续函数的方程组来表示。

曲线和直线都是指欧几里得几何所定义的欧几里得空间中的相关概念。此外，还存在多种不为多数人所知的非欧几里得几何，其中的直线和曲线的定义和欧几里得几何的定义有很大差别，甚至不能类比。想深入学习数学的人切忌将不同几何空间中的同名概念相互混淆。

目录

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  1 历史
  


• 
  2 定义
  
  
  
  • 
    2.1 平面曲线
    
  
  
  • 
    2.2 空间曲线
    
  
  
  
  


• 
  3 常见曲线
  


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  4 曲线方程
  


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  5 曲线的长度
  
  
  
  • 
    5.1 平面曲线
    
  
  
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    5.2 空间曲线
    
  
  
  
  


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  6 外部链接
  

历史

定义

平面曲线

在数学上，一条曲线的定义为：

设I为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线c就是一个连续函数c : I → X的映像，其中X为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}。

空间曲线

常见曲线

请参见曲线列表

曲线方程

请参阅参数方程。

一般来说，当在Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程。

例如，x2+y2=1{displaystyle x^{2}+y^{2}=1}是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

曲线的长度

平面曲线

若一条平面曲线可表达成标准方程y=f(x){displaystyle y=f(x),}，那么它的长度就是：

∫ab[f′(x)]2+1dx{displaystyle int _{a}^{b}{{sqrt {left[f'left(xright)right]^{2}+1}};{rm {d}}x}}

其中a{displaystyle a,}、b{displaystyle b,}为x{displaystyle x,}的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程{x=x(t)y=y(t){displaystyle left{{begin{matrix}x=xleft(tright)\y=yleft(tright)end{matrix}}right.}。，那么它的长度就是：

∫αβ(x′)2+(y′)2dt{displaystyle int _{alpha }^{beta }{{sqrt {left({x'}right)^{2}+left({y'}right)^{2}}}{rm {d}}t}}

其中α{displaystyle alpha ,}、β{displaystyle beta ,}为t{displaystyle t,}的上下限。

空间曲线

外部链接

• 
  （英文）MacTutor著名曲線列圖
  

查 论 编 几何学术语 點 頂點 交點 中點 角 直線和曲線 線段 射線 直線 切線 法线 曲線 圓錐曲線 双曲线 抛物线 螺線 邊 周界 弦 弧 垂直平分線 平面圖形 圓 橢圓 扇形 弓形 多邊形 三角形 四邊形 五边形 六边形 多边形 梯形 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 鷂形 卵形线 立體圖形 多面體 正多面體 四面体 長方體 立方體 平行六面体 棱柱 反棱柱 棱錐 圓柱體 圓錐 圓台 橢球 球體 球缺 球冠 球台 二次曲面 抛物面 雙曲面 圖形關係 相似 全等 对称 平行 垂直 相交 相切 镜像 旋转 反演 三角形關係 相似三角形 全等三角形 量 距離 長度 周长 弧长 高度 面積 表面積 體積 容積 角度 作圖 尺 直尺 三角尺 圓規 尺規作圖 二刻尺作图 理論 定理 公理 定义 證明 分类 主题 共享资源 专题

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