Mixing
正交多項式
函數W(x){displaystyle W(x)}
對於一個多項式的序列fi{displaystyle {f_{i}}}
:⟨fm,fn⟩=∫abfm(x)fn(x)W(x)dx{displaystyle :langle f_{m},f_{n}rangle =int _{a}^{b}f_{m}(x)f_{n}(x),W(x),dx}
若n≠m{displaystyle nneq m}
若fi{displaystyle {f_{i}}}
目录
1 例子
2 常見的正交多項式
3 性質
4 外部連結
例子
若權函數為1，區間為(-1,1)，f0(x)=1{displaystyle f_{0}(x)=1}
- f1(x)=x{displaystyle f_{1}(x)=x,}
- f2(x)=3x2−12{displaystyle f_{2}(x)={frac {3x^{2}-1}{2}},}
- f3(x)=5x3−3x2{displaystyle f_{3}(x)={frac {5x^{3}-3x}{2}},}
- f4(x)=35x4−30x2+38{displaystyle f_{4}(x)={frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}},}
- ⋮{displaystyle vdots }
- ⋮{displaystyle vdots }
它們稱為勒讓德多項式。
對於任意向量空間的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。
常見的正交多項式
- 切比雪夫多項式
- 雅可比多項式
- 埃尔米特多项式
- 拉盖尔多项式
- 蓋根鮑爾多項式
- 哈恩多项式
- 拉卡多项式
- 查理耶多项式
- 连续双哈恩多项式
- 贝特曼多项式
- 双重哈恩多项式
- 小q-雅可比多项式
- 本德尔·邓恩多项式
- 威尔逊多项式
- Q哈恩多项式
- 大q-雅可比多项式
- Q-拉盖尔多项式
- Q拉卡多项式
- 梅西纳多项式
- 克拉夫楚克多项式
- 梅西纳-珀拉泽克多项式
- 连续哈恩多项式
- 连续q-哈恩多项式
- Q梅西纳多项式
- 阿斯克以-威尔逊多项式
- Q克拉夫楚克多项式
- 大q-拉盖尔多项式
- 双Q克拉夫楚克多项式
- Q查理耶多项式
- 泽尔尼克多项式
- 罗杰斯-斯泽格多项式
- 戈特利布多项式
性質
- 遞歸方程
fn+1=(an+xbn)fn−cnfn−1{displaystyle f_{n+1}=(a_{n}+xb_{n})f_{n}-c_{n}f_{n-1}}
其中 bn=kn+1kn,an=bn(kn+1′kn+1−kn′kn),cn=bn(kn−1hnknhn−1),hn=⟨fn,fn⟩{displaystyle b_{n}={frac {k_{n+1}}{k_{n}}},qquad a_{n}=b_{n}({frac {k_{n+1}'}{k_{n+1}}}-{frac {k_{n}'}{k_{n}}}),qquad c_{n}=b_{n}({frac {k_{n-1}h_{n}}{k_{n}h_{n-1}}}),qquad h_{n}=langle f_{n},f_{n}rangle }
- 實根：所有正交多項式系中的正交多項式都有n{displaystyle n}
個實根，這些根是相異且在正交區間之內。
奇偶性：若W(x){displaystyle W(x)}，則有fn(−x)=(−1)nfn(x){displaystyle f_{n}(-x)=(-1)^{n}f_{n}(x)}
。
外部連結
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. chapter 22
- Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
- Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
Orthogonal polynomials (Springer Online Reference Works)
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