概形論術語

這是概形論術語。欲知代數幾何中概形的簡介，請見條目仿射概形、射影空間、層及概形。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。

目录

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  1 點
  


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  2 纖維
  


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  3 概形之性質
  


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  4 態射之性質
  
  
  
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    4.1 與拓撲結構相關的概念
    
  
  
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    4.2 開浸入與閉浸入
    
  
  
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    4.3 仿射態射與射影態射
    
  
  
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    4.4 分離態射與真態射
    
  
  
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    4.5 有限型、擬有限與有限態射
    
  
  
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    4.6 平坦態射
    
  
  
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    4.7 非分歧態射與平展態射
    
  
  
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    4.8 平滑態射
    
  
  
  
  


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  5 外部連結
  


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  6 文獻
  

點

一個概形 S{displaystyle S} 是一個局部賦環空間，故也是拓撲空間，但「S{displaystyle S} 的點」具有三重涵義：

• 拓撲空間意義下的點。


• 
  T{displaystyle T}-值點：對任一概形 T{displaystyle T}，一個 T{displaystyle T}-值點是指一個態射 T→S{displaystyle Tto S}。


• 幾何點：當 S{displaystyle S} 定義在一個域 K{displaystyle K} 上時（換言之 S{displaystyle S} 是 Spec(K){displaystyle mathrm {Spec} (K)}-概形），一個幾何點乃是一個 Spec(K¯){displaystyle mathrm {Spec} ({overline {K}})}-值點，其中 K¯{displaystyle {overline {K}}} 表 K{displaystyle K} 的代數閉包。

幾何點是古典問題的主角，例如對複代數簇而言，通常說「點」即指幾何點。拓撲空間的點包括一般點的類比（相對於扎里斯基而非韋伊的理論）。藉由米田引理，考慮所有的概形 T{displaystyle T} 與所有 T{displaystyle T}-值點，可以將概形 S{displaystyle S} 理解為相應的可表函子 hS{displaystyle h_{S}}，此觀念是代數幾何發展史上的一大步。

纖維

在格羅滕迪克的相對幾何框架下，一態射的纖維有三重涵義：

• 一個點（拓撲意義下）的逆像。


• 兩個態射的纖維積：對於仿射概形，纖維積對應到環的張量積。


• 幾何纖維：設 S,S′{displaystyle S,S'} 為 Spec(K){displaystyle mathrm {Spec} (K)}-概形（K{displaystyle K} 為域），f:S→S′{displaystyle f:Sto S'} 為一 Spec(K){displaystyle mathrm {Spec} (K)}-態射，P:Spec(K¯)→S′{displaystyle P:mathrm {Spec} ({overline {K}})to S'} 為一幾何點，則 P{displaystyle P} 點的幾何纖維定義為相應的纖維積 S×SSpec(K¯){displaystyle Stimes _{S}mathrm {Spec} ({overline {K}})}。

概形之性質

概形的大部分性質都是「局部的」，換言之：X{displaystyle X} 具有性質甲，若且唯若對其任一開覆蓋 X=⋃iXi{displaystyle X=bigcup _{i}X_{i}}，每個 Xi{displaystyle X_{i}} 皆具性質甲；而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為「扎里斯基局部」的，藉以區別對於其他格羅滕迪克拓撲的情形（如平展拓撲）。

考慮一概形 X{displaystyle X} 及一組仿射開子概形 SpecAi{displaystyle mathrm {Spec} A_{i}} 組成的開覆蓋。藉此可將概形的局部性質翻譯為交換環的性質。一個性質甲在上述意義下是局部的，若且唯若相應的環性質在局部化之下不變。

舉例明之，局部諾特概形是能由諾特環的交換環譜覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環，局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是既約概形，這也是局部性質，因為若一個交換環無冪零元，則其局部化亦然。

分離概形並非局部性質：任何仿射概形都是分離概形，因此任何概形都是「局部分離」的，然而存在非分離的概形。

以下是環的局部性質列表（不全），由此可定義概形的相應性質。以下令 X:=⋃iSpecAi{displaystyle X:=bigcup _{i}mathrm {Spec} A_{i}} 為一概形之開覆蓋。

概念	定義	例子	反例
與概形結構相關者
不可約	若一連通概形 X{displaystyle X} （作為拓撲空間）不能表為兩個閉子集的聯集，除非其中一者為 X{displaystyle X}，則稱之為不可約概形。利用素理想與仿射概形的點的對應，可知連通概形 X{displaystyle X} 不可約若且唯若每個 Ai{displaystyle A_{i}} 恰有一個極小素理想。凡諾特概形皆可唯一表示為有限個極大不可約閉子集的聯集，這些閉子集稱為其不可約成份。	仿射空間、射影空間	Spec k[x,y]/(xy) =
既約	環 Ai{displaystyle A_{i}} 皆為既約環（即：無冪零元素），等價的說法是結構層 OX{displaystyle {mathcal {O}}_{X}} 沒有冪零的局部截面。代數幾何的一大進步是將代數簇推廣為概形，而概形可能是非既約的。	代數簇 （根據定義）	k[x]/(x2)
整	不可約的既約概形稱作整概形。等價的說法是：該概形可由整環的譜覆蓋。嚴格地說，這只在連通概形上才是局部性質。	Spec k[t]/f, f 為不可約多項式	Spec A ⊕ B. (A, B ≠ 0)
正規	若每個 Ai{displaystyle A_{i}} 都是整閉的，則稱 X{displaystyle X} 為正規概形。	正則概形、帶有理奇點的曲面	帶奇點的曲線
與正則性相關者
正則	若每個 Ai{displaystyle A_{i}} 都是正則局部環，則稱 X{displaystyle X} 為正則概形。	域上的平滑代數簇	Spec k[x,y]/(x2+x3-y3)=
Cohen-Macaulay	若 X{displaystyle X} 的局部環皆是Cohen-Macaulay環，則稱 X{displaystyle X} 為 Cohen-Macaulay 概形。	正則概形、 Spec k[x,y]/(xy)
與「大小」相關者
局部諾特	每個 Ai{displaystyle A_{i}} 皆為諾特環。如果此外更要求該覆蓋為有限覆蓋，則該概形稱為諾特概形。	古典代數幾何的大部分對象	GL∞=∪GLn{displaystyle GL_{infty }=cup GL_{n}}
鏈	若 X{displaystyle X} 的任兩個不可約閉子概形 Y⊂Z{displaystyle Ysubset Z} 之間的極大鏈都有相同長度，則稱 X{displaystyle X} 為鏈概形，這在局部上對應於鏈環。整鏈概形的維度是局部性質。	代數幾何的大部分對象	見條目鏈環中的反例

態射之性質

格羅滕迪克的基本理念之一是強調「相對」性，亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象 SpecZ{displaystyle mathrm {Spec} mathbb {Z} }，所以任何概形可以唯一地理解為 SpecZ{displaystyle mathrm {Spec} mathbb {Z} }-概形，藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。

以下令

f:Y→X{displaystyle f:Yto X}

為概形間的態射。一如既往，以下的性質也是局部的，即：若存在開覆蓋 X=⋃Ui{displaystyle X=bigcup U_{i}} 使得 f{displaystyle f} 在 f−1(Ui){displaystyle f^{-1}(U_{i})} 上的限制帶有該性質，則 f{displaystyle f} 本身也帶該性質。

與拓撲結構相關的概念

若一個態射在拓撲空間上是開映射，則稱此態射為開態射；閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。

若 f(Y){displaystyle f(Y)} 在 X{displaystyle X} 中稠密，則稱此態射為優勢態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。對於仿射概形，優勢態射對應到環的單射同態。

開浸入與閉浸入

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  開浸入：若 f{displaystyle f} 同構於一個開子概形的包含映射，則稱之為開浸入。


• 
  閉浸入：若 f{displaystyle f} 同構於一個閉子概形的包含映射，則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃：f:Y→X{displaystyle f:Yto X} 是閉浸入，若且唯若 f{displaystyle f} 在拓撲空間的意義下是個閉浸入（f:Y→f(Y){displaystyle f:Yto f(Y)} 是同胚，且 f(Y){displaystyle f(Y)} 是 X{displaystyle X} 中的閉集），而且 f#:OX→f∗OY{displaystyle f^{#}:{mathcal {O}}_{X}to f_{*}{mathcal {O}}_{Y}} 是滿射。


• 
  浸入：閉浸入與開浸入的合成。

開浸入僅關乎拓撲，而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構，其中存在一個始對象，使得其結構層不含冪零元，稱為該閉子集對應的既約子概形。

仿射態射與射影態射

若 X{displaystyle X} 的仿射開子概形對 f{displaystyle f} 的逆像仍為仿射概形，則稱 f{displaystyle f} 為仿射態射。用較炫的說法：仿射態射係來自 OX{displaystyle {mathcal {O}}_{X}}-代數的整體 Spec{displaystyle mathbf {Spec} } 構造，這是整體版本的交換環譜。例子包括向量叢。

射影態射的定義類似，此時對應到分次 OX{displaystyle {mathcal {O}}_{X}}-代數的整體 Proj{displaystyle mathbf {Proj} } 構造，另一種等價的刻劃是： f{displaystyle f} 是射影態射，若且唯若它可分解為閉浸入 Y→PXn:=Pn×X{displaystyle Yto mathbb {P} _{X}^{n}:=mathbb {P} ^{n}times X} 及自然投影 PXn→X{displaystyle mathbb {P} _{X}^{n}to X}。

分離態射與真態射

主条目：分離態射

主条目：真態射

• 
  分離態射：使得對角態射 ΔY/X:Y→Y×XY{displaystyle Delta _{Y/X}:Yto Ytimes _{X}Y} 為閉浸入的態射，此概念對應到拓撲學中的豪斯多夫空間。


• 
  真態射：即滿足下列性質的態射
  
  
  
  • 分離態射
  
  
  • 泛閉（即：任一閉浸入 s:Z→X{displaystyle s:Zto X} 在對 f{displaystyle f} 取纖維積後仍為閉浸入）
  
  
  • 有限型
  
  
  
  

有限型、擬有限與有限態射

若 X{displaystyle X} 有一組仿射開覆蓋 SpecAi{displaystyle mathrm {Spec} ,A_{i}}，使得態射 f−1(SpecAi)→SpecAi{displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})to mathrm {Spec} ,A_{i}} 對應到 SpecBi→SpecAi{displaystyle mathrm {Spec} ,B_{i}to mathrm {Spec} ,A_{i}}，使得 Bi{displaystyle B_{i}} 是有限 Ai{displaystyle A_{i}}-模，則稱此態射為有限態射。

若將上述條件改為：f−1(SpecAi){displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})} 有一組仿射開覆蓋 SpecBij{displaystyle mathrm {Spec} ,B_{ij}} ，使得 SpecBij{displaystyle mathrm {Spec} ,B_{ij}} 是有限生成的 SpecAi{displaystyle mathrm {Spec} ,A_{i}}-代數，則稱此態射為局部有限型態射；若上述開覆蓋 f−1(SpecAi)=⋃jSpecBij{displaystyle f^{-1}(mathrm {Spec} ,A_{i})=bigcup _{j}mathrm {Spec} ,B_{ij}} 可取為有限的，則稱之有限型態射。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。

若 f{displaystyle f} 的纖維都是有限的，且是有限型態射，則稱之為擬有限態射。有限態射皆為擬有限態射。

平坦態射

若 f{displaystyle f} 在結構層的莖上給出平坦同態，則稱之為平坦態射。視此態射為一族以 X{displaystyle X} 的點為參數的概形，則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質，例如希爾伯特多項式的不變性。

非分歧態射與平展態射

主条目：平展態射

對一點 y∈Y{displaystyle yin Y}，考慮相應的環同態：

f#:OX,f(y)→OY,y.{displaystyle f^{#}colon {mathcal {O}}_{X,f(y)}to {mathcal {O}}_{Y,y}.}

令 m{displaystyle {mathfrak {m}}} 為 OX,f(y){displaystyle {mathcal {O}}_{X,f(y)}} 的極大理想，並設

n:=f#(m)OY,y{displaystyle {mathfrak {n}}:=f^{#}({mathfrak {m}}){mathcal {O}}_{Y,y}}

若對所有 y∈Y{displaystyle yin Y}，n{displaystyle {mathfrak {n}}} 是 OY,y{displaystyle {mathcal {O}}_{Y,y}} 的極大理想，且導出的映射 OX,f(y)/m→OY,y/n{displaystyle {mathcal {O}}_{X,f(y)}/{mathfrak {m}}to {mathcal {O}}_{Y,y}/{mathfrak {n}}} 是有限、可分的代數擴張，則稱此態射為非分歧態射。

平坦的非分歧態射稱為平展態射，此外尚有多種等價定義。在代數簇的情形，平展態射恰好是在切空間上導出同構的態射，這正好是微分幾何中平展態射的定義。

平滑態射

主条目：平滑態射

平滑態射對應到拓撲學中的塞爾纖維化映射，在代數幾何中有多種定義：

• 
  f:Y→X{displaystyle f:Yto X} 是有限型平坦態射，且 ΩY/X1{displaystyle Omega _{Y/X}^{1}} 是局部自由 OY{displaystyle {mathcal {O}}_{Y}}-模，其秩為 dim⁡Y−dim⁡X{displaystyle dim Y-dim X}。


• 
  f:Y→X{displaystyle f:Yto X} 可分解為某個平展態射 g:Y→AXn{displaystyle g:Yto mathbb {A} _{X}^{n}} 及自然投影 p:AXn→X{displaystyle p:mathbb {A} _{X}^{n}to X} 之合成。


• 形式判準：對任何交換環 A{displaystyle A} 及其理想 I{displaystyle I}，並滿足 I2=(0){displaystyle I^{2}=(0)}，則 HomX(Spec(A),Y)→HomX(Spec(A/I),Y){displaystyle mathrm {Hom} _{X}(mathrm {Spec} (A),Y)to mathrm {Hom} _{X}(mathrm {Spec} (A/I),Y)} 是滿射。

外部連結

• 
  Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong

文獻

• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法语）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
  


• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4: 5–228.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  


• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 8: 5–222.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  


• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 11: 5–167.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  


• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1963, 17: 5–91.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  


• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1964, 20: 5–259.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  


• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1965, 24: 5–231.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  


• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1966, 28: 5–255.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  


• 
  Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1967, 32: 5–361.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  

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