非完整系統




在古典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為



f(x1, x2, x3, …, xN, t)=0{displaystyle f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, dots , x_{N}, t)=0}f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, dots , x_{N}, t)=0；

這裏，f{displaystyle f}f是每一個粒子Pi{displaystyle P_{i}}P_i之位置xi{displaystyle x_{i}}x_{i}和時間t{displaystyle t}t的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。




目录






  • 1 廣義座標的轉換


  • 2 微分形式表示


  • 3 半完整系統


  • 4 實例


  • 5 參閱


  • 6 參考文獻





廣義座標的轉換


完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數xd{displaystyle x_{d}}x_{d}是完整約束函數fk{displaystyle f_{k}}f_{k}裏的一個參數，現在指定除去xd{displaystyle x_{d}}x_{d}。重新編排上述約束方程式，求出表示xd{displaystyle x_{d}}x_{d}的函數gk{displaystyle g_{k}}g_{k}：



xd=gk(x1, x2, x3, …, xd−1, xd+1, …, xN, t){displaystyle x_{d}=g_{k}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, dots , x_{d-1}, x_{d+1}, dots , x_{N}, t)}x_{d}=g_{k}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, dots , x_{{d-1}}, x_{{d+1}}, dots , x_{N}, t)。

將函數gk{displaystyle g_{k}}g_{k}代入所有提到xd{displaystyle x_{d}}x_{d}的方程式。這樣，可以除去所有指定變數xd{displaystyle x_{d}}x_{d}。


假設一個物理系統原本的自由度是N{displaystyle N}N。現在，將h{displaystyle h}h個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為m=N−h{displaystyle m=N-h}m=N-h。可以用m{displaystyle m}m個獨立廣義座標(q1, q2, …, qm){displaystyle (q_{1}, q_{2}, dots , q_{m})}(q_{1}, q_{2}, dots , q_{m})來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：



xi=xi(q1, q2, …, qm, t) ,i=1, 2, 3, …N{displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1}, q_{2}, dots , q_{m}, t) ,qquad qquad qquad i=1, 2, 3, dots N}x_{i}=x_{i}(q_{1}, q_{2}, dots , q_{m}, t) ,qquad qquad qquad i=1, 2, 3, dots N。

換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。



微分形式表示


約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第i{displaystyle i}i個約束的微分形式的約束方程式：



∑j cijdqj+cidt=0{displaystyle sum _{j} c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0}sum _{j} c_{{ij}}dq_{j}+c_{i}dt=0；

這裏，cij{displaystyle c_{ij}}c_{{ij}}，ci{displaystyle c_{i}}c_{i}分別為微分dqj{displaystyle dq_{j}}dq_{j}與dt{displaystyle dt}dt的係數。


假若此約束方程式是可積分的。也就是說，有一個函數fi(q1, q2, q3, …, qN, t)=0{displaystyle f_{i}(q_{1}, q_{2}, q_{3}, dots , q_{N}, t)=0}f_{i}(q_{1}, q_{2}, q_{3}, dots , q_{N}, t)=0的全微分滿足下述等式：



dfi=∑j cijdqj+cidt=0{displaystyle df_{i}=sum _{j} c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0}df_{i}=sum _{j} c_{{ij}}dq_{j}+c_{i}dt=0；

那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。



半完整系統


表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示：



fi(q1, q2, …, qN, q˙1, q˙2, …, q˙N)=0 ,i=1, 2, 3, …n{displaystyle f_{i}(q_{1}, q_{2}, dots , q_{N}, {dot {q}}_{1}, {dot {q}}_{2}, dots , {dot {q}}_{N})=0 ,qquad qquad qquad i=1, 2, 3, dots n}f_{i}(q_{1}, q_{2}, dots , q_{N}, {dot {q}}_{1}, {dot {q}}_{2}, dots , {dot {q}}_{N})=0 ,qquad qquad qquad i=1, 2, 3, dots n；

則稱此系統為半完整系統[1]；這裏，q˙j{displaystyle {dot {q}}_{j}}{dot {q}}_{j}是廣義速度。


半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子λi{displaystyle lambda _{i}}lambda_i



∑i=1n λifi=0{displaystyle sum _{i=1}^{n} lambda _{i}f_{i}=0}sum _{{i=1}}^{n} lambda _{i}f_{i}=0；

這裏，λi=λi(q1, q2, …, qN, q˙1, q˙2, …, q˙N, t){displaystyle lambda _{i}=lambda _{i}(q_{1}, q_{2}, dots , q_{N}, {dot {q}}_{1}, {dot {q}}_{2}, dots , {dot {q}}_{N}, t)}lambda _{i}=lambda _{i}(q_{1}, q_{2}, dots , q_{N}, {dot {q}}_{1}, {dot {q}}_{2}, dots , {dot {q}}_{N}, t)是未知函數。


假設哈密頓原理成立，則下述方程式成立：



δ∫t1t2 L dt=0{displaystyle delta int _{t_{1}}^{t_{2}} L dt=0}delta int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}} L dt=0；

這裏，L{displaystyle L}L是拉格朗日量，t1{displaystyle t_{1}}t_{1} 與t2{displaystyle t_{2}}t_{2}分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算，可以得到方程式



∫t1t2 ∑j (∂L∂qj−ddt(∂L∂q˙j))δqj dt=0{displaystyle int _{t_{1}}^{t_{2}} sum _{j} left({frac {partial L}{partial q_{j}}}-{frac {d}{dt}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{j}}}right)right)delta q_{j} dt=0}int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}} sum _{j} left({frac {partial L}{partial q_{j}}}-{frac {d}{dt}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{j}}}right)right)delta q_{j} dt=0。

由於這N{displaystyle N}N個廣義座標中，仍舊有n{displaystyle n}n個不獨立廣義座標，不能將拉格朗日方程式提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目：



δ∫t1t2 (L+∑i=1n λifi) dt=0{displaystyle delta int _{t_{1}}^{t_{2}} left(L+sum _{i=1}^{n} lambda _{i}f_{i}right) dt=0}delta int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}} left(L+sum _{{i=1}}^{n} lambda _{i}f_{i}right) dt=0。

經過變分法運算，可以得到方程式



∫t1t2 ∑j (∂L∂qj−ddt(∂L∂q˙j)+Fj)δqj dt=0{displaystyle int _{t_{1}}^{t_{2}} sum _{j} left({frac {partial L}{partial q_{j}}}-{frac {d}{dt}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{j}}}right)+{mathcal {F}}_{j}right)delta q_{j} dt=0}int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}} sum _{j} left({frac {partial L}{partial q_{j}}}-{frac {d}{dt}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{j}}}right)+{mathcal {F}}_{j}right)delta q_{j} dt=0 ;

這裏，Fj{displaystyle {mathcal {F}}_{j}}{mathcal {F}}_{j}是廣義力的j{displaystyle j}j分量：



Fj=∑i [∂(λifi)∂qj−ddt(∂(λifi)∂q˙j)]{displaystyle {mathcal {F}}_{j}=sum _{i} left[{frac {partial (lambda _{i}f_{i})}{partial q_{j}}}-{frac {d}{dt}}left({frac {partial (lambda _{i}f_{i})}{partial {dot {q}}_{j}}}right)right]}{mathcal {F}}_{j}=sum _{i} left[{frac {partial (lambda _{i}f_{i})}{partial q_{j}}}-{frac {d}{dt}}left({frac {partial (lambda _{i}f_{i})}{partial {dot {q}}_{j}}}right)right]。

雖然還有n{displaystyle n}n個不獨立廣義座標，仍舊可以調整n{displaystyle n}n加入的拉格朗日乘子，使總和公式內的每一個虛位移δqj{displaystyle delta q_{j}}delta q_{j}的係數都等於0。因此，



ddt(∂L∂q˙j)−∂L∂qj=Fj{displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{j}}}right)-{frac {partial L}{partial q_{j}}}={mathcal {F}}_{j}}{frac {d}{dt}}left({frac {partial L}{partial {dot {q}}_{j}}}right)-{frac {partial L}{partial q_{j}}}={mathcal {F}}_{j}。

這N{displaystyle N}N個方程式加上n{displaystyle n}n個約束方程式，給予了N+n{displaystyle N+n}N+n個方程式來解N{displaystyle N}N個未知廣義座標與n{displaystyle n}n個拉格朗日乘子。



實例


非完整系統至少存在於以下三個狀況：



  1. 物體在做滾動運動。

  2. 系統的約束包括不等式。

  3. 系統的約束與速度有關（例如普法夫約束）。



參閱



  • 拉格朗日力學

  • 哈密頓力學

  • 完整系統

  • 定常系統

  • 單演系統

  • 保守系統

  • 平行停車問題

  • 落貓問題



參考文獻





  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)




  • Jack Sarfatti. Non Holonomic Constraints in Newtonian Mechanics (PDF). Pedagogical Review from the Classics of Physics. 2000-03-26. （原始内容 (PDF)存档于2007-10-20） （英语）. 



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