矩阵多项式

  提示：本条目的主题不是多项式矩阵。

矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念，指由方块矩阵作为不定元的多项式，或由方块矩阵作为变量的多项式函数。

目录

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  1 定义
  


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  2 性质
  


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  3 参见
  


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  4 参考来源
  

定义

给定自然数n、系数环R{displaystyle mathbf {R} }以及n阶方块矩阵A，一个关于矩阵A的d次的矩阵多项式通常写作：

P(A)=α0In+α1A+α2A2+⋯+αdAd=∑i=0dαiAi{displaystyle P(A)=alpha _{0}mathbf {I} _{n}+alpha _{1}A+alpha _{2}A^{2}+cdots +alpha _{d}A^{d}=sum _{i=0}^{d}alpha _{i}A^{i}}

其中的α0,α1,⋯,αd{displaystyle alpha _{0},alpha _{1},cdots ,alpha _{d}}都是系数环R{displaystyle mathbf {R} }中的元素。这其实是可以看作将R[λ]{displaystyle mathbf {R} [lambda ]}中的多项式：

P(λ)=α0+α1λ+α2λ2+⋯+αdλd=∑i=0dαiλi{displaystyle P(lambda )=alpha _{0}+alpha _{1}lambda +alpha _{2}lambda ^{2}+cdots +alpha _{d}lambda ^{d}=sum _{i=0}^{d}alpha _{i}lambda ^{i}}

中的不定元λ{displaystyle lambda }换成了一个n阶方块矩阵A后得到的结果。P(A)和A一样，也是一个n阶方块矩阵。

性质

给定一个n阶方块矩阵A，如果一个非零多项式f∈R[λ]{displaystyle fin mathbf {R} [lambda ]}满足：f(A)=0{displaystyle f(A)=0}，则称多项式f是矩阵A的零化多项式。根据开莱－哈密尔顿定理，特征多项式ΠA(λ){displaystyle Pi _{A}(lambda )}满足ΠA(A)=0{displaystyle Pi _{A}(A)=0}，所以ΠA{displaystyle Pi _{A}}是一个零化多项式。所有零化多项式中次数最低的称为A的最小多项式，记作πA{displaystyle pi _{A}}。所有关于A的矩阵多项式Q都可以通过最小多项式化简为一个次数严格小于πA{displaystyle pi _{A}}的多项式。事实上，存在多项式Q,R∈R[λ]{displaystyle Q,;R;in mathbf {R} [lambda ]}，使得：

P=QπA+R{displaystyle P=Qpi _{A}+R}

并且其中R的次数严格小于πA{displaystyle pi _{A}}的次数。所以：

P(A)=Q(A)πA(A)+R(A)=Q(A)⋅0+R(A)=R(A).{displaystyle P(A)=Q(A)pi _{A}(A)+R(A)=Q(A)cdot 0+R(A)=R(A).}

参见

参考来源

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