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行向量與列向量
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在 线性代数中，列向量 / 排矩阵 是一个 m × 1 矩阵，m 為任意正整數，例如：
x=[x1x2⋮xm]{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}},}。
此外，行向量 / 行矩阵 是一个 1 × m 矩阵，m為任意正整數，例如：[1]
x=[x1x2…xm]{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&dots &x_{m}end{bmatrix}},}。
黑体字 x{displaystyle mathbf {x} }
行向量的转置（以T表示）是列向量：
[x1x2…xm]T=[x1x2⋮xm]{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}={begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}},}，
而列向量的转置就是行向量：
[x1x2⋮xm]T=[x1x2…xm]{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}={begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}},}。
集合所有的行矢量的 向量空间 称为行空间。同样地，集合所有列矢量的向量空间称为列空间。行列空间的尺寸等的条目数量的行中的或列的矢量。
列空間可以看作是行空間的雙重空間，因為列向量空間上的任何線性函數都可以唯一地表示為具有特定行向量的內積。
目录
1 標示
2 操作
3 优选输入的向量矩阵变换
4 参看
5 備註
6 参考文献
標示
为了简化编写列矢量，有时他们写为行向量的转操作应用到它们。
- x=[x1x2…xm]T{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}}
或
- x=[x1,x2,…,xm]T{displaystyle mathbf {x} ={begin{bmatrix}x_{1},x_{2},dots ,x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}}
一些作者也使用该《公约》编写两栏载和行向量的行为，但是分离的行向量元素用 逗号 ，并列矢量元素与 分号 (见的替代符号2在下表)。
| Row vector | Column vector | |
|---|---|---|
Standard matrix notation (array spaces, no commas, transpose signs) | [x1x2…xm]{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}}  | [x1x2⋮xm] or [x1x2…xm]T{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{m}end{bmatrix}}{text{ or }}{begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}}  |
Alternative notation 1 (commas, transpose signs) | [x1,x2,…,xm]{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1},x_{2},dots ,x_{m}end{bmatrix}}}  | [x1,x2,…,xm]T{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1},x_{2},dots ,x_{m}end{bmatrix}}^{rm {T}}}  |
Alternative notation 2 (commas and semicolons, no transpose signs) | [x1,x2,…,xm]{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1},x_{2},dots ,x_{m}end{bmatrix}}} | [x1;x2;…;xm]{displaystyle {begin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}}  |
操作
矩阵乘法 涉及乘以每个行矢量的一个矩阵的每个列矢量的另一个矩阵。
本 点積 的两个矢量 a 和 b 为相当于基质的产品的行向量的代表 一 并列矢量表示的 b,
- a⋅b=aTb=[a1a2a3][b1b2b3]=a1b1+a2b2+a3b3,{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =mathbf {a} ^{mathrm {T} }mathbf {b} ={begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},,}
这也是等同的矩阵产品的行向量的代表 b 和列的矢量表示 一下，
- b⋅a=bTa=[b1b2b3][a1a2a3].{displaystyle mathbf {b} cdot mathbf {a} =mathbf {b} ^{mathrm {T} }mathbf {a} ={begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}end{bmatrix}},.}
该矩阵列和一个行向量给出了並矢張量的两个矢量 a 和 b,一个例子更加大张量积上。 矩阵产品的列的矢量表示的 一个 并行向量的代表 b 给该组成部分他们的二进产品，
- a⊗b=abT=[a1a2a3][b1b2b3]=[a1b1a1b2a1b3a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b3],{displaystyle mathbf {a} otimes mathbf {b} =mathbf {a} mathbf {b} ^{mathrm {T} }={begin{bmatrix}a_{1}\a_{2}\a_{3}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{bmatrix}},,}
这是 不 等同的矩阵产品的列的矢量表示的 b 和行向量表示的 a,
- b⊗a=baT=[b1b2b3][a1a2a3]=[b1a1b1a2b1a3b2a1b2a2b2a3b3a1b3a2b3a3].{displaystyle mathbf {b} otimes mathbf {a} =mathbf {b} mathbf {a} ^{mathrm {T} }={begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}\b_{3}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\end{bmatrix}},.}
在这种情况下的两个矩阵是不同的：他们被调换。
优选输入的向量矩阵变换
经常行矢量本身是对于操作的内 n-空格表示 n × n 矩阵 M,
- vM=p.{displaystyle vM=p,.}
然后 p 也是一个行向量和可能存在到另一个 n × n 矩阵 Q,
- pQ=t.{displaystyle pQ=t,.}
有時，可以写 t = p Q = v MQ 告诉我们的 矩阵产品 转变 MQ 可以采取 v 直接 t. 继续执行向量，矩阵变换进一步的重新配置 n-空间可以适用于该权利的先前的产出。
相反，当一列矢量转换成为另一个列下 n × n 矩阵的行动，操作时发生的左边，
p=Mv,t=Qp{displaystyle p=Mv,,quad t=Qp},
导致代数表达式 的质量管理v 对组输出从 v 输入。 矩阵变换山的左在此利用一个的列矢量输入矩阵变换。 自然偏读左到右，作为后续转换应用在线性代数，反对列矢量的投入。
尽管如此，使用的 转 运之间的这些差异的投入的一个行或列自然解决的一个 antihomomorphism 群体之间产生的两个方面。 该技术结构使用 双空间 相关的一矢量的空间来开发的 转的直线地图.
例如，在那里这个行向量输入《公约》已经使用到好的效果看到Raiz Usmani的，[2] 在那里页106该公约允许的声明"产品映 "ST "的 "U" 入 "W"[被给予]：
α(ST)=(αS)T=βT=γ{displaystyle alpha (ST)=(alpha S)T=beta T=gamma }中。"
(希腊字母代表行向量)。
卢德维克·斯坦使用的行向量的时空的事件；他施加洛伦兹转换矩阵的权利在他的相对论 在1914年(见第143页)中。
在1963年时 McGraw-Hill 公布的 差别几何 由 Heinrich Guggenheimer 的 明尼苏达大学，他使用的行向量《公约》第5章，"导言转化群体"(均衡。 7a，9b和12至15条)。当H.S.M.考克斯特的审查 直线的几何学 的 Rafael Artzy，他写道，"[Artzy]是要祝贺他选择的左到右'《公约》，这使他方面一点作为行矩阵，而不是笨拙的柱，许多作者。" J.W.P.Hirschfeld使用正确的乘法的行向量的矩阵中他描述的projectivities在 伽罗瓦的几何形状 PG(1，q)。
参看
- 协变和逆变
備註
^ Meyer (2000), p. 8
^ Raiz A. Usmani (1987) Applied Linear Algebra Marcel Dekker ISBN 0824776224.
参考文献
Axler, Sheldon Jay, Linear Algebra Done Right 2nd, Springer-Verlag, 1997, ISBN 0-387-98259-0
Lay, David C., Linear Algebra and Its Applications 3rd, Addison Wesley, August 22, 2005, ISBN 978-0-321-28713-7
Meyer, Carl D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), February 15, 2001, ISBN 978-0-89871-454-8, （原始内容存档于2001年3月1日）
Poole, David, Linear Algebra: A Modern Introduction 2nd, Brooks/Cole, 2006, ISBN 0-534-99845-3
Anton, Howard, Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th, Wiley International, 2005
Leon, Steven J., Linear Algebra With Applications 7th, Pearson Prentice Hall, 2006
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