Mixing
模
本文介紹的是抽象代数中的概念。關於“模”的其他含义，請見「模 (消歧义)」。在數學的抽象代數中，環上的模(module over a ring)的概念是對向量空間概念的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體(field)，進而放寬純量可以是環(ring)。
因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的（在同環中的乘法一起用的時候）和分配律的。
模非常密切的關聯於群的表示理論。它們還是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛的用于代數幾何和代數拓撲中。
目录
1 定義
2 例子
3 子模及同態
4 其他定義及表達法
定義
假設R 是環(ring)且1R ∈ R，1R 是其乘法運算的單位元素，則左R-模包括一個交換群(M, +)，以及一個映射(或運算)⋅ : R × M → M (叫做標量乘法或數積，通常把此運算的值 (r,x) 記作 rx 或是 r ⋅ x，r ∈ R 且 x ∈ M ) ，並且滿足以下條件
對所有r,s ∈ R, x,y ∈ M,
- (r⋅s)⋅x=r⋅(s⋅x){displaystyle (rcdot s)cdot x=rcdot (scdot x)}
- r⋅(x+y)=r⋅x+r⋅y{displaystyle rcdot (x+y)=rcdot x+rcdot y}
- (r+s)⋅x=r⋅x+s⋅x{displaystyle (r+s)cdot x=rcdot x+scdot x}
- 1R⋅x=x.{displaystyle 1_{R}cdot x=x.}
有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素1R，所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件，並把以上的定義稱為"帶單位元(1R )的左模"。
一個左R-模M 記作RM，類似的右R-模M 記作MR。
一個右R-模M或MR與左R-模的定義相似，只是環的元素在右邊，即其數積是⋅ : M × R → M。在左R-模的定義中，環的元素r 和s 是在M 的元素x 的左邊。若R 是可交換的，則左R-模與右R-模是一樣的，簡稱為R-模。
若R 是一個域則R-模稱為向量空間。模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但通常沒基底。
例子
- 所有 可置換群 M是一個在整數環Z的模，其數積是nx = x + x + ... + x（n個相加）對於n > 0, 0x = 0，以及(-n)x = -(nx)對於n < 0。
- 若R是一個環而n是一個自然數，則 Rn 是一個R-模。
- 若M是一個光滑流形，則由M至實數的光滑函数是一個環R。在M上的所有向量場組成一個R-模。
- 所有 n×n 實數矩陣 組成一個環R。 歐幾里得空間Rn 是一個左R-模，當中數積就是矩陣乘法。
- 若R是一個環而I是其中一個 左理想 ，則I是一個左R-模。
子模及同態
假設M是左R-模兼N是M的子集。如果對於所有n ∈ N及r ∈ R，乘積rn ∈ N（若是右模，nr），則N是RM的子模（或更準確地，R-子集）。
若M和N是左R-模，若映射
f : M -> N有對所有m, n ∈ M及r, s ∈ R，f(rm + sn) = rf(m) + sf(n)，則稱映射
f為R-模同態。像其他同態，模同態保存了模的結構。
其他定義及表達法
若M是左R-模，則一個R中元素r之作用定義為映射M → M，它將每個x映至rx（或者在右模的情況是xr），這必然是阿貝爾群（M,+）的群自同態。全體M的自同態記作EndZ(M)，它在加法與合成下構成一環，而將R的元素r映至其作用則給出從R至EndZ(M)之同態。
如此的環同態R → EndZ(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群M配上一個R的表示。
一個表示稱作忠實的，若且唯若R → EndZ(M)是單射。以模論術語來說，這意謂若r是R的元素，且使得對所有M中的x都有rx=0，則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。
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