线性微分方程

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线性微分方程是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程：

L(y)=f…(∗){displaystyle {mathcal {L}}(y)=fqquad ldots ;;(*)}

其中方程左侧的微分算子L{displaystyle {mathcal {L}}}是线性算子，y是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

目录

• 
  1 简介
  


• 
  2 常系数齐次线性微分方程
  
  
  
  • 
    2.1 例子
    
  
  
  
  


• 
  3 常系数非齐次线性微分方程
  
  
  
  • 
    3.1 待定系数法
    
  
  
  • 
    3.2 常数变易法
    
  
  
  
  


• 
  4 变系数线性微分方程
  
  
  
  • 
    4.1 例子
    
  
  
  
  


• 
  5 拉普拉斯变换解微分方程
  


• 
  6 参见
  


• 
  7 参考文献
  

简介

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为：

L(y)=f…(∗){displaystyle {mathcal {L}}(y)=fqquad ldots ;;(*)}

其中的L{displaystyle {mathcal {L}}}是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数y1{displaystyle y_{1}}和y2{displaystyle y_{2}}以及两个常数λ1{displaystyle lambda _{1}}和λ2{displaystyle lambda _{2}}，那么：

L(λ1y1+λ2y2)=λ1L(y1)+λ2L(y2).{displaystyle {mathcal {L}}(lambda _{1}y_{1}+lambda _{2}y_{2})=lambda _{1}{mathcal {L}}(y_{1})+lambda _{2}{mathcal {L}}(y_{2}).}

如果f是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数：y1,y2,⋯,ym{displaystyle y_{1},y_{2},cdots ,y_{m}}以及同样多的常数系数：λ1,λ2,⋯,λm{displaystyle lambda _{1},lambda _{2},cdots ,lambda _{m}}，线性组合λ1y1+λ2y2+⋯+λmym{displaystyle lambda _{1}y_{1}+lambda _{2}y_{2}+cdots +lambda _{m}y_{m}}仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间V，称为方程的解空间。如果f不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程：

L(y)=0…(∗∗){displaystyle {mathcal {L}}(y)=0qquad ldots ;;(**)}

设ys{displaystyle y^{s}}是方程(*)的一个解函数。y{displaystyle y}方程(**)的任意一个解函数。则它们的和ys+y{displaystyle y^{s}+y}仍然是(*)的解函数。另一方面，给定方程(*)的两个解函数：y1s{displaystyle y_{1}^{s}}和y2s{displaystyle y_{2}^{s}}。则它们的差y1s−y2s{displaystyle y_{1}^{s}-y_{2}^{s}}会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成ys+y,y∈V{displaystyle y^{s}+y,;yin V}的形式。其中V是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间V'，并且V′=ys+V{displaystyle V'=y^{s}+V}。

常系数齐次线性微分方程

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有ezx{displaystyle e^{zx}}的形式，其中z{displaystyle z}是某个复数。因此，对于以下方程：

dnydxn+A1dn−1ydxn−1+⋯+Any=0{displaystyle {frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+cdots +A_{n}y=0}

我们设y=ezx{displaystyle y=e^{zx}}，可得：

znezx+A1zn−1ezx+⋯+Anezx=0.{displaystyle z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+cdots +A_{n}e^{zx}=0.}

两边除以e ^zx，便得到了一个n次方程：

F(z)=zn+A1zn−1+⋯+An=0.{displaystyle F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+cdots +A_{n}=0.,}

这个方程F(z) = 0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项

dkydxk(k=1,2,…,n).{displaystyle {frac {d^{k}y}{dx^{k}}}quad quad (k=1,2,dots ,n).}

换成z^k，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z₁, ..., z_n。把任何一个解代入e ^zx，便可以得到微分方程的一个解：e ^z_ix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是y = C₁e ^z₁x + C₂e ^z₂x + …… + C_ne ^z_nx，其中C₁、C₂、……、C_n是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是，可以验证，如果z是特征方程的 m_z 重根，那么，对于 k∈{0,1,…,mz−1}{displaystyle kin {0,1,dots ,m_{z}-1},}，y=xkezx{displaystyle y=x^{k}e^{zx},} 就是微分方程的一个解。对每个特征根 z，都能得到 m_z 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数A_i都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果a + bi是特征方程的根，那么a - bi也是一个根。于是，y = e ^{(a + bi)x}和y = e ^{(a - bi)x}都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：y = e ^axcosbx。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：y = e ^axsinbx。于是，y = C₁e ^axcosbx + C₂e ^axsinbx就是微分方程的通解。

例子

求微分方程y″−4y′+5y=0{displaystyle y''-4y'+5y=0,}的通解。特征方程是z2−4z+5=0{displaystyle z^{2}-4z+5=0,}，它的根是2+i和2−i。于是，y=C1e2xcos⁡x+C2e2xsin⁡x{displaystyle y=C_{1}e^{2x}cos {x}+C_{2}e^{2x}sin {x}}就是微分方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法（日语：定数変化法）求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

待定系数法

考虑以下的微分方程：

dydx=y+e2x.{displaystyle {frac {dy}{dx}}=y+e^{2x}.!}

对应的齐次方程是：

dydx=y.{displaystyle {frac {dy}{dx}}=y.}

它的通解是：

y=cex.{displaystyle y=ce^{x}.!}

由于非齐次的部分是(e2x{displaystyle e^{2x}})，我们猜测特解的形式是：

yp=Ae2x.{displaystyle y_{p}=Ae^{2x}.!}

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

ddx(Ae2x)=Ae2x+e2x{displaystyle {frac {d}{dx}}left(Ae^{2x}right)=Ae^{2x}+e^{2x}!}

2Ae2x=Ae2x+e2x{displaystyle 2Ae^{2x}=Ae^{2x}+e^{2x}!}

2A=A+1{displaystyle 2A=A+1,!}

A=1.{displaystyle A=1.,!}

因此，原微分方程的解是：

y=cex+e2x.{displaystyle y=ce^{x}+e^{2x}.!} (c∈R{displaystyle cin R})

常数变易法

假设有以下的微分方程：

y′′+py′+qy=f(x){displaystyle y^{prime prime }+py^{prime }+qy=f(x)}

我们首先求出对应的齐次方程的通解 y=C1y1+C2y2{displaystyle y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}}，其中C₁、C₂是常数，y₁、y₂是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C₁、C₂换成x的未知函数u₁、u₂，也就是：

y=u1y1+u2y2.  (1){displaystyle y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.~~mathrm {(1)} }

两边求導數，可得：

y′=u1′y1+u2′y2+u1y1′+u2y2′.{displaystyle y'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.}

我们把函数u₁、u₂加上一条限制：

u1′y1+u2′y2=0.  (2){displaystyle u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.~~mathrm {(2)} }

于是：

y′=u1y1′+u2y2′.  (3){displaystyle y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.~~mathrm {(3)} }

两边再求導數，可得：

y″=u1′y1′+u2′y2′+u1y1″+u2y2″.  (4){displaystyle y''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.~~mathrm {(4)} }

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

u1′y1′+u2′y2′+u1y1″+u2y2″+pu1y1′+pu2y2′+qu1y1+qu2y2=f(x).{displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''+pu_{1}y_{1}'+pu_{2}y_{2}'+qu_{1}y_{1}+qu_{2}y_{2}=f(x).}

整理，得：

u1′y1′+u2′y2′+(u1y1″+pu1y1′+qu1y1)+(u2y2″+pu2y2′+qu2y2)=f(x).{displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+(u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1})+(u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2})=f(x).}

由于y₁和y₂都是齐次方程的通解，因此u1y1″+pu1y1′+qu1y1{displaystyle u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1}}和u2y2″+pu2y2′+qu2y2{displaystyle u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2}}都变为零，故方程化为：

u1′y1′+u2′y2′=f(x).  (5){displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x).~~mathrm {(5)} }

(2)和(5)联立起来，便得到了一个u1′{displaystyle u_{1}'}和u2′{displaystyle u_{2}'}的方程组，便可得到u1′{displaystyle u_{1}'}和u2′{displaystyle u_{2}'}的表达式；再积分，便可得到u1{displaystyle u_{1}}和u2{displaystyle u_{2}}的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

uj′=(−1)n+jW(y1,…,yj−1,yj+1…,yn)(0f)W(y1,y2,…,yn).{displaystyle u'_{j}=(-1)^{n+j}{frac {W(y_{1},ldots ,y_{j-1},y_{j+1}ldots ,y_{n})_{0 choose f}}{W(y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})}}.}

其中W表示朗斯基行列式。

变系数线性微分方程

n阶的变系数微分方程具有以下形式：

pn(x)y(n)(x)+pn−1(x)y(n−1)(x)+⋯+p0(x)y(x)=r(x).{displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).}

一个例子是柯西-欧拉方程：

xny(n)(x)+an−1xn−1y(n−1)(x)+⋯+a0y(x)=0.{displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+cdots +a_{0}y(x)=0.}

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：

 Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).{displaystyle Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).}

这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以e∫f(x)dx{displaystyle e^{int f(x),dx}}：

Dy(x)e∫f(x)dx+f(x)y(x)e∫f(x)dx=g(x)e∫f(x)dx,{displaystyle Dy(x)e^{int f(x),dx}+f(x)y(x)e^{int f(x),dx}=g(x)e^{int f(x),dx},}

用乘法定则，可以简化为：

D(y(x)e∫f(x)dx)=g(x)e∫f(x)dx{displaystyle D(y(x)e^{int f(x),dx})=g(x)e^{int f(x),dx}}

两边积分，得：

y(x)e∫f(x)dx=∫g(x)e∫f(x)dxdx+c ,{displaystyle y(x)e^{int f(x),dx}=int g(x)e^{int f(x),dx},dx+c~,}

y(x)=∫g(x)e∫f(x)dxdx+ce∫f(x)dx .{displaystyle y(x)={int g(x)e^{int f(x),dx},dx+c over e^{int f(x),dx}}~.}

也就是说，一阶线性微分方程y′(x)+p(x)y(x)=r(x){displaystyle y'(x)+p(x)y(x)=r(x)}的解是：

y=e−a(x)(∫r(x)ea(x)dx+κ){displaystyle y=e^{-a(x)}left(int r(x)e^{a(x)},dx+kappa right)}

其中κ{displaystyle kappa }是积分常数，且

a(x)=∫p(x)dx.{displaystyle a(x)=int {p(x),dx}.}

例子

考虑以下一阶线性微分方程：

dydx+by=1.{displaystyle {frac {dy}{dx}}+by=1.}

p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解为：

y(x)=e−bx(ebxb+C)=1b+Ce−bx.{displaystyle y(x)=e^{-bx}left({frac {e^{bx}}{b}}+Cright)={frac {1}{b}}+Ce^{-bx}.}

拉普拉斯变换解微分方程

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系：

L{f′}=sL{f}−f(0){displaystyle {mathcal {L}}{f'}=s{mathcal {L}}{f}-f(0)}

L{f″}=s2L{f}−sf(0)−f′(0){displaystyle {mathcal {L}}{f''}=s^{2}{mathcal {L}}{f}-sf(0)-f'(0)}

L{f(n)}=snL{f}−Σi=1nsn−if(i−1)(0).{displaystyle {mathcal {L}}{f^{(n)}}=s^{n}{mathcal {L}}{f}-Sigma _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).}

有如下微分方程：

∑i=0naif(i)(t)=ϕ(t).{displaystyle sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=phi (t).}

该方程可变换为：

∑i=0naiL{f(i)(t)}=L{ϕ(t)}{displaystyle sum _{i=0}^{n}a_{i}{mathcal {L}}{f^{(i)}(t)}={mathcal {L}}{phi (t)}}

则：

L{f(t)}=L{ϕ(t)}+∑i=1nai∑j=1isi−jf(j−1)(0)∑i=0naisi.{displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}={{mathcal {L}}{phi (t)}+sum _{i=1}^{n}a_{i}sum _{j=1}^{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) over sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}.}

其中 f(k)(0){displaystyle f^{(k)}(0)} 是初始条件。

f(t) 通过拉普拉斯反变换 L{f(t)}{displaystyle {mathcal {L}}{f(t)}} 求得。

参见

• 拉普拉斯变换


• 傅里叶变换


• 里卡蒂方程


• 伯努利微分方程


• 柯西-欧拉方程


• 克莱罗方程


• 全微分方程

参考文献

• Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.

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