自旋-軌道作用

在量子力學裏，一個粒子因為自旋與軌道運動而產生的作用，稱為自旋-軌道作用（英语：Spin–orbit interaction），也稱作自旋-軌道效應或自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核的電場時，會產生電磁作用．電子的自旋與這電磁作用的耦合，形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移，證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型能級的位移。

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

目录

• 
  1 電子的自旋-軌道作用
  
  
  
  • 
    1.1 磁場
    
  
  
  • 
    1.2 磁矩
    
  
  
  • 
    1.3 哈密頓量微擾項目
    
  
  
  • 
    1.4 能級位移
    
  
  
  
  


• 
  2 參閱
  


• 
  3 參考文獻
  


• 
  4 外部連結
  

電子的自旋-軌道作用

在這篇文章裏，會以相當簡單與公式化的方式，詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學、非相對論性量子力學、一階微擾理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案，雖然與實驗結果並不完全相同，但相當的符合。更嚴謹的導引應該從狄拉克方程式開始，也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案，則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

磁場

雖然在原子核的靜止參考系 (rest frame) ，並沒有磁場；在電子的靜止參考系，有磁場存在。暫時假設電子的靜止參考系為慣性參考系，則根據狹義相對論^[1]，磁場 B{displaystyle mathbf {B} ,!} 是

B=−v×Ec2{displaystyle mathbf {B} =-,{frac {mathbf {v} times mathbf {E} }{c^{2}}},!} ；(1)

其中，v{displaystyle mathbf {v} ,!} 是電子的速度，E{displaystyle mathbf {E} ,!} 是電子運動經過的電場，c{displaystyle c,!} 是光速。

以質子的位置為原點，則從質子產生的電場是

E=Ze4πϵ0r2r^=Ze4πϵ0r3r{displaystyle mathbf {E} ={frac {Ze}{4pi epsilon _{0}r^{2}}}{hat {mathbf {r} }}={frac {Ze}{4pi epsilon _{0}r^{3}}}mathbf {r} ,!} ；

其中，Z{displaystyle Z,!} 是質子數量（原子序數），e{displaystyle e,!} 是單位電荷量，ϵ0{displaystyle epsilon _{0},!} 是真空電容率，r^{displaystyle {hat {r}},!} 是徑向單位向量，r{displaystyle r,!} 是徑向距離，徑向向量 r{displaystyle mathbf {r} ,!} 是電子的位置。

電子的動量 p{displaystyle mathbf {p} ,!} 是

p=mv{displaystyle mathbf {p} =mmathbf {v} ,!} ；

其中，m{displaystyle m,!} 是電子的質量。

所以，作用於電子的磁場是

B=Ze4πϵ0mc2r3r×p=Ze4πϵ0mc2r3L{displaystyle mathbf {B} ={frac {Ze}{4pi epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}},mathbf {r} times mathbf {p} ={frac {Ze}{4pi epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}},mathbf {L} ,!} ；(2)

其中，L{displaystyle mathbf {L} ,!} 是角動量，L=r×p{displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p} ,!} 。

B{displaystyle mathbf {B} ,!} 是一個正值因子乘以 L{displaystyle mathbf {L} ,!} ，也就是說，磁場與電子的軌道角動量平行。

磁矩

電子的磁矩 μ{displaystyle {boldsymbol {mu }},!} 是

μ=γS{displaystyle {boldsymbol {mu }}=gamma ,mathbf {S} ,!} ；

其中，γ=gsqe2m{displaystyle gamma ={frac {g_{s}q_{e}}{2m}},!} 是迴轉磁比率 (gyromagnetic ratio) ，S{displaystyle mathbf {S} ,!} 是自旋，gs{displaystyle g_{s},!} 是電子自旋g因數，qe{displaystyle q_{e},!} 是電荷量。

電子的g-因數（g-factor）是 2{displaystyle 2,!} ，電荷量是 −e{displaystyle -e,!} 。所以，

μ=−emS{displaystyle {boldsymbol {mu }}=-{frac {e}{m}}mathbf {S} ,!} 。(3)

電子的磁矩與自旋反平行。

哈密頓量微擾項目

自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是

H′=−μ⋅B{displaystyle H'=-{boldsymbol {mu }}cdot mathbf {B} ,!} 。

代入 μ{displaystyle {boldsymbol {mu }},!} 的公式 (3) 和 B{displaystyle mathbf {B} ,!} 的公式(2)，經過一番運算，可以得到

H′=Ze24πϵ0m2c2 L⋅Sr3{displaystyle H'={frac {Ze^{2}}{4pi epsilon _{0}m^{2}c^{2}}} {frac {mathbf {L} cdot mathbf {S} }{r^{3}}},!}

一直到現在，都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 (Thomas precession) 。因為這效應，必須添加因子 1/2{displaystyle 1/2,!} 在公式裏。所以，

H′=Ze28πϵ0m2c2 L⋅Sr3{displaystyle H'={frac {Ze^{2}}{8pi epsilon _{0}m^{2}c^{2}}} {frac {mathbf {L} cdot mathbf {S} }{r^{3}}},!} 。

能級位移

在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後，現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地，想要找到 H0{displaystyle H_{0},!} 的本徵函數形成的基底，使 H′{displaystyle H',!} 能夠對角化。為了找到這基底，先定義總角動量算符 J{displaystyle mathbf {J} ,!} ：

J=L+S{displaystyle mathbf {J} =mathbf {L} +mathbf {S} ,!} 。

總角動量算符與自己的內積是

J2=L2+S2+2L⋅S{displaystyle mathbf {J} ^{2}=mathbf {L} ^{2}+mathbf {S} ^{2}+2mathbf {L} cdot mathbf {S} ,!} 。

所以，

L⋅S=12(J2−L2−S2){displaystyle mathbf {L} cdot mathbf {S} ={1 over 2}(mathbf {J} ^{2}-mathbf {L} ^{2}-mathbf {S} ^{2}),!} 。

請注意 H′{displaystyle H',!} 與 L{displaystyle mathbf {L} ,!} 互相不對易， H′{displaystyle H',!} 與 S{displaystyle mathbf {S} ,!} 互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實，H0{displaystyle H_{0},!} 與 L{displaystyle mathbf {L} ,!} 的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 E(1){displaystyle E^{(1)},!} 。H0{displaystyle H_{0},!} 與 S{displaystyle mathbf {S} ,!} 的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 E(1){displaystyle E^{(1)},!} 。可是， H′{displaystyle H',!} 、J2{displaystyle J^{2},!} 、L2{displaystyle L^{2},!} 、S2{displaystyle S^{2},!} ，這四個算符都互相對易。H0{displaystyle H_{0},!} 、J2{displaystyle J^{2},!} 、L2{displaystyle L^{2},!} 、S2{displaystyle S^{2},!} ，這四個算符也都互相對易。所以，H0{displaystyle H_{0},!} 、J2{displaystyle J^{2},!} 、L2{displaystyle L^{2},!} 、S2{displaystyle S^{2},!} ，這四個算符的共同本徵函數 |n,j,l,s⟩{displaystyle |n,j,l,srangle ,!} 可以被當做零微擾波函數，用來計算一階能量位移 En(1){displaystyle E_{n}^{(1)},!} ；其中， n{displaystyle n,!} 是主量子數，j{displaystyle j,!} 是總角量子數，l{displaystyle l,!} 是角量子數，s{displaystyle s,!} 是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底，就是想要尋找的基底。這共同本徵函數 |n,j,l,s⟩{displaystyle |n,j,l,srangle ,!} 的 L⋅S{displaystyle mathbf {L} cdot mathbf {S} ,!} 的期望值是

⟨n,j,l,s|L⋅S|n,j,l,s⟩=12(⟨J2⟩−⟨L2⟩−⟨S2⟩)=ℏ22[j(j+1)−l(l+1)−s(s+1)]=ℏ22[j(j+1)−l(l+1)−3/4]{displaystyle {begin{aligned}langle n,j,l,s,|,mathbf {L} cdot mathbf {S} ,|,n,j,l,srangle &={1 over 2}(langle mathbf {J} ^{2}rangle -langle mathbf {L} ^{2}rangle -langle mathbf {S} ^{2}rangle )\&={hbar ^{2} over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\&={hbar ^{2} over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\end{aligned}},!}；

其中，電子的自旋 s=1/2{displaystyle s=1/2,!} 。

經過一番繁瑣的運算^[2]，可以得到 r−3{displaystyle r^{-3},!} 的期望值

⟨n,j,l,s|r−3|n,j,l,s⟩=2Z3a03n3l(l+1)(2l+1){displaystyle langle n,j,l,s,|,r^{-3},|,n,j,l,srangle ={frac {2Z^{3}}{a_{0}^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}},!} ；

其中，a0=4πϵ0ℏ2me2{displaystyle a_{0}={frac {4pi epsilon _{0}hbar ^{2}}{me^{2}}},!} 是波耳半徑。

將這兩個期望值的公式代入，能級位移是

En(1)=Z4e2ℏ28πϵ0m2c2a03 [j(j+1)−l(l+1)−3/4]n3l(l+1)(2l+1){displaystyle E_{n}^{(1)}={frac {Z^{4}e^{2}hbar ^{2}}{8pi epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}} {frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3},l(l+1)(2l+1)}},!} 。

經過一番運算，可以得到

En(1)=(En(0))2mc2 2n[j(j+1)−l(l+1)−3/4]l(l+1)(2l+1){displaystyle E_{n}^{(1)}={frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}} {frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}},!} ；

其中，En(0)=Z2ℏ22ma02n2{displaystyle E_{n}^{(0)}={frac {Z^{2}hbar ^{2}}{2ma_{0}^{2}n^{2}}},!} 是主量子數為 n{displaystyle n,!} 的零微擾能級。

特別注意，當 l=0{displaystyle l=0,!} 時，這方程式會遇到除以零的不可定義運算；雖然分子項目 j(j+1)−l(l+1)−3/4=0{displaystyle j(j+1)-l(l+1)-3/4=0,!} 也等於零。零除以零，仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地，在精細結構能量微擾的計算裏，這不可定義問題自動地會消失。事實上，當 l=0{displaystyle l=0,!} 時，電子的軌道運動是球對稱的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來，l=0{displaystyle l=0,!} 球諧函數是

Y00=14π{displaystyle Y_{0}^{0}={frac {1}{sqrt {4pi }}},!} ，

由於完全跟角度無關，角動量也是零，電子並不會感覺到任何磁場，所以，電子的 l=0{displaystyle l=0,!} 軌道沒有自旋-軌道作用。

參閱

• 斯塔克效應


• 塞曼效應


• 超精細結構


• 蘭姆位移

參考文獻

1. 
   ^ French, A. P. Special Relativity (The M.I.T Introductory Physics Series). W. W. Norton & Company, Inc. 1968: pp. 237–250. ISBN 0748764224.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   


2. 
   ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
   

• 
  E. U. Condon and G. H. Shortley. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. 1935. ISBN 0-521-09209-4. 
  

外部連結

• 
  圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學： 自旋-軌道作用
  

This page is only for reference, If you need detailed information, please check here