亏格

数学上，亏格（genus）有几个不同但密切相关的意思：

目录

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  1 拓扑
  
  
  
  • 
    1.1 可定向曲面
    
  
  
  • 
    1.2 不可定向曲面
    
  
  
  • 
    1.3 纽结
    
  
  
  • 
    1.4 柄体
    
  
  
  
  


• 
  2 图论
  


• 
  3 代数几何
  


• 
  4 参看
  

拓扑

可定向曲面

连通，可定向曲面的亏格是一个整数，代表沿闭简单曲线切开但不切断曲面的最大曲线条数。这和柄的个数是相同的。

例如：

• 
  球面，圆盘和环亏格都为0。


• 
  环面亏格1，和带一个柄的咖啡杯的表面是一样的。

• 可定向曲面的亏格


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  亏格0
  

  
  

  
  


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  亏格1
  

  
  

  
  


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  亏格2
  

  
  

  
  


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  亏格3
  

  
  

  
  

不可定向曲面

连通，不可定向闭曲面的（不可定向）亏格是一个正整数，代表附在球上的交叉帽的个数。

例如：

• 
  射影平面有不可定向亏格1。


• 
  克莱因瓶有不可定向亏格2。

纽结

纽结K的亏格定义为所有K的Seifert曲面的最小亏格。

柄体

3维柄体的亏格是一个整数，代表沿嵌入的圆盘切开而不切断流形的最大切割数。这和柄的个数是一致的。

例如：

• 
  球亏格0。


• 实心环D2×S1{displaystyle D^{2}times S^{1}}亏格为1。

图论

图的亏格是最小的整数n使得图可以不用交叉就画在有n个柄的球面上（也就是亏格为n的可定向曲面）。这样，一个平面图亏格为0，因为可以画在球面上而没有自交。

图的不可定向亏格是最小的整数n使得图可以不用交叉就画在有n个交叉帽的球面上（也就是不可定向亏格为n的不可定向曲面）。

在拓扑图论中，有几种对群的亏格的定义。Arthur T. White引入了如下概念。群G{displaystyle G}的亏格是G{displaystyle G}的任意（连通，无向）凯莱图的最小格。

代数几何

有个任意代数曲线C的亏格的定义.
当定义C的域是复数，且C无奇点时，该定义和作为黎曼曲面的C的拓扑定义相同（其复数点组成的流形）.代数几何中的椭圆曲线的定义为亏格为1的非奇异曲线。

参看

• 凯莱图


• 群


• 曲面

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