模糊集




模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。




目录






  • 1 定义


  • 2 表示


  • 3 和传统集合的关系


    • 3.1 截集与截积


    • 3.2 分解定理与表现定理




  • 4 模糊度


    • 4.1 模糊測度(Fuzzy measures)


    • 4.2 模糊量測(measures of fuzziness)




  • 5 模糊集的运算


    • 5.1 各种算子


    • 5.2 算子的性质




  • 6 模糊集之间的距离


    • 6.1 使用度量理论


    • 6.2 贴近度




  • 7 參見


  • 8 參考文獻





定义


给定一个论域U{displaystyle U}U ，那么从U{displaystyle U}U到单位区间[0,1]{displaystyle [0,1]}[0,1]的一个映射
μA:U↦[0,1]{displaystyle mu _{A}:Umapsto [0,1]}mu _{{A}}:Umapsto [0,1]
称为U{displaystyle U}U上的一个模糊集，或U{displaystyle U}U的一个模糊子集，
[1]



表示


模糊集可以记为A{displaystyle A}A。映射（函数）μA(⋅){displaystyle mu _{A}(cdot )}{displaystyle mu _{A}(cdot )}或简记为A(⋅){displaystyle A(cdot )}A(cdot )叫做模糊集A{displaystyle A}A的隶属函数。
对于每个x∈U{displaystyle xin U}xin U， μA(x){displaystyle mu _{A}(x)}{displaystyle mu _{A}(x)}叫做元素x{displaystyle x}x对模糊集A{displaystyle A}A的隶属度。


模糊集的常用表示法有下述几种：



  1. 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。

  2. Zadeh记法，例如A=1x1+0.5x2+0.72x3+0x4{displaystyle A={1 over x_{1}}+{0.5 over x_{2}}+{0.72 over x_{3}}+{0 over x_{4}}}A={1 over x_{1}}+{0.5 over x_{2}}+{0.72 over x_{3}}+{0 over x_{4}}。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。

  3. 序偶法，例如A={(x1,1),(x2,0.5),(x3,0.72),(x4,0)}{displaystyle A={(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)}}A={(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)}，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。

  4. 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如A=(1,0.5,0.72,0){displaystyle A=(1,0.5,0.72,0)}{displaystyle A=(1,0.5,0.72,0)}。



和传统集合的关系


和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣[2]。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間[0,1]{displaystyle [0,1]}[0,1]（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集A{displaystyle A}A的歸屬函數為m{displaystyle m}m ，而a{displaystyle a}a、b{displaystyle b}b、c{displaystyle c}c為三個元素；如果M(a)=1{displaystyle M(a)=1}{displaystyle M(a)=1}，M(b)=0{displaystyle M(b)=0}{displaystyle M(b)=0}，M(c)=12{displaystyle M(c)={frac {1}{2}}}{displaystyle M(c)={frac {1}{2}}}，則可以說 「a{displaystyle a}a完全屬於A{displaystyle A}A」，「b{displaystyle b}b完全不屬於A{displaystyle A}A」，「c{displaystyle c}c對A{displaystyle A}A的歸屬度為12{displaystyle {frac {1}{2}}}{frac {1}{2}}」（注意没有說「c{displaystyle c}c有一半屬於A{displaystyle A}A」，因為尚未規定12{displaystyle {frac {1}{2}}}{frac {1}{2}}的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函数（indicator function）[3]。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。



截集与截积


设 A∈F(U){displaystyle Ain {mathcal {F}}(U)}Ain {mathcal {F}}(U)，任取 λ∈[0,1]{displaystyle lambda in [0,1]}lambda in [0,1]，则



Aλ={u∈U∣A(u)≥λ}{displaystyle A_{lambda }={uin Umid A(u)geq lambda }}A_{lambda }={uin Umid A(u)geq lambda }，


称Aλ{displaystyle A_{lambda }}{displaystyle A_{lambda }}为A{displaystyle A}A的λ{displaystyle lambda }lambda 截集，而λ{displaystyle lambda }lambda 称为阈值或置信水平。将上式中的≥{displaystyle geq }geq替换为>{displaystyle >}>，记为ASλ{displaystyle A_{Slambda }}{displaystyle A_{Slambda }}，称为强截集。


截集和强截集都是经典集合。此外，显然A1{displaystyle A_{1}}A_{1}为A{displaystyle A}A的核，即ker⁡A{displaystyle ker A}{displaystyle ker A}；如果ker⁡A≠∅{displaystyle ker Aneq varnothing }{displaystyle ker Aneq varnothing }，则称A{displaystyle A}A为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。


截积是数与模糊集的积：

设λ∈[0,1]{displaystyle lambda in [0,1]}{displaystyle lambda in [0,1]}，A∈F(U){displaystyle Ain F(U)}{displaystyle Ain F(U)}，则∀u∈U{displaystyle forall uin U}{displaystyle forall uin U}，λ{displaystyle lambda }lambda 与A{displaystyle A}A的截积（或称为λ{displaystyle lambda }lambda 截集的数乘，记为λA{displaystyle lambda A}{displaystyle lambda A}）定义为：


(λA)(u)=λ∧A(u)={A(u),λ≥A(u),λ,λ<A(u).{displaystyle (lambda A)(u)=lambda wedge A(u)={begin{cases}A(u),&lambda geq A(u),\lambda ,&lambda <A(u).end{cases}}}(lambda A)(u)=lambda wedge A(u)={begin{cases}A(u),&lambda geq A(u),\lambda ,&lambda <A(u).end{cases}}

根据定义，截积仍是U{displaystyle U}U上的模糊集合。



分解定理与表现定理


分解定理：

设A∈F(U){displaystyle Ain F(U)}{displaystyle Ain F(U)}，则



A=⋃λ∈[0,1]λAλ{displaystyle A=bigcup limits _{lambda in [0,1]}lambda A_{lambda }}A=bigcup limits _{{lambda in [0,1]}}lambda A_{lambda }


即任一模糊集A{displaystyle A}A都可以表达为一族简单模糊集{λaλ}{displaystyle left{lambda a_{lambda }right}}{displaystyle left{lambda a_{lambda }right}}的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。


表现定理：

设H{displaystyle H}H为U{displaystyle U}U上的任何一个集合套，则



A=⋃λ∈[0,1]λH(λ){displaystyle A=bigcup limits _{lambda in [0,1]}lambda H(lambda )}A=bigcup limits _{{lambda in [0,1]}}lambda H(lambda )


是U{displaystyle U}U上的一个模糊集，且∀λ∈[0,1]{displaystyle forall lambda in [0,1]}{displaystyle forall lambda in [0,1]}，有

（1）ASλ=∪α>λH(α){displaystyle A_{Slambda }=cup _{alpha >lambda }H(alpha )}{displaystyle A_{Slambda }=cup _{alpha >lambda }H(alpha )}

（2）Aλ=∩α<λH(α){displaystyle A_{lambda }=cap _{alpha <lambda }H(alpha )}{displaystyle A_{lambda }=cap _{alpha <lambda }H(alpha )}

即任一集合套都能拼成一个模糊集。



模糊度


一个模糊集A{displaystyle A}A的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：


设映射D:F(U)→[0,1]{displaystyle D:F(U)rightarrow [0,1]}{displaystyle D:F(U)rightarrow [0,1]}满足下述5条性质：



  1. 清晰性：D(A)=0{displaystyle D(A)=0}{displaystyle D(A)=0}当且仅当A∈P(U){displaystyle Ain P(U)}{displaystyle Ain P(U)}。（经典集的模糊度恒为0。）

  2. 模糊性：D(A)=1{displaystyle D(A)=1}{displaystyle D(A)=1}当且仅当∀u∈U{displaystyle forall uin U}{displaystyle forall uin U}有A(u)=0.5{displaystyle A(u)=0.5}{displaystyle A(u)=0.5}。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）

  3. 单调性：∀u∈U{displaystyle forall uin U}{displaystyle forall uin U}，若A(u)≤B(u)≤0.5{displaystyle A(u)leq B(u)leq 0.5}{displaystyle A(u)leq B(u)leq 0.5}，或者A(u)≥B(u)≥0.5{displaystyle A(u)geq B(u)geq 0.5}{displaystyle A(u)geq B(u)geq 0.5}，则D(A)≤D(B){displaystyle D(A)leq D(B)}{displaystyle D(A)leq D(B)}。

  4. 对称性：∀A∈F(U){displaystyle forall Ain F(U)}{displaystyle forall Ain F(U)}，有D(Ac)=D(A){displaystyle D(A^{c})=D(A)}{displaystyle D(A^{c})=D(A)}。（补集的模糊度相等。）

  5. 可加性：D(A∪B)+D(A∩B)=D(A)+D(B){displaystyle D(Acup B)+D(Acap B)=D(A)+D(B)}{displaystyle D(Acup B)+D(Acap B)=D(A)+D(B)}。


则称D{displaystyle D}D是定义在F(U){displaystyle F(U)}{displaystyle F(U)}上的模糊度函数，而D(A){displaystyle D(A)}D(A)为模糊集A{displaystyle A}A的模糊度。


可以证明符合上述定义的模糊度是存在的[4]，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是
Dp(A)=2n1/p(∑i=1n|A(ui)−A0.5(ui)|p)1/pD(A)=∫−∞+∞|A(u)−A0.5(u)|du{displaystyle {begin{aligned}D_{p}(A)&={frac {2}{n^{1/p}}}left(sum limits _{i=1}^{n}left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})right|^{p}right)^{1/p}\D(A)&=int _{-infty }^{+infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{mbox{d}}uend{aligned}}}{begin{aligned}D_{p}(A)&={frac {2}{n^{{1/p}}}}left(sum limits _{{i=1}}^{n}left|A(u_{i})-A_{{0.5}}(u_{i})right|^{p}right)^{{1/p}}\D(A)&=int _{{-infty }}^{{+infty }}|A(u)-A_{{0.5}}(u)|{mbox{d}}uend{aligned}}

其中p>0{displaystyle p>0}p>0是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当p=1{displaystyle p=1}p=1的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当p=2{displaystyle p=2}p=2的时候称为 Euclid 模糊度。



模糊測度(Fuzzy measures)


B{displaystyle {mathfrak {B}}}{mathfrak {B}}是輿集X{displaystyle mathrm {X} }{mathrm {X}}的一種。


用g{displaystyle g}g函數定義B{displaystyle {mathfrak {B}}}{mathfrak {B}}，包含下列3項特性稱為模糊測度:


①g(0)=0,g(X)=1{displaystyle g(0)=0,g(mathrm {X} )=1}g(0)=0,g({mathrm {X}})=1


---g{displaystyle g}g函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。g{displaystyle g}g函數代X{displaystyle X}X表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。


②若A,B∈B{displaystyle A,Bin {mathfrak {B}}}{displaystyle A,Bin {mathfrak {B}}}和A⊆B{displaystyle Asubseteq B}{displaystyle Asubseteq B}, 則g(A)≤g(B){displaystyle g(A)leq g(B)}{displaystyle g(A)leq g(B)}.


---A,B{displaystyle A,B}A,B是屬於B{displaystyle {mathfrak {B}}}{mathfrak {B}}的一部分，A{displaystyle A}A在B{displaystyle B}B裡面也可能跟B{displaystyle B}B一樣大，則g(A)≤g(B){displaystyle g(A)leq g(B)}{displaystyle g(A)leq g(B)}


③If An{displaystyle A_{n}}A_{{n}}∈B{displaystyle {mathfrak {B}}}{mathfrak {B}}, A1{displaystyle A_{1}}A_{1}⊆A2{displaystyle A_{2}}A_{2}⊆…,then limn→∞g(An)=g(limn→∞An){displaystyle lim _{nto infty }g(A_{n})=g(lim _{nto infty }A_{n})}lim _{{nto infty }}g(A_{n})=g(lim _{{nto infty }}A_{n})


---當An{displaystyle A_{n}}A_{{n}}屬於B{displaystyle {mathfrak {B}}}{mathfrak {B}}同時A1{displaystyle A_{1}}A_{1}包含於A2⊆…{displaystyle A_{2}subseteq ldots }{displaystyle A_{2}subseteq ldots }，則將An{displaystyle A_{n}}A_{n}代入g{displaystyle g}g函數趨小所得的值等同於先趨小An{displaystyle A_{n}}A_{n}再代入g{displaystyle g}g函數所求得的值。



模糊量測(measures of fuzziness)



模糊集的运算



各种算子


  • Zadeh 算子，max{displaystyle max }{displaystyle max }即为并，min{displaystyle min }min 即为交

a∨b=max{a,b}a∧b=min{a,b}{displaystyle {begin{aligned}avee b&=max{a,b}\awedge b&=min{a,b}end{aligned}}}{begin{aligned}avee b&=max{a,b}\awedge b&=min{a,b}end{aligned}}


  • 代数算子（概率和、代数积）

a+∧b=a+b−aba⋅b=ab{displaystyle {begin{aligned}a{stackrel {wedge }{+}}b&=a+b-ab\acdot b&=abend{aligned}}}{begin{aligned}a{stackrel {wedge }{+}}b&=a+b-ab\acdot b&=abend{aligned}}


  • 有界算子

a⊕b=min{1,a+b}a⊙b=max{0,a+b−1}{displaystyle {begin{aligned}aoplus b&=min{1,a+b}\aodot b&=max{0,a+b-1}end{aligned}}}{begin{aligned}aoplus b&=min{1,a+b}\aodot b&=max{0,a+b-1}end{aligned}}


  • Einstein 算子

aϵ+b=a+b1+abaϵ⋅b=ab1+(1−a)(1−b){displaystyle {begin{aligned}a{stackrel {+}{epsilon }}b&={frac {a+b}{1+ab}}\a{stackrel {cdot }{epsilon }}b&={frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}end{aligned}}}{begin{aligned}a{stackrel {+}{epsilon }}b&={frac {a+b}{1+ab}}\a{stackrel {cdot }{epsilon }}b&={frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}end{aligned}}


  • Hamacher 算子，其中ν∈[0,+∞){displaystyle nu in [0,+infty )}{displaystyle nu in [0,+infty )}是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子

aν+b=a+b−ab−(1−ν)abν+(1−ν)(1−ab)aν⋅b=abν+(1−ν)(a+b−ab){displaystyle {begin{aligned}a{stackrel {+}{nu }}b&={frac {a+b-ab-(1-nu )ab}{nu +(1-nu )(1-ab)}}\a{stackrel {cdot }{nu }}b&={frac {ab}{nu +(1-nu )(a+b-ab)}}end{aligned}}}{begin{aligned}a{stackrel {+}{nu }}b&={frac {a+b-ab-(1-nu )ab}{nu +(1-nu )(1-ab)}}\a{stackrel {cdot }{nu }}b&={frac {ab}{nu +(1-nu )(a+b-ab)}}end{aligned}}


  • Yager 算子，其中p{displaystyle p}p是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子

aYpb=min{1,(ap+bp)1/p}aypb=1−min{1,[(1−a)p+(1−b)p]1/p}{displaystyle {begin{aligned}a;Y_{p};b&=min{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}}\a;y_{p};b&=1-min{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}}end{aligned}}}{begin{aligned}a;Y_{p};b&=min{1,(a^{p}+b^{p})^{{1/p}}}\a;y_{p};b&=1-min{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{{1/p}}}end{aligned}}



  • λ−γ{displaystyle lambda -gamma }{displaystyle lambda -gamma }算子，其中λ,γ∈[0,1]{displaystyle lambda ,gamma in [0,1]}{displaystyle lambda ,gamma in [0,1]}是参数

aλb=λab+(1−λ)(a+b−ab)aγb=(ab)1−γ(a−ab)γ{displaystyle {begin{aligned}a;lambda ;b&=lambda ab+(1-lambda )(a+b-ab)\a;gamma ;b&=(ab)^{1-gamma }(a-ab)^{gamma }end{aligned}}}{begin{aligned}a;lambda ;b&=lambda ab+(1-lambda )(a+b-ab)\a;gamma ;b&=(ab)^{{1-gamma }}(a-ab)^{gamma }end{aligned}}


  • Dobois-Prade 算子，其中λ∈[0,1]{displaystyle lambda in [0,1]}lambda in [0,1]是参数

a∨db=a+b−ab−min{(1−λ),a,b}max{λ,1−a,1−b}a∧db=abmax{λ,a,b}{displaystyle {begin{aligned}avee _{d}b&={frac {a+b-ab-min{(1-lambda ),a,b}}{max{lambda ,1-a,1-b}}}\awedge _{d}b&={frac {ab}{max{lambda ,a,b}}}end{aligned}}}{begin{aligned}avee _{d}b&={frac {a+b-ab-min{(1-lambda ),a,b}}{max{lambda ,1-a,1-b}}}\awedge _{d}b&={frac {ab}{max{lambda ,a,b}}}end{aligned}}



算子的性质


参见集合代数和布尔代数。


主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：























































算子 结合律 交换律 分配律 互补律 同一律 幂等律 支配律 吸收律 双重否定律 德·摩根律
Zedah
 √ √ √ . √ √ √ √ √ √
代数
 √ √ . . √ . √ . - √
有界
 √ √ . √ √ . √ √ - √

线性补偿是指：
(∀x,y,k∈[0,1])(x+k∧y−k ⇒ U(x+k,y−k)=U(x,y)){displaystyle (forall x,y,kin [0,1])(x+kwedge y-k Rightarrow U(x+k,y-k)=U(x,y))}(forall x,y,kin [0,1])(x+kwedge y-k Rightarrow U(x+k,y-k)=U(x,y))[5]



































































算子的并运算 幂等律 排中律 分配律 结合律 线性补偿
Zadeh
 √ . √ √ .
代数
 . . . √ .
有界
 . √ . . √
Hamacher r = 0
 . . . √ .
Yager
 . . . √ .
Hamacher
 . . . √ .
Dobois-Prade
 . . . √ .


模糊集之间的距离



使用度量理论


可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集F(U){displaystyle F(U)}{displaystyle F(U)}上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到[0,1]{displaystyle [0,1]}[0,1]区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：


d~(x,y)=(1n∑i=1n|xi−yi|p)1p{displaystyle {tilde {d}}(x,y)=left({1 over n}sum limits _{i=1}^{n}left|x_{i}-y_{i}right|^{p}right)^{1 over p}}{tilde {d}}(x,y)=left({1 over n}sum limits _{{i=1}}^{n}left|x_{i}-y_{i}right|^{p}right)^{{1 over p}}


贴近度


主条目：贴近度

另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。


除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。


  • 最大最小贴近度

σ(A,B)=∑i=1n(A(ui)∧B(ui))∑i=1n(A(ui)∨B(ui)){displaystyle displaystyle sigma (A,B)={frac {sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})wedge B(u_{i}))}{sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})vee B(u_{i}))}}}displaystyle sigma (A,B)={frac {sum _{{i=1}}^{{n}}(A(u_{i})wedge B(u_{i}))}{sum _{{i=1}}^{{n}}(A(u_{i})vee B(u_{i}))}}

  • 算术平均最小贴近度

σ(A,B)=∑i=1n(A(ui)∧B(ui))12∑i=1n(A(ui)+B(ui)){displaystyle displaystyle sigma (A,B)={frac {sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})wedge B(u_{i}))}{{1 over 2}sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}}displaystyle sigma (A,B)={frac {sum _{{i=1}}^{{n}}(A(u_{i})wedge B(u_{i}))}{{1 over 2}sum _{{i=1}}^{{n}}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}

  • 几何平均最小贴近度

σ(A,B)=∑i=1n(A(ui)∧B(ui))∑i=1nA(ui)⋅B(ui){displaystyle displaystyle sigma (A,B)={frac {sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})wedge B(u_{i}))}{sum _{i=1}^{n}{sqrt {A(u_{i})cdot B(u_{i})}}}}}displaystyle sigma (A,B)={frac {sum _{{i=1}}^{{n}}(A(u_{i})wedge B(u_{i}))}{sum _{{i=1}}^{{n}}{sqrt {A(u_{i})cdot B(u_{i})}}}}

  • 指数贴近度

σ(A,B)=1e‖A−B‖{displaystyle displaystyle sigma (A,B)={frac {1}{e^{|A-B|}}}}displaystyle sigma (A,B)={frac {1}{e^{{|A-B|}}}}


參見


  • 粗糙集


參考文獻





  1. ^ 要注意，严格地说，模糊集或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。


  2. ^ L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" 互联网档案馆的存檔，存档日期2007-11-27.. Information and Control 8 (3) 338–353.


  3. ^ D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.


  4. ^ 陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。


  5. ^ Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。












































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