標準差

  「均方差」重定向至此。關於均方誤差（MSE），詳見「均方誤差」。關於均方根誤差（RMSE），詳見「均方根誤差」。

  提示：本条目的主题不是標準誤差。

標準差（又稱標準偏差、均方差，英语：Standard Deviation，縮寫SD），數學符號σ（sigma），在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義：為方差開算术平方根，反映组内個體間的離散程度；標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：

1. 為非負數值（因為開平方後再做平方根）；


2. 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾·皮爾遜引入到統計中。

目录

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  1 闡述及應用
  


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  2 母體的標準差
  
  
  
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    2.1 基本定義
    
  
  
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    2.2 简化计算公式
    
  
  
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    2.3 母體為随机变量
    
    
    
    • 
      2.3.1 離散随机变量的标准差
      
    
    
    • 
      2.3.2 连续随机变量的标准差
      
    
    
    
    
  
  
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    2.4 标准差的特殊性质
    
  
  
  
  


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  3 样本的标准差
  


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  4 範例
  


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  5 常態分佈的規則
  


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  6 標準差與平均值之間的關係
  


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  7 几何学解释
  


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  8 參考資料
  


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  9 外部链接
  

闡述及應用

簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差k个标准差”，即在 X̄ ± kS 的样本（Sample）范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

母體的標準差

基本定義

 SD=1N∑i=1N(xi−μ)2{displaystyle SD={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-mu )^{2}}}}

μ{displaystyle mu }为平均值（x¯{displaystyle {overline {x}}}）。

簡易口訣：離均差平方的平均；方均根。

简化计算公式

上述公式可以如下代換而簡化：

∑i=1N(Xi−μ)2=∑i=1N(Xi2−2Xiμ+μ2)=(∑i=1NXi2)−(2μ∑i=1NXi)+Nμ2=(∑i=1NXi2)−2μ(Nμ)+Nμ2=(∑i=1NXi2)−2Nμ2+Nμ2=(∑i=1NXi2)−Nμ2{displaystyle {begin{aligned}sum _{i=1}^{N}(X_{i}-mu )^{2}&={}sum _{i=1}^{N}(X_{i}^{2}-2X_{i}mu +mu ^{2})\&{}=left(sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}right)-left(2mu sum _{i=1}^{N}X_{i}right)+Nmu ^{2}\&{}=left(sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}right)-2mu (Nmu )+Nmu ^{2}\&{}=left(sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}right)-2Nmu ^{2}+Nmu ^{2}\&{}=left(sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}right)-Nmu ^{2}end{aligned}}}

所以：

σ=1N∑i=1N(Xi−μ)2{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(X_{i}-mu )^{2}}}}

=1N(∑i=1NXi2)−1NNμ2{displaystyle ={sqrt {{frac {1}{N}}left(sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}right)-{frac {1}{N}}Nmu ^{2}}}}

=∑i=1NXi2N−μ2{displaystyle ={sqrt {{frac {sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}}{N}}-mu ^{2}}}}

根號裡面，亦即變異數（σ2{displaystyle sigma ^{2}}）的簡易口訣為：「平方和的平均」減去「平均的平方」。

母體為随机变量

一隨機變量X{displaystyle X}的標準差定義為：

σ=E⁡((X−E⁡(X))2)=E⁡(X2)−(E⁡(X))2{displaystyle sigma ={sqrt {operatorname {E} ((X-operatorname {E} (X))^{2})}}={sqrt {operatorname {E} (X^{2})-(operatorname {E} (X))^{2}}}}

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。
如果隨機變量X{displaystyle X}為x1,⋯,xn{displaystyle x_{1},cdots ,x_{n}}具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

離散随机变量的标准差

若X{displaystyle X}是由實數x1,x2,...,xn{displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}構成的離散隨機變數（英语：discrete random variable），且每個值的機率相等，則X{displaystyle X}的標準差定義為：

σ=1N[(x1−μ)2+(x2−μ)2+⋯+(xN−μ)2]{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}left[(x_{1}-mu )^{2}+(x_{2}-mu )^{2}+cdots +(x_{N}-mu )^{2}right]}}}　，其中　μ=1N(x1+⋯+xN){displaystyle mu ={frac {1}{N}}(x_{1}+cdots +x_{N})}

換成用∑{displaystyle sum }來寫，就成為：

σ=1N∑i=1N(xi−μ)2{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-mu )^{2}}}}　，其中　μ=1N(x1+⋯+xN){displaystyle mu ={frac {1}{N}}(x_{1}+cdots +x_{N})}

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個xi{displaystyle x_{i}}可以有不同機率pi{displaystyle p_{i}}，則X{displaystyle X}的标准差定義為：

σ=∑i=1Npi(xi−μ)2{displaystyle sigma ={sqrt {sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-mu )^{2}}}}　，其中　μ=∑i=1Npixi.{displaystyle mu =sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.}

连续随机变量的标准差

若X{displaystyle X}為概率密度p(X){displaystyle p(X)}的连续随机变量（英语：continuous random variable），則X{displaystyle X}的标准差定義為：

σ=∫(x−μ)2p(x)dx{displaystyle sigma ={sqrt {int (x-mu )^{2},p(x),dx}}}

其中

μ=∫xp(x)dx{displaystyle mu =int x,p(x),dx}

标准差的特殊性质

对于常数c{displaystyle c}和随机变量X{displaystyle X}和Y{displaystyle Y}：

σ(X+c)=σ(X){displaystyle sigma (X+c)=sigma (X)}

σ(cX)=c⋅σ(X){displaystyle sigma (cX)=ccdot sigma (X)}

σ(X+Y)=σ2(X)+σ2(Y)+2⋅cov(X,Y){displaystyle sigma (X+Y)={sqrt {sigma ^{2}(X)+sigma ^{2}(Y)+2cdot {mbox{cov}}(X,Y)}}}

其中：

• 
  cov(X,Y){displaystyle {mbox{cov}}(X,Y)}表示随机变量X{displaystyle X}和Y{displaystyle Y}的协方差。


• 
  σ2(X){displaystyle sigma ^{2}(X)}表示[σ(X)]2{displaystyle [sigma (X)]^{2}}，即Var(X){displaystyle Var(X)}（X{displaystyle X}的變異數），對Y{displaystyle Y}亦同。

样本的标准差

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值X1,⋯,XN{displaystyle X_{1},cdots ,X_{N}}當中取出一樣本數值組合x1,⋯,xn:n<N{displaystyle x_{1},cdots ,x_{n}:n<N}，常定義其樣本標準差：

s=1n−1∑i=1n(xi−x¯)2{displaystyle s={sqrt {{frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{bar {x}})^{2}}}}

样本方差s2{displaystyle s^{2}}是对总体方差σ2{displaystyle sigma ^{2}}的无偏估计。之所以s{displaystyle s}中的分母要用n−1{displaystyle n-1}而不是像总体样本差那样用n{displaystyle n}，是因为(xi−x¯){displaystyle left(x_{i}-{bar {x}}right)}的自由度为n−1{displaystyle n-1}，这是由于存在约束条件∑i=1n(xi−x¯)=0{displaystyle sum _{i=1}^{n}left(x_{i}-{bar {x}}right)=0}。

範例

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }：

• 第一步，計算平均值x¯{displaystyle {overline {x}}}︰

x¯=1N∑i=1Nxi{displaystyle {overline {x}}={frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}x_{i}}

當N=4{displaystyle {begin{smallmatrix}N=4end{smallmatrix}}}（因為集合裏有4個數），分別設為：

x1=5x2=6x3=8x4=9{displaystyle {begin{aligned}x_{1}&=5\x_{2}&=6\x_{3}&=8\x_{4}&=9\end{aligned}}}

x¯=14∑i=14xi{displaystyle {overline {x}}={frac {1}{4}}sum _{i=1}^{4}x_{i}}(N=4){displaystyle (N=4)}

x¯=14(x1+x2+x3+x4){displaystyle {overline {x}}={frac {1}{4}}left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}right)}

x¯=14(5+6+8+9){displaystyle {overline {x}}={frac {1}{4}}left(5+6+8+9right)}

x¯=7{displaystyle {overline {x}}=7}（此為平均值）

• 第二步，計算標準差σ{displaystyle sigma ,}︰

σ=1N∑i=1N(xi−x¯)2{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}}}

σ=14∑i=14(xi−x¯)2{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{4}}sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{overline {x}})^{2}}}}(N=4){displaystyle (N=4)}

σ=14∑i=14(xi−7)2{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{4}}sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}}(x¯=7){displaystyle ({overline {x}}=7)}

σ=14[(x1−7)2+(x2−7)2+(x3−7)2+(x4−7)2]{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{4}}left[(x_{1}-7)^{2}+(x_{2}-7)^{2}+(x_{3}-7)^{2}+(x_{4}-7)^{2}right]}}}

σ=14[(5−7)2+(6−7)2+(8−7)2+(9−7)2]{displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{4}}left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}right]}}}

σ=14((−2)2+(−1)2+12+22){displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{4}}left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}right)}}}

σ=14(4+1+1+4){displaystyle sigma ={sqrt {{frac {1}{4}}left(4+1+1+4right)}}}

σ=104{displaystyle sigma ={sqrt {frac {10}{4}}}}

σ≈1.58114{displaystyle sigma approx 1.58114,!}（此為標準差）

常態分佈的規則

主条目：常態分佈

深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍，在常態分佈中，此範圍所佔比率為全部數值之68%；兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為95%；三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為99.7%。

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

f(x;μ,σ2)=1σ2πe−12(x−μσ)2{displaystyle f(x;mu ,sigma ^{2})={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}e^{-{frac {1}{2}}left({frac {x-mu }{sigma }}right)^{2}}}

Proportion=erf⁡(z2){displaystyle {text{Proportion}}=operatorname {erf} left({frac {z}{sqrt {2}}}right)}

Proportion≤x=12[1+erf⁡(x−μσ2)]=12[1+erf⁡(z2)]{displaystyle {text{Proportion}}leq x={frac {1}{2}}left[1+operatorname {erf} left({frac {x-mu }{sigma {sqrt {2}}}}right)right]={frac {1}{2}}left[1+operatorname {erf} left({frac {z}{sqrt {2}}}right)right]}.^[1]

Percentage within(z)

z(Percentage within)

數字比率 標準差值	機率	包含之外比例
	百分比	百分比	比例
0.318 639σ	25%	75%	3 / 4
0.318 639σ	25%	75%	3 / 4
0.674490σ	50%	50%	1 / 2
0.994458σ	68%	32%	1 / 3.125
1σ	68.2689492%	31.7310508%	1 / 3.1514872
1.281552σ	80%	20%	1 / 5
1.644854σ	90%	10%	1 / 10
1.959964σ	95%	5%	1 / 20
2σ	95.4499736%	4.5500264%	1 / 21.977895
2.575829σ	99%	1%	1 / 100
3σ	99.7300204%	0.2699796%	1 / 370.398
3.290527σ	99.9%	0.1%	1 / 1,000
3.890592σ	99.99%	0.01%	1 / 10,000
4σ	99.993666%	0.006334%	1 / 15,787
4.417173σ	99.999%	0.001%	1 / 100,000
4.5σ	99.9993204653751%	0.0006795346249%	1 / 147,159.5358 3.4 / 1,000,000 (每一邊)
4.891638σ	99.9999%	0.0001%	1 / 1,000,000
5σ	99.9999426697%	0.0000573303%	1 / 1,744,278
5.326724σ	99.99999%	0.00001%	1 / 10,000,000
5.730729σ	99.999999%	0.000001%	1 / 100,000,000
6σ	99.9999998027%	0.0000001973%	1 / 506,797,346
6.109410σ	99.9999999%	0.0000001%	1 / 1,000,000,000
6.466951σ	99.99999999%	0.00000001%	1 / 10,000,000,000
6.806502σ	99.999999999%	0.000000001%	1 / 100,000,000,000
7σ	99.9999999997440%	0.000000000256%	1 / 390,682,215,445

標準差與平均值之間的關係

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設X1,⋯,XN{displaystyle X_{1},cdots ,X_{N}}為實數，定義函数：

σ(μ)=1N∑i=1N(xi−μ)2{displaystyle sigma (mu )={sqrt {{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}-mu )^{2}}}}

使用微積分或者通过配方法，不難算出σ(μ){displaystyle sigma (mu )}在下面情況下具有唯一最小值：

μ=x¯{displaystyle mu ={overline {x}}}

几何学解释

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从n{displaystyle n}维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，X1,X2,X3{displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}。它们可以在3维空间中确定一个点P=(X1,X2,X3){displaystyle P=(X_{1},X_{2},X_{3})}。想像一条通过原点的直线L=(r,r,r):r∈R{displaystyle L={(r,r,r):rin mathbb {R} }}。如果这组数据中的3个值都相等，则点P{displaystyle P}就是直线L{displaystyle L}上的一个点，P{displaystyle P}到L{displaystyle L}的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点P{displaystyle P}作垂线PR{displaystyle PR}垂直于L{displaystyle L}，PR{displaystyle PR}交L{displaystyle L}于点R{displaystyle R}，则R{displaystyle R}的坐标为这3个值的平均数：

R=(x¯,x¯,x¯){displaystyle R=({overline {x}},{overline {x}},{overline {x}})}

运用一些代数知识，不难发现点P{displaystyle P}与点R{displaystyle R}之间的距离（也就是点P{displaystyle P}到直线L{displaystyle L}的距离）是σ3{displaystyle sigma {sqrt {3}}}。在n{displaystyle n}维空间中，这个规律同样适用，把3{displaystyle 3}换成n{displaystyle n}就可以了。

參考資料

1. 
   ^ Eric W. Weisstein. Distribution Function. MathWorld—A Wolfram Web Resource. [2014-09-30]. 
   

外部链接

• 
  Standard Deviation Calculator，标准差计算器 （英文）
  

查 论 编 概率分布的理论 概率质量函数  · 概率密度函数  · 累积分布函数  · 分位函数 動差 · 中心矩 · 期望值 · 方差 · 標準差 · 偏度 · 峰度 矩母函数  · 特征函数 · 概率生成函数  · 累积量

查 论 编 統計學 描述統計學 连续概率 集中趋势 平均數（平方 · 算術 · 幾何 · 調和 · 算术-几何 · 几何-调和 · 希羅|平均數不等式） · 中位數 · 眾數 离散程度 全距 · 標準差 · 變異係數 · 百分位數 · 四分差 · 四分位数 · 方差 · 標準分數 · 切比雪夫不等式 分布形态（英语：Shape of the distribution） 偏態 · 峰態 离散概率 次數（英语：Count data） · 列聯表（英语：Contingency table） 推論統計學 和 假設檢定 推論統計學 置信区间 · 區間估計（英语：Interval estimation） · 顯著性差異 · 元分析 · 貝氏推論 实验设计 统计总量 · 抽样 · 重抽样（刀切法 · 自助法 · 交叉驗證） · 重复（英语：Replication (statistics)） · 阻碍 · 特敏度 · 區集（英语：Blocking (statistics)） 样本量（英语：Sample size） 统计功效 · 效应值 · 标准误差 · 零假设 · 對立假設（英语：Alternative hypothesis） · 第一型和第二型誤差 · 統計檢定力 常规估计 贝叶斯推论 · 區間估計（英语：Interval estimation） · 最大似然估計 · 最小距離估計（英语：Minimum distance estimation） · 矩量法 · 最大间距 特效检验 Z检验 · 學生t檢驗 · F检验 · 卡方检验 · Wald检验（英语：Wald test） · 曼-惠特尼检验（英语：Mann–Whitney U test） · 秩和检验 生存分析 生存函數 · 乘積極限估計量 · 對數秩和檢定 · 失效率 · 危險比例模式 相关及 回归分析 相关性 混淆變項（英语：Confounding） · 皮爾森積差相關係數 · 等級相關（英语：Rank correlation） (史匹曼等級相關係數 · 肯德等級相關係數（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）) 线性回归 線性模式（英语：Linear model） · 一般線性模式 · 廣義線性模式 · 方差分析 · 協方差分析（英语：Analysis of covariance） 非线性回归（英语：Nonlinear regression） 非参数回归模型（英语：Nonparametric regression） · 半参数回归模型（英语：Semiparametric regression） · Logit模型 統計圖形 饼图 · 条形图 · 雙標圖 · 箱形圖 · 管制圖 · 森林圖（英语：Forest plot） · 直方图 · QQ圖 · 趋势图 · 散點圖（英语：Scatter plot） · 莖葉圖（英语：Stem-and-leaf display） · 雷达图（英语：Radar chart） · 示意地圖 其他 回應過程效度 分类 主题 共享资源 专题

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