线性代数
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A=[1234]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix}}}
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向量 · 向量空间 · 行列式 · 矩阵
向量
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标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积 · 内积 · 数量积 · 向量积
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矩阵与行列式
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线性空间与线性变换
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在線性代數中，n{displaystyle n}
階單位矩陣，是一個n×n{displaystyle ntimes n}
的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以In{displaystyle I_{n}}
表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為I{displaystyle I}
（或者E）。（在部分領域中，如量子力學，單位矩陣是以粗體字的1表示，否則無法與I{displaystyle I}作區別。）
- I1=[1], I2=[1001], I3=[100010001], ⋯, In=[10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1]{displaystyle I_{1}={begin{bmatrix}1end{bmatrix}}, I_{2}={begin{bmatrix}1&0\0&1end{bmatrix}}, I_{3}={begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}, cdots , I_{n}={begin{bmatrix}1&0&cdots &0\0&1&cdots &0\vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&cdots &1end{bmatrix}}}
一些數學書籍使用U{displaystyle U}
和E{displaystyle E}
（分別意為「單位矩陣」和「基本矩陣」），不過I更加普遍。
特別是單位矩陣作為所有n{displaystyle n}階矩陣的環的單位，以及作為由所有n{displaystyle n}階可逆矩陣構成的一般線性群GL(n){displaystyle GL(n)}
的單位元（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。
這些n{displaystyle n}階矩陣經常表示來自n{displaystyle n}維向量空間自己的線性變換，In{displaystyle I_{n}}表示恆等函數，而不理會基。
有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣，寫作：
- In=diag(1,1,...,1){displaystyle I_{n}=operatorname {diag} (1,1,...,1)}
也可以克羅內克爾δ記法寫作：
- (In)ij=δij{displaystyle (I_{n})_{ij}=delta _{ij}}
性质
根據矩陣乘法的定義，單位矩陣In{displaystyle I_{n}}的重要性質為：
AIn=A{displaystyle AI_{n}=A}
且InB=B{displaystyle I_{n}B=B}
单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。[1]具有重數 n{displaystyle n}。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为n{displaystyle n}。
参考资料
^ Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra 第四版. 2009: 283 [2014-11-24]. ISBN 0980232716.
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