卡比博-小林-益川矩阵

粒子物理學標準模型

標準模型 背景 粒子物理學 量子場論 規範場論 自發對稱性破缺 希格斯機制 組成 電弱相互作用 量子色動力學 CKM矩陣 限制 強CP問題 階層問題 中微子振蕩 理論家 費曼 · 蓋爾曼 · 坂田 · 格拉肖 茨威格 · 南部 · 卡比博 溫伯格 · 薩拉姆 · 小林 益川 · 特·胡夫特 · 韋爾特曼 格婁斯 · 波利策 · 韋爾切克

查 论 编

粒子物理學中的味
味量子數：
同位旋：I或I3 魅數：C 奇異數：S 頂數：T 底數：B'
相關量子數：
重子數：B 輕子數：L 弱同位旋：T或T3 電荷：Q X荷：X
組合：
超荷：Y Y=(B+S+C+B'+T) Y=2(Q−I3) 弱超荷：YW YW=2(Q−T3) X+2YW=5(B−L)
味混合
CKM矩陣 PMNS矩陣 味互补性（英语：Quark–lepton complementarity）
查 论 编

卡比博-小林-益川矩阵（Cabibbo-Kobayashi-Maskawa，CKM或KM matrix）是粒子物理标准模型的一个重要组成成份，它表征了顶类型和底类型夸克间通过W粒子弱相互作用的耦合强度。对二代夸克情形，它是由意大利物理学家卡比博在1963年首先给出的，通常被称为卡比博矩阵或卡比博角。1973年日本物理学家小林诚和益川敏英把它推广到三代夸克。三代矩阵含有相位，可以用来解释弱相互作用中的电荷宇称对称性破缺（CP破坏），也被经常用来解释宇宙重子数不对称。CKM矩阵在轻子中的对应是牧-中川-坂田矩阵（Maki-Nakagawa-Sakata或MNS）。

目录

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  1 内容
  
  
  
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    1.1 历史
    
  
  
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    1.2 参数化表示
    
  
  
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    1.3 么正三角形
    
  
  
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    1.4 数学推导
    
  
  
  
  


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  2 参数测量
  


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  3 獨立變量的計算
  


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  4 与重子生成的关系
  


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  5 参考资料
  
  
  
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    5.1 书籍
    
  
  
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    5.2 论文
    
  
  
  
  


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  6 外部链接
  

内容

历史

早期的粒子物理模型包涵三种夸克—上夸克、下夸克和奇异夸克。在研究强子的弱衰变中，人们发现奇异数守恒的过程要比不守恒的过程进行得快约20倍。为解释此现象，卡比博引入了一个下夸克和奇异夸克（这两种夸克有相同的量子数）之间的混合角θ_c^[1]。上夸克与下夸克和奇异夸克的相互作用耦合分别正比于此角的余弦（cosθ_c）和正弦（sinθ_c）。实验上sinθ_c约为0.23。

1973年，在一篇发表在日本期刊《理论物理学进展》上的题为“弱相互作用可重整化理论中的CP破坏”的论文中，小林诚和益川敏英把卡比博角推广到三代夸克^[2]。他们发现虽然一般的三维幺正矩阵有九个实参数，但是只有四个具有物理意义，而其它的都可以被吸收到夸克波函数的位相中而不为观测。四个物理参数中的一个是位相因子，它提供了CP破坏的微观机制，同時猜测了第三代夸克的存在，因此具有重大的物理意义。他们二人也因而与南部阳一郎分享了2008年诺贝尔物理学奖^[3][4]。

如今，寻找CKM矩阵参数的微观物理起源是粒子物理理论研究的重大课题之一。

参数化表示

CKM矩阵是一个三维幺正矩阵。
小林诚和益川敏英当初给的表示是^[2]:

[cosθ1−sinθ1cosθ3−sinθ1sinθ3sinθ1cosθ2cosθ1cosθ2cosθ3−sinθ2sinθ3eiδcosθ1cosθ2sinθ3+sinθ2cosθ3eiδsinθ1sinθ2cosθ1sinθ2cosθ3+cosθ2sinθ3eiδcosθ1sinθ2sinθ3−cosθ2cosθ3eiδ]{displaystyle {begin{bmatrix}costheta _{1}&-sintheta _{1}costheta _{3}&-sintheta _{1}sintheta _{3}\sintheta _{1}costheta _{2}&costheta _{1}costheta _{2}costheta _{3}-sintheta _{2}sintheta _{3}e^{idelta }&costheta _{1}costheta _{2}sintheta _{3}+sintheta _{2}costheta _{3}e^{idelta }\sintheta _{1}sintheta _{2}&costheta _{1}sintheta _{2}costheta _{3}+costheta _{2}sintheta _{3}e^{idelta }&costheta _{1}sintheta _{2}sintheta _{3}-costheta _{2}costheta _{3}e^{idelta }end{bmatrix}}}

在标准参数化下，它可以由三个混合角（θ₁₂，θ₁₃，θ₂₃）和一个相位（δ）表示为^[5]

[VudVusVubVcdVcsVcbVtdVtsVtb]=[c12c13s12c13s13e−iδ13−s12c23−c12s23s13eiδ13c12c23−s12s23s13eiδ13s23c13s12s23−c12c23s13eiδ13−c12s23−s12c23s13eiδ13c23c13].{displaystyle {begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-idelta _{13}}\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{idelta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{idelta _{13}}&s_{23}c_{13}\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{idelta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{idelta _{13}}&c_{23}c_{13}end{bmatrix}}.}

其中（u，c，t）和（d，s，b）分别代表三代顶类型（上、粲、顶）和底类型（下、奇异、底）夸克，c₁₂，s₁₂等是cosθ₁₂，sinθ₁₂等的简写。
目前实验给出的数据：

θ₁₂ = 13.04±0.05°

θ₁₃ = 0.201±0.011°

θ₂₃ = 2.38±0.06°

δ₁₃ = 1.20±0.08

实验上CKM矩阵参数满足s₁₃<<s₂₃<<s₁₂<<1。
描写这一重要特性的一个常用参数化表示是由美国物理学家林肯·沃芬斯坦给出的。记

s12=λ=|Vus||Vud|2+|Vus|2,s23=Aλ2=λ|VcbVus|,{displaystyle s_{12}=lambda ={frac {|V_{us}|}{sqrt {|V_{ud}|^{2}+|V_{us}|^{2}}}},quad s_{23}=Alambda ^{2}=lambda left|{frac {V_{cb}}{V_{us}}}right|,,,}

s13eiδ=Vub∗=Aλ3(ρ+iη)=Aλ3(ρ¯+iη¯)(1−A2λ4)1/2(1−λ2)1/2[1−A2λ4(ρ¯+iη¯)],{displaystyle s_{13}e^{idelta }=V_{ub}^{*}=Alambda ^{3}(rho +ieta )={frac {Alambda ^{3}({bar {rho }}+i{bar {eta }})(1-A^{2}lambda ^{4})^{1/2}}{(1-lambda ^{2})^{1/2}[1-A^{2}lambda ^{4}({bar {rho }}+i{bar {eta }})]}},}

截止到λ³，CKM矩阵为^[6]

[1−λ2/2λAλ3(ρ−iη)−λ1−λ2/2Aλ2Aλ3(1−ρ−iη)−Aλ21].{displaystyle {begin{bmatrix}1-lambda ^{2}/2&lambda &Alambda ^{3}(rho -ieta )\-lambda &1-lambda ^{2}/2&Alambda ^{2}\Alambda ^{3}(1-rho -ieta )&-Alambda ^{2}&1end{bmatrix}}.}

么正三角形

CKM矩阵也可用所谓的幺正三角形来图像表示。最常见的是正交关系

VudVub∗+VcdVcb∗+VtdVtb∗=0{displaystyle V_{ud}V_{ub}^{*}+V_{cd}V_{cb}^{*}+V_{td}V_{tb}^{*}=0}

用测量最精确的项（V_cdV^*_cb）来归一，此关系可以表示为复平面上的三角形，其三顶点坐标分别为（0，0），（1，0）
和（ρ¯{displaystyle {bar {rho }}}，η¯{displaystyle {bar {eta }}}），如右图所示。它的面积与位相参数表示化无关，是刻划CP破坏的不变量。文献中称之为雅尔斯廓格（Jarlskog）不变量。

数学推导

CKM矩阵的数学推导相当平庸。首先任意一个三维矩阵可以写成欧拉形式V=V₂V₁V₃，其中对角块矩阵V₁，V₂，V₃有以下形式（X代表非零元）

V1=[XX0XX000X],V2,3=[X000XX0XX]{displaystyle V_{1}={begin{bmatrix}X&X&0\X&X&0\0&0&Xend{bmatrix}},quad V_{2,3}={begin{bmatrix}X&0&0\0&X&X\0&X&Xend{bmatrix}}}

其次注意到任意一个二维幺正矩阵可以表为（ε，η，ρ为幺模复数，c=cosθ，s=sinθ）

U=[ϵcϵηs−ρsρηc]{displaystyle U={begin{bmatrix}epsilon c&epsilon eta s\-rho s&rho eta cend{bmatrix}}}

由此

[ϵ∗00ρ∗]U[100η∗]=[cs−sc]{displaystyle {begin{bmatrix}epsilon ^{*}&0\0&rho ^{*}end{bmatrix}}U{begin{bmatrix}1&0\0&eta ^{*}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}c&s\-s&cend{bmatrix}}}

因此可以通过一系列对角幺正矩阵作矩阵变换

V→DVD′=DV2D″D″∗V1D‴∗D‴V3D′=V2′V1′V3′{displaystyle Vrightarrow DVD'=DV_{2}D''D''^{*}V_{1}D'''^{*}D'''V_{3}D'=V_{2}'V_{1}'V_{3}'}

使得

V2′=[1000c2−s20s2c2],V3′=[1000c3s30−s3c3]{displaystyle V_{2}'={begin{bmatrix}1&0&0\0&c_{2}&-s_{2}\0&s_{2}&c_{2}end{bmatrix}},quad V_{3}'={begin{bmatrix}1&0&0\0&c_{3}&s_{3}\0&-s_{3}&c_{3}end{bmatrix}}}

在上式中V₂'仍是与V₂同形的一般幺正矩阵，
但可以继续在V上左、右相乘与V₂'和V₃'对易的对角矩阵，即
diag（α，β，β）型矩阵（α，β幺模），使得

V1′=[c1s10−s1c1000eiδ]{displaystyle V_{1}'={begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}&0\-s_{1}&c_{1}&0\0&0&e^{idelta }end{bmatrix}}}

最后将所有的对角（相位）变换矩阵吸收到夸克波函数中去，V₂'，V₁'，V₃'相乘即得CKM矩阵。

参数测量

CKM矩阵元实验测定和最新数据的详细资料，可参阅粒子数据组的网页和出版物^[7]

VCKM=[0.97427±0.000150.22534±0.000650.00351−0.00014+0.000150.22520±0.000650.97344±0.000160.0412−0.0005+0.00110.00867−0.00031+0.000290.0404−0.0005+0.00110.999146−0.000046+0.000021].{displaystyle V_{CKM}={begin{bmatrix}0.97427pm 0.00015&0.22534pm 0.00065&0.00351_{-0.00014}^{+0.00015}\0.22520pm 0.00065&0.97344pm 0.00016&0.0412_{-0.0005}^{+0.0011}\0.00867_{-0.00031}^{+0.00029}&0.0404_{-0.0005}^{+0.0011}&0.999146_{-0.000046}^{+0.000021}end{bmatrix}}.}

沃尔芬斯坦参数：λ=0.22535±0.00065,A=0.817±0.015,ρ¯=0.136±0.018,η¯=0.348±0.014{displaystyle lambda =0.22535pm 0.00065,A=0.817pm 0.015,{bar {rho }}=0.136pm 0.018,{bar {eta }}=0.348pm 0.014}

和雅尔斯廓格不变量：J=(2.96−0.16+0.20)×10−5{displaystyle J=(2.96_{-0.16}^{+0.20})times 10^{-5}}

獨立變量的計算

考慮有 N 代夸克 (2N 種風味)，那麼

• 一個 N × N 的么正矩陣需要 N² 個實係數來給定 (因為么正矩陣滿足 VV^† = I，其中 V^† 是 V 的共軛轉置，而 I 是單位矩陣) 。


• 其中 2N − 1 個係數不是物理上實際的，因為每個夸克都可以吸收一個相位 (質量本徵態和弱作用力本徵態各可吸收一個)，而全部的共同相位是不可觀測的。因此，不受相位選擇影響的自由變數總共有 N² − (2N − 1) = (N − 1)² 個。
  
  
  
  • 這其中有 N(N − 1)/2 個是旋轉角度，稱為夸克的混合角。
  
  
  • 而剩下的 (N − 1)(N − 2)/2 個就是造成 CP破壞的複數相位。
  
  
  
  

當 N = 2 時，獨立變量只有一個，就是兩代夸克間的混合角。當初只有兩代夸克被發現時，這是第一種 CKM 矩陣。其角度稱為卡比博角度，由尼古拉·卡比博發明。

在標準模型中，N = 3，總共有三個混合角和一個 CP 破壞相位。

与重子生成的关系

CP破坏是解釋自宇宙大爆炸以來僅物質存在(即反物質消失)的沙卡洛夫三条件（热力学非平衡，重子数不守恒，C和CP对称性不守恒）之一，因此CKM矩阵在粒子宇宙学中有着重要应用。但是现在公认的结论是實驗測量到CP破壞的數量級，遠不足以解释观测到的重子不对称度，因此重子生成必须有其他的来源。

参考资料

书籍

• 
  郑大培，李靈峰. Gauge Theory of Elementary Particle Physics [基本粒子物理的规范理论]. 牛津大学出版社. 1989. ISBN 0-19-851956-7. 
  


• 
  H. Georgi. Weak Interactions and Modern Particle Physics [弱相互作用和现代粒子物理学]. Addison-Wesley. 1984. ISBN 0-8053-3163-8. 
  

论文

1. 
   ^ N. Cabibbo. Unitary Symmetry and Leptonic Decays. Physical Review Letters. 1963, 10: 531–533. 
   


2. 
   ^ ^2.02.1 M. Kobayashi and T. Maskawa. CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction. Progress in Theoretical Physics. 1973, 49: 652–657. 
   


3. 
   ^ The Nobel Prize in Physics 2008. Nobel Foundation. [2008-10-09]. 
   


4. 
   ^ 闫同民. 与2008年诺贝尔物理奖失之交臂的物理学家. 物理双月刊: 354–357. 2013. 
   


5. 
   ^
   L.L. Chau and W.-Y. Keung. Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix. Physical Review Letters. 1984, 53: 1802. 
   


6. 
   ^ L. Wolfenstein. Parameterization of the Kobayashi-Maskawa Matrix. Physical Review Letters. 1983, 51: 1945–1947. 
   


7. 
   ^
   K. Nakamura; 等. Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix (PDF). Journal of Physics G. 2010, 37 (75021): 150.  引文格式1维护：显式使用等标签 (link)
   

外部链接

• 
  粒子物理数据组首頁


• 
  康奈尔大学的CLEO实验


• 
  高能加速器研究機構 (KEK) 的 BELLE 實驗


• 
  SLAC国家加速器实验室 (SLAC) 的 BaBar 實驗


• 
  费米国家加速器实验室（FNAL）的D0和CDF实验


• 
  欧洲核子研究中心（CERN）的LHCb 实验

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