虚数

各种各样的數

基本

N⊆Z⊆Q⊆R⊆C{displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} } 正數 R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}} 自然数 N{displaystyle mathbb {N} } 正整數 Z+{displaystyle mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q{displaystyle mathbb {Q} } 代數數 A{displaystyle mathbb {A} } 实数 R{displaystyle mathbb {R} } 複數 C{displaystyle mathbb {C} } 高斯整數 Z[i]{displaystyle mathbb {Z} [i]} 负数 R−{displaystyle mathbb {R} ^{-}} 整数 Z{displaystyle mathbb {Z} } 负整數 Z−{displaystyle mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I{displaystyle mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z[ω]{displaystyle mathbb {Z} [omega ]}

延伸

雙曲複數 雙複數 四元數 H{displaystyle mathbb {H} } 共四元數（英语：Dual quaternion） 八元數 O{displaystyle mathbb {O} } 超數 上超實數 超复数 十六元數 S{displaystyle mathbb {S} } 複四元數 大實數 超實數 ∗R{displaystyle ^{*}mathbb {R} } 超現實數

其他

对偶数 序数 質數 P{displaystyle mathbb {P} } 同餘 可計算數 整數數列 數學常數 公稱值 超限数 基數 P進數 規矩數 可定義數 阿列夫數 圓周率 π=3.141592653…{displaystyle pi =3.141592653dots } 自然對數的底 e=2.718281828…{displaystyle e=2.718281828dots } 虛數單位 i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}}} 無窮大 ∞{displaystyle infty }

⋮{displaystyle vdots }

i−3=i{displaystyle i^{-3}=i}

i−2=−1{displaystyle i^{-2}=-1}

i−1=−i{displaystyle i^{-1}=-i}

i0=1{displaystyle i^{0}=1}

i1=i{displaystyle i^{1}=i}

i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}

i3=−i{displaystyle i^{3}=-i}

i4=1{displaystyle i^{4}=1}

i5=i{displaystyle i^{5}=i}

i6=−1{displaystyle i^{6}=-1}

⋮{displaystyle vdots }

in=in(mod4){displaystyle i^{n}=i^{n{pmod {4}}}}

虛數是指實數以外的複數，其中實部為0的虛數稱為純虛數。而英文imaginary number的另一種定義是可以写作实数与虚数单位i{displaystyle i}乘积的数^[1]，以此定義，0可視為同時是實數也是虛數^[2]。

17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》（法语：La Géométrie）一書中，命名其為nombre imaginaire（虛構的數），成為了虛數（imaginary number）一詞的由來。

後來在歐拉和高斯的研究之後，後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複數平面上每一點對應着一個複數。

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

目录

• 
  1 幾何詮釋
  


• 
  2 負數的平方根
  


• 
  3 筆記
  


• 
  4 參見
  


• 
  5 参考资料
  


• 
  6 外部链接
  

幾何詮釋

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考慮標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的“正”虛數，然後向上增加；而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”，並被表示為iR{displaystyle imathbb {R} }，I{displaystyle mathbb {I} }，或ℑ{displaystyle Im }。

在該呈現圖示中，乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。i{displaystyle i}的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉，而方程式i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了−i{displaystyle -i}也解出了方程x2=−1{displaystyle x^{2}=-1}。一般來說，乘以複數與以複數幅角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

負數的平方根

我們應該將根號視為求x2{displaystyle x^{2}}的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，−1{displaystyle {sqrt {-1}}}實際上代表的是兩個數，分別為+i{displaystyle +i}及−i{displaystyle -i}。但若直接將−1{displaystyle {sqrt {-1}}}對應到+i{displaystyle +i}，而−−1{displaystyle -{sqrt {-1}}}對應到−i{displaystyle -i}也未嘗不可。

筆記

不同的虛數都是不能比較大小的：1<2{displaystyle 1<2,}成立，但1+i<2+i{displaystyle 1+i<2+i,}和i<2i{displaystyle i<2i,}卻均不成立。

舉例：假設i>0{displaystyle i>0,}

平方得i2>0{displaystyle i^{2}>0,}

得−1>0{displaystyle -1>0,}即可看出矛盾。

再舉例：假設i<0{displaystyle i<0,}

平方得i2>0{displaystyle i^{2}>0,}（要變號）

得−1>0{displaystyle -1>0,}即可看出矛盾。

因此虛數及複數（含i{displaystyle i}）不能比較大小。

由於虛數特殊的運算規則，出現了下列算式

i1+i2+i3+i4=0{displaystyle i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0,}

這也暗示了i{displaystyle i,}為方程x+x2+x3+x4=0{displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0,}的根，另三個根分別為−i,−1{displaystyle -i,-1,}及0{displaystyle 0,}。

由於虛數特殊的運算規則，出現了符號

ω2+ω+1=0{displaystyle omega ^{2}+omega +1=0,}

ω3=1{displaystyle omega ^{3}=1,}的簡式。

如果再將這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

參見

• 虛數單位


• 複數


• 四元數


• 八元數

参考资料

1. 
   ^ Uno Ingard, K. Chapter 2. Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. 1988: 38. ISBN 0-521-33957-X. 
   


2. 
   ^ Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. : 11.2. ISBN 8171339123. 
   

外部链接

• 虛數i的介紹


• 
  i7321{displaystyle i^{7321},}的計算方法舉例


• 
  i作為-1的平方根^{[永久失效連結]}
  

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