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初等代數
初等代數是一個初等且相對簡單形式的代數，教導對象為還沒有數學算術方面正規知識的學生們。當在算術中只有數字和其運算（如：加、減、乘、除）出現時，在代數中也會使用符號（如：x{displaystyle x}
- 它使得算術等式(或不等式)可以被描述成定律(如：對任-−a{displaystyle -a}
和b{displaystyle b}
)，因此這是系統化學習實數性質的第一步。
- 它允許涉及未知的數字。在一個問題的內容裡，變數或許代表某一還不確定，但可能可以經由方程的規劃及操縱來解開的數值。
- 它允許探究數量之間的數學關係的可能(如「若你賣了x{displaystyle x}
元」)。
這三個是基本代數的主要組成部份，以區隔其與目的為教導大學生更高深主題的抽象代數的不同。
在初等代數裡，表示式包含有數字、變數及運算。它們通常把較高次項(習慣上)寫在表示左邊(參考多項式)，舉幾個例子來說：
- x+3{displaystyle x+3}
- y2+2x−3{displaystyle y^{2}+2x-3}
z7+a(b+x3)+42/y−π{displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-pi }。
在更進階的代數裡，表示式也會包含有初等函數。
一個等式表示其等號兩邊的表示式是相等的。某些等式對於其中變數的所有取值都成立(如a+b=b+a{displaystyle a+b=b+a}
目录
1 初等代數定律
1.1 等於的定律
1.2 其他定律
2 例子
2.1 一元一次方程
2.2 一元二次方程
2.3 線性方程組
2.3.1 求解的第一種方法
2.3.2 求解的第二種方法
3 另見
4 參考
5 脚注
初等代數定律
[1]
加法是一可交換的運算(兩個數不論順序為何，它加起來的總和都一樣)。
減法是加法的逆運算。- 減去一個數和加上一個此數的負數是一樣意思的：
- a−b=a+(−b){displaystyle a-b=a+(-b)}
- a−b=a+(−b){displaystyle a-b=a+(-b)}
- 例子: 若 5+x=3{displaystyle 5+x=3}
，則 x=−2{displaystyle x=-2}
。
乘法是一可交換的運算。
除法是乘法的逆運算。- 除去一個數和乘上一個此數的倒數是一樣意思的：
- ab=a(1b){displaystyle {a over b}=aleft({1 over b}right)}
- ab=a(1b){displaystyle {a over b}=aleft({1 over b}right)}
冪不是一可交換的運算。
- 但冪卻有兩個逆運算：對數和分數指數的冪(如平方根)。
- 例如：若3x=10{displaystyle 3^{x}=10}
，則x=log310{displaystyle x=log _{3}10}
。若x2=10{displaystyle x^{2}=10}
，則x=101/2{displaystyle x=10^{1/2}}
。
- 例如：若3x=10{displaystyle 3^{x}=10}
- 負數的平方根不存在於實數內。(參考：複數)
- 但冪卻有兩個逆運算：對數和分數指數的冪(如平方根)。
- 加法的結合律性質：(a+b)+c=a+(b+c){displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
。
- 乘法的結合律性質：(ab)c=a(bc).{displaystyle (ab)c=a(bc).}
。
- 對應加法的乘法分配律性質：c(a+b)=ca+cb{displaystyle c(a+b)=ca+cb}
。
- 對應乘法的冪分配律性質：(ab)c=acbc{displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}}
。
- 冪的乘法：abac=ab+c{displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}}
。
- 冪的冪：(ab)c=abc{displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}}
。
等於的定律
- 若a=b{displaystyle a=b}
且b=c{displaystyle b=c}
，則a=c{displaystyle a=c}
(等於的遞移律)。
a=a{displaystyle a=a}(等於的自反性)。
- 若a=b{displaystyle a=b}
(等於的對稱性)。
- 若a−b=n{displaystyle a-b=n}
，則a2−b2=na+nb{displaystyle a^{2}-b^{2}=na+nb}
。
其他定律
- 若a=b{displaystyle a=b}
，則a+c=b+d{displaystyle a+c=b+d}
。
- 若a=b{displaystyle a=b}
(等於的可加性)。
- 若a=b{displaystyle a=b}
- 若a=b{displaystyle a=b}
= bd{displaystyle bd}
。
- 若a=b{displaystyle a=b}
(等於的可乘性)。
- 若a=b{displaystyle a=b}
- 若兩個符號相等，則一個總是能替換另一個(替換原理)。
- 若a>b{displaystyle a>b}
且b>c{displaystyle b>c}
，則a>c{displaystyle a>c}
(不等式的遞移律)。
- 若a>b{displaystyle a>b}
。
- 若a>b{displaystyle a>b}
，則ac>bc{displaystyle ac>bc}
。
- 若a>b{displaystyle a>b}
，則ac<bc{displaystyle ac<bc}
。
例子
一元一次方程
最簡單的方程為一元一次方程，它們是含有一個常數和一沒有冪的變數。例如：
- 2x+4=12.{displaystyle 2x+4=12.,}
其中心解法為在等式的兩邊同時以相同數字做加、減、乘、除，以使變數單獨留在等式的一側。一旦變數獨立了，等式的另一邊即是此變數的值。例如，將上面式子兩邊同時減去4：
- 2x+4−4=12−4{displaystyle 2x+4-4=12-4,}
簡化後即為
- 2x=8.{displaystyle 2x=8.,}
再同時除以2：
- 2x2=82{displaystyle {frac {2x}{2}}={frac {8}{2}},}
再簡化後即為答案：
- x=4.{displaystyle x=4.,}
一般的情形
- ax+b=c{displaystyle ax+b=c}
也可以依同樣的方式得出答案來：
- x=c−ba{displaystyle x={frac {c-b}{a}}}
【這就是一元一次方程簡單的說明】
一元二次方程
一元二次方程可以表現成ax2+bx+c=0,{displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}
- x2+3x=0.{displaystyle x^{2}+3x=0.,}
這相當於:
- x(x+3)=0.{displaystyle x(x+3)=0.,}
0和-3是它的解，因爲把x{displaystyle x}
所有二次方程式在複數體系中都有兩個解，但是在實數系統中卻不一定，例如:
- x2+1=0{displaystyle x^{2}+1=0,}
沒有實數解，因爲沒有實數的平方是-1。
有時一個二次方程式會有2重根，例如：
- (x+1)2=0.{displaystyle (x+1)^{2}=0.,}
在這個方程中，-1是2重根。
線性方程組
在線性方程組內，如兩個變數的方程組內有兩個方程式的話，通常可以找出可同時滿足兩個方程式的兩個變數。
下面為線性方程組的一個例子，有兩個求解的方法：
- 4x+2y=14{displaystyle 4x+2y=14,}
- 2x−y=1.{displaystyle 2x-y=1.,}
求解的第一種方法
將第2個等式的左右項各乘以2，
- 4x+2y=14{displaystyle 4x+2y=14,}
- 4x−2y=2.{displaystyle 4x-2y=2.,}
再將兩式相加，
- 8x=16,{displaystyle ,8x=16,}
上式可化簡為
- x=2.{displaystyle x=2.,}
因爲已知x=2{displaystyle x=2}
- {x=2y=3.{displaystyle {begin{cases}x=2\y=3.end{cases}},}
注意：這並不是解這類特殊情況的唯一方法；y{displaystyle y}
求解的第二種方法
另一種求解的方法為替代。
- {4x+2y=142x−y=1.{displaystyle {begin{cases}4x+2y=14\2x-y=1.end{cases}},}
y{displaystyle y}
- 2x−y=1{displaystyle 2x-y=1,}
由方程的兩邊減去2x{displaystyle 2x}
- 2x−2x−y=1−2x{displaystyle 2x-2x-y=1-2x,}
- −y=1−2x{displaystyle -y=1-2x,}
再乘上 -1：
- y=2x−1.{displaystyle y=2x-1.,}
將此y{displaystyle y}
- 4x+2(2x−1)=14{displaystyle 4x+2(2x-1)=14,}
- 4x+4x−2=14{displaystyle 4x+4x-2=14,}
- 8x−2=14{displaystyle 8x-2=14,}
在方程的兩端加上 2：
- 8x−2+2=14+2{displaystyle 8x-2+2=14+2,}
- 8x=16{displaystyle 8x=16,}
此可簡化成
- x=2{displaystyle x=2,}
將此值代回兩個方程式中的一個，可求得和上一個方法所求得的相同解答。
- {x=2y=3.{displaystyle {begin{cases}x=2\y=3.end{cases}},}
注意：這並不是解這類特殊情況的唯一方法；在這個方法裡也是一樣的，y{displaystyle y}
另見
- 等量公理
- 代數
- 算術
- 二元運算
- 高斯消去法
- 數學教育
- 數線
- 多項式
參考
- Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
- Beginning Algebra Tutorials and Reviews for basic algebra review and practice..
- Feferman, Anita Burdman and Solomon Feferman (1990) "Alfred Tarski- Life and Logic." Cambridge University Press. p.74-76. ISBN 0-521-80240-7.
- Algebra lessons in PowerPoint Algebra 2 in PowerPoint.All lessons introduce mathematical concepts, step by step, with animations of text, points, lines and figures in general. Solution of problems is also given step by step. Colors are used to give hints and clues to follow the concept or the solution of the problems.
脚注
^ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.
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