分數

  本條目介紹的是數學概念的分數。關於得分或評分，請見“成績”。

各种各样的數

基本

N⊆Z⊆Q⊆R⊆C{displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} } 正數 R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}} 自然数 N{displaystyle mathbb {N} } 正整數 Z+{displaystyle mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q{displaystyle mathbb {Q} } 代數數 A{displaystyle mathbb {A} } 实数 R{displaystyle mathbb {R} } 複數 C{displaystyle mathbb {C} } 高斯整數 Z[i]{displaystyle mathbb {Z} [i]} 负数 R−{displaystyle mathbb {R} ^{-}} 整数 Z{displaystyle mathbb {Z} } 负整數 Z−{displaystyle mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I{displaystyle mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z[ω]{displaystyle mathbb {Z} [omega ]}

延伸

雙曲複數 雙複數 四元數 H{displaystyle mathbb {H} } 共四元數（英语：Dual quaternion） 八元數 O{displaystyle mathbb {O} } 超數 上超實數 超复数 十六元數 S{displaystyle mathbb {S} } 複四元數 大實數 超實數 ∗R{displaystyle ^{*}mathbb {R} } 超現實數

其他

对偶数 序数 質數 P{displaystyle mathbb {P} } 同餘 可計算數 整數數列 數學常數 公稱值 超限数 基數 P進數 規矩數 可定義數 阿列夫數 圓周率 π=3.141592653…{displaystyle pi =3.141592653dots } 自然對數的底 e=2.718281828…{displaystyle e=2.718281828dots } 虛數單位 i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}}} 無窮大 ∞{displaystyle infty }

取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。

分數（fraction）是用分式（分數式）表達成 ab{displaystyle {frac {a}{b}}} 的数（a,b∈Z,b≠0{displaystyle a,bin Z,bneq 0}）。在上式之中，b{displaystyle b} 稱為分母（Denominator）而 a{displaystyle a} 稱為分子（Numerator），可視為某件事物平均分成 b{displaystyle b} 份中佔 a{displaystyle a} 分，讀作「b{displaystyle b} 分之 a{displaystyle a}」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用 a/b{displaystyle a/b} 來表示分數。

目录

• 
  1 用法
  


• 
  2 分類
  


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  3 分數運算
  
  
  
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    3.1 約分、擴分及通分
    
    
    
    • 
      3.1.1 约分
      
    
    
    
    
  
  
  • 
    3.2 加法及減法
    
  
  
  • 
    3.3 乘法及除法
    
  
  
  
  


• 
  4 相關話題
  


• 
  5 外部連結
  

用法

分數有各種不同的用法與意義：

• 兩個整數的比例：ab≡a:b (a,b∈Z,a,b≠0){displaystyle {frac {a}{b}}equiv a:b (a,bin mathbb {Z} ,a,bneq 0)}，這是兩個數量的比較關係。

• 
  有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。

• 整數除法：ab≡a÷b (a,b∈Z,b≠0){displaystyle {frac {a}{b}}equiv adiv b (a,bin mathbb {Z} ,bneq 0)}，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。

• 等分：13{displaystyle {frac {1}{3}}} 表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數 (unit fraction)，參見古埃及分數。13{displaystyle {frac {1}{3}}} 也就是 3{displaystyle 3} 這個整數的倒數。

這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義的區分。

分類

最簡分數（既约分数）（Irreducible Fraction）

分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如：4 15 {displaystyle {frac {4}{~{}15~{}}}}

真分數（Proper Fraction）

除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：3 7 {displaystyle {frac {3}{~{}7~{}}}}

假分數（Top-heavy/Improper Fraction）

假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：5 2 {displaystyle {frac {5}{~{}2~{}}}}

帶分數（Mixed Numeral）

一個整數加一個真分數，例如dab{displaystyle d{frac {a}{b}}}，讀作「d又b分之a」；又例如11 2 {displaystyle 1{frac {1}{~{}2~{}}}}，就是一又二分之一。可寫成假分數，與 (d×b)+a b{displaystyle {frac {~{}(dtimes b)+a~{}}{b}}}等價。

十進位分數（decimal fraction）

分母為 10{displaystyle 10} 的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如，1100{displaystyle {frac {1}{100}}} 一般记为 0.01{displaystyle 0.01}，也可以百分率簡記為 1%{displaystyle 1%}，或是以 10{displaystyle 10} 的冪記為10−2{displaystyle 10^{-2}}。

單位分數：分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如：1 99 {displaystyle {frac {1}{~{}99~{}}}}

古埃及分數（Egyptian fraction）

將分數表達成單位分數之和。例如：19 20 =1 2 +1 3 +1 9 +1 180 {displaystyle {frac {19}{~{}20~{}}}={frac {1}{~{}2~{}}}+{frac {1}{~{}3~{}}}+{frac {1}{~{}9~{}}}+{frac {1}{~{}180~{}}}}

繁分數：分子和/或分母包含了分數，例如 a b  c d {displaystyle {frac {~{}{frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{frac {c}{~{}d~{}}}}}。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等如ad bc {displaystyle {frac {ad}{~{}bc~{}}}}。

連分數：外觀如x=a0+1 a1+1 a2+1 a3+…{displaystyle x=a_{0}+{frac {1}{~{}a_{1}+{frac {1}{~{}a_{2}+{frac {1}{~{}a_{3}+dots }}}}}}}的分數，其中ai{displaystyle a_{i}}是整數。若只有有限個ai{displaystyle a_{i}}非零，則連分數是一個分數。

分數運算

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

约分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。
約分後的分數和原來分數的值相等。

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。
擴分後的分數和原來分數的值相等。

通分

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。

加法及減法

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

14+13=312+412=3×112+4×112=(3+4)×112=7×112=712{displaystyle {frac {1}{4}}+{frac {1}{3}}={frac {3}{12}}+{frac {4}{12}}=3times {frac {1}{12}}+4times {frac {1}{12}}=(3+4)times {frac {1}{12}}=7times {frac {1}{12}}={frac {7}{12}}}

乘法及除法

分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示:里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

15÷711=(15×11)÷(711×11)=(15×11)÷7=(15×11×17)÷(7×17){displaystyle quad {frac {1}{5}}div {frac {7}{11}}=({frac {1}{5}}times 11)div ({frac {7}{11}}times 11)=({frac {1}{5}}times 11)div 7=({frac {1}{5}}times 11times {frac {1}{7}})div (7times {frac {1}{7}})}

=15×117=1×115×7=1135{displaystyle ={frac {1}{5}}times {frac {11}{7}}={frac {1times 11}{5times 7}}={frac {11}{35}}}

相關話題

• 有理數


• 倒數


• 除以零


• 法里數列


• 連分數


• 分母有理化


• 
  偶然對消：一種錯誤的約分方式，某些情形下會恰好有正確的結果

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：分數

查询維基詞典中的denominator。

查询維基詞典中的numerator。

• 
  Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. 
  


• 埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld. 


• 
  Fraction. Encyclopedia Britannica. 
  


• 
  Fraction (mathematics). Citizendium. 
  


• 
  Fraction. PlanetMath. （原始内容存档于2011-10-11）. 
  


• 
  Online program for exact conversion between fractions and decimals


• 
  Online Fractions Calculator with detailed solution


• 
  Fraction Practice endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.

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