Mixing
代數閉域
在數學上，一個域F{displaystyle F}
目录
1 例子
2 等價的刻劃
2.1 不可约多项式若且唯若一次多项式
2.2 每一个多项式都是一次多项式的乘积
2.3 Fn的每一个自同态都有特征向量
2.4 有理表达式的分解
3 代數閉包
4 文獻
例子
舉例明之，實數域並非代數閉域，因為下列實係數多項式無實根：
- x2+1=0{displaystyle x^{2}+1=0}
同理可證有理數域非代數閉域。此外，有限域也不是代數閉域，因為若a1,…,an{displaystyle a_{1},ldots ,a_{n}}
- (x−a1)(x−a2)⋯(x−an)+1{displaystyle (x-a_{1})(x-a_{2})cdots (x-a_{n})+1,}
反之，複數域則是代數閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數閉域之例子是代數數域。
等價的刻劃
給定一個域F{displaystyle F}
不可约多项式若且唯若一次多项式
域F是代数闭域，当且仅当环F[x]中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。
“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果F是代数闭域，p(x)是F[x]的一个不可约多项式，那么它有某个根a，因此p(x)是x − a的一个倍数。由于p(x)是不可约的，这意味着对于某个k ∈ F {0}，有p(x) = k(x − a)。另一方面，如果F不是代数闭域，那么存在F[x]内的某个非常数多项式p(x)在F内没有根。设q(x)为p(x)的某个不可约因子。由于p(x)在F内没有根，因此q(x)在F内也没有根。所以，q(x)的次数大于一，因为每一个一次多项式在F内都有一个根。
每一个多项式都是一次多项式的乘积
域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数F内的n ≥ 1的多项式p(x)都可以分解成线性因子。也就是说，存在域F的元素k， x1， x2， ……， xn，使得p(x) = k(x − x1)(x − x2) ··· (x − xn)。
如果F具有这个性质，那么显然F[x]内的每一个非常数多项式在F内都有根；也就是说，F是代数闭域。另一方面，如果F是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域K，任何K[x]内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对F成立。
Fn的每一个自同态都有特征向量
域F是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数n，任何从Fn到它本身的线性映射都有某个特征向量。
Fn的自同态具有特征向量，当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此，如果F是代数闭域，每一个Fn的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个Fn的自同态都有特征向量，设p(x)为F[x]的一个元素。除以它的首项系数，我们便得到了另外一个多项式q(x)，它有根当且仅当p(x)有根。但如果q(x) = xn + an − 1xn − 1+ ··· + a0，那么q(x)是以下友矩阵的特征多项式：
- (00⋯0−a010⋯0−a101⋯0−a2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯1−an−1).{displaystyle {begin{pmatrix}0&0&cdots &0&-a_{0}\1&0&cdots &0&-a_{1}\0&1&cdots &0&-a_{2}\vdots &vdots &ddots &vdots &vdots \0&0&cdots &1&-a_{n-1}end{pmatrix}}.}
有理表达式的分解
域F是代数闭域，当且仅当每一个系数位于F内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为a/(x − b)n的有理函数之和，其中n是自然数，a和b是F的元素。
如果F是代数闭域，那么由于F[x]内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。
而另一方面，假设以上的性质对于域F成立。设p(x)为F[x]内的一个不可约元素。那么有理函数1/p可以写成多项式函数q与若干个形为a/(x − b)n的有理函数之和。因此，有理表达式
- 1p(x)−q(x)=1−p(x)q(x)p(x){displaystyle {frac {1}{p(x)}}-q(x)={frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}
可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于p(x)是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。
代數閉包
設E⊃F{displaystyle Esupset F}
若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設E,E′{displaystyle E,E'}
文獻
- S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
- Bartel Leendert van der Waerden 和 B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5
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