導出函子








在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。




目录






  • 1 動機


  • 2 構造與初步性質


    • 2.1 右導出函子


    • 2.2 左導出函子


    • 2.3 逆變函子的情形




  • 3 長正合序列


  • 4 應用


  • 5 推廣


  • 6 文獻





動機


考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 A,B{displaystyle {mathcal {A}},{mathcal {B}}}{displaystyle {mathcal {A}},{mathcal {B}}}，及其間的加法函子 F:A→B{displaystyle F:{mathcal {A}}to {mathcal {B}}}{displaystyle F:{mathcal {A}}to {mathcal {B}}}。假設 F{displaystyle F}F 為左正合函子，換言之，對 A{displaystyle {mathcal {A}}}{mathcal {A}} 中的任一短正合序列


0→A→B→C→0{displaystyle 0to Ato Bto Cto 0}{displaystyle 0to Ato Bto Cto 0}

下列序列是正合的：


0→F(A)→F(B)→F(C){displaystyle 0to F(A)to F(B)to F(C)}{displaystyle 0to F(A)to F(B)to F(C)}

由此自然導出一個問題：如何自然地延長此正合序列？F{displaystyle F}F 的（右）導出函子是一族函子 RiF:A→B{displaystyle R^{i}F:{mathcal {A}}to {mathcal {B}}}{displaystyle R^{i}F:{mathcal {A}}to {mathcal {B}}}，滿足 R0F=F{displaystyle R^{0}F=F}{displaystyle R^{0}F=F}，且有相應的長正合序列：


0→F(A)→F(B)→F(C)→R1F(A)→R1F(B)→R1F(C)→R2F(A)→⋯{displaystyle 0to F(A)to F(B)to F(C)to R^{1}F(A)to R^{1}F(B)to R^{1}F(C)to R^{2}F(A)to cdots }{displaystyle 0to F(A)to F(B)to F(C)to R^{1}F(A)to R^{1}F(B)to R^{1}F(C)to R^{2}F(A)to cdots }

導出函子可以視為 F{displaystyle F}F 的右正合性的尺度。



構造與初步性質



右導出函子


今假設 A{displaystyle {mathcal {A}}}{mathcal {A}} 中有充足的內射元。設 X∈A{displaystyle Xin {mathcal {A}}}{displaystyle Xin {mathcal {A}}}，根據假設，存在內射分解：


0→X→I0→I1→I2→⋯{displaystyle 0to Xto I^{0}to I^{1}to I^{2}to cdots }{displaystyle 0to Xto I^{0}to I^{1}to I^{2}to cdots }

取函子 F{displaystyle F}F，得到上鏈複形：


0→F(X)→F(I0)→F(I1)→F(I2)→⋯{displaystyle 0to F(X)to F(I^{0})to F(I^{1})to F(I^{2})to cdots }{displaystyle 0to F(X)to F(I^{0})to F(I^{1})to F(I^{2})to cdots }

定義 RiF(X){displaystyle R^{i}F(X)}{displaystyle R^{i}F(X)} 為其第 i{displaystyle i}i 個上同調群，特別是有 R0F(X)=F(X){displaystyle R^{0}F(X)=F(X)}{displaystyle R^{0}F(X)=F(X)}。注意到兩點：



  • 由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子 RiF{displaystyle R^{i}F}{displaystyle R^{i}F} 在同構的意義下是明確定義的。

  • 若 X{displaystyle X}X 是內射對象，取平凡分解 0→X→X→0{displaystyle 0to Xto Xto 0}{displaystyle 0to Xto Xto 0}，可知當 i>0{displaystyle i>0}i>0 時有 RiF(X)=0{displaystyle R^{i}F(X)=0}{displaystyle R^{i}F(X)=0}。



左導出函子


左導出函子的建構與右導出函子對偶。設 G:A→B{displaystyle G:{mathcal {A}}to {mathcal {B}}}{displaystyle G:{mathcal {A}}to {mathcal {B}}} 為右正合加法函子，並假設 A{displaystyle {mathcal {A}}}{mathcal {A}} 有充足的射影元。對任一對象 X∈A{displaystyle Xin {mathcal {A}}}{displaystyle Xin {mathcal {A}}}，取一射影分解：


⋯→P2→P1→P0→X→0{displaystyle cdots to P_{2}to P_{1}to P_{0}to Xto 0}{displaystyle cdots to P_{2}to P_{1}to P_{0}to Xto 0}

取函子 G{displaystyle G}G，得到鏈複形：


⋯→G(P2)→G(P1)→G(P0)→0{displaystyle cdots to G(P_{2})to G(P_{1})to G(P_{0})to 0}{displaystyle cdots to G(P_{2})to G(P_{1})to G(P_{0})to 0}

定義 LiG(X){displaystyle L^{i}G(X)}{displaystyle L^{i}G(X)} 為其第 i{displaystyle i}i 個同調群，其性質類似右導出函子。



逆變函子的情形


對於逆變函子也能定義導出函子，此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。



長正合序列


對於右導出函子的情形，任一短正合序列 0→A→B→C→0{displaystyle 0to Ato Bto Cto 0}{displaystyle 0to Ato Bto Cto 0} 給出長正合序列


⋯→Ri−1F(C)→RiF(A)→RiF(B)→RiF(C)→Ri+1F(A)→⋯{displaystyle cdots to R^{i-1}F(C)to R^{i}F(A)to R^{i}F(B)to R^{i}F(C)to R^{i+1}F(A)to cdots }{displaystyle cdots to R^{i-1}F(C)to R^{i}F(A)to R^{i}F(B)to R^{i}F(C)to R^{i+1}F(A)to cdots }

對於左導出函子，相應的長正合序列形如


⋯→Li+1G(C)→LiG(A)→LiG(B)→LiG(C)→Li−1G(C)→⋯{displaystyle cdots to L^{i+1}G(C)to L^{i}G(A)to L^{i}G(B)to L^{i}G(C)to L^{i-1}G(C)to cdots }{displaystyle cdots to L^{i+1}G(C)to L^{i}G(A)to L^{i}G(B)to L^{i}G(C)to L^{i-1}G(C)to cdots }

此外，這些長正合序列在下述意義下是「自然」的：



  • 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。

  • 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。


這些性質是蛇引理的推論。



應用




  • 層上同調：對拓撲空間 X{displaystyle X}X，考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇，它有充足的內射元。整體截面函子 F↦Γ(X,F){displaystyle {mathcal {F}}mapsto Gamma (X,{mathcal {F}})}{displaystyle {mathcal {F}}mapsto Gamma (X,{mathcal {F}})} 是左正合函子，相應的右導出函子即層上同調函子 F↦Hi(X,F){displaystyle {mathcal {F}}mapsto H^{i}(X,{mathcal {F}})}{displaystyle {mathcal {F}}mapsto H^{i}(X,{mathcal {F}})}。


  • 平展上同調：平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。


  • Ext函子：設 R{displaystyle R}R 為環，考慮 R{displaystyle R}R-模範疇，它有充足的內射元及射影元。對任一 R{displaystyle R}R-模 A{displaystyle A}A，函子 HomR(A,−){displaystyle mathrm {Hom} _{R}(A,-)}{displaystyle mathrm {Hom} _{R}(A,-)} 為左正合的，其右導出函子記為 B↦ExtRi(A,B){displaystyle Bmapsto mathrm {Ext} _{R}^{i}(A,B)}{displaystyle Bmapsto mathrm {Ext} _{R}^{i}(A,B)}。


  • Tor函子：同樣考慮 R{displaystyle R}R-模範疇，對任一 R{displaystyle R}R-模 B{displaystyle B}B，函子 −⊗RB{displaystyle -otimes _{R}B}{displaystyle -otimes _{R}B} 為右正合的，其左導出函子記為 A↦ToriR(A,B){displaystyle Amapsto mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)}{displaystyle Amapsto mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)}。


  • 群上同調：設 G{displaystyle G}G 為群。所謂 G{displaystyle G}G-模是指被 G{displaystyle G}G 作用的阿貝爾群，G{displaystyle G}G-模範疇可以理解為 ZG{displaystyle mathbb {Z} G}{displaystyle mathbb {Z} G}-模範疇。對任一 G{displaystyle G}G-模 M{displaystyle M}M，定義 MG:={m∈M:∀g∈G,g⋅m=m}{displaystyle M^{G}:={min M:forall gin G,;gcdot m=m}}{displaystyle M^{G}:={min M:forall gin G,;gcdot m=m}}，這是一個左正合函子，其右導出函子即群上同調函子 M↦Hi(G,M){displaystyle Mmapsto H^{i}(G,M)}{displaystyle Mmapsto H^{i}(G,M)}。



推廣


現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。



文獻


  • Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1



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