轉移矩陣

在数学中，随机矩阵（也称为概率矩阵、转移矩阵^[1]、替代矩阵、或马尔可夫矩阵）是用来描述一个马尔可夫链的转变的矩阵 。它的每一项都是一个表示概率的非负实数。它适用于概率论、统计学和线性代数，也在计算机科学和群体遗传学中使用。
有几种不同的定义和类型随机矩阵：

• 
  右随机矩阵是实方阵，其中每一行求和为1。


• 
  左随机矩阵是实方阵，其中每一列求和为1。


• 
  双随机矩阵是非负实数方阵，每个行和列求和均为1。

同理，可以定义随机向量（也称为概率向量）为元素为非负实数且和为1的向量。因此，右随机矩阵的每一行（或左随机矩阵的每一列）都是一个随机向量。

在英语数学文献中的惯例是用概率的行向量和概率的右随机矩阵，而不用列向量和左随机矩阵，本文遵循此惯例。

目录

• 
  1 定义和性质
  


• 
  2 應用
  


• 
  3 性質
  


• 
  4 范例：猫和老鼠
  
  
  
  • 
    4.1 长期平均
    
  
  
  • 
    4.2 位相型表示
    
  
  
  
  


• 
  5 参见
  


• 
  6 参考文献
  

定义和性质

随机矩阵描述了在一个有限状态空间 S 上的马尔可夫链 Xt{displaystyle {boldsymbol {X}}_{t}}。

如果在一个时间步长内从 i{displaystyle i} 到 j{displaystyle j} 移动的概率为 Pr⁡(j|i)=Pi,j{displaystyle operatorname {Pr} (j|i)=P_{i,j}}，随机矩阵 P 的第 i{displaystyle i}行，第 j{displaystyle j} 列元素由 Pi,j{displaystyle P_{i,j}} 给出，例如，

P=(p1,1p1,2…p1,j…p2,1p2,2…p2,j…⋮⋮⋱⋮⋱pi,1pi,2…pi,j…⋮⋮⋱⋮⋱).{displaystyle P=left({begin{matrix}p_{1,1}&p_{1,2}&dots &p_{1,j}&dots \p_{2,1}&p_{2,2}&dots &p_{2,j}&dots \vdots &vdots &ddots &vdots &ddots \p_{i,1}&p_{i,2}&dots &p_{i,j}&dots \vdots &vdots &ddots &vdots &ddots end{matrix}}right).}

由于从状态 i{displaystyle i} 到下一状态的概率总和必须是 1，这个矩阵是一个右随机矩阵，于是

∑jPi,j=1.{displaystyle sum _{j}P_{i,j}=1.,}

从 i{displaystyle i} 到 j{displaystyle j} 分两步转变的概率由然后由给定的 P{displaystyle P} 的平方矩阵的 (i,j){displaystyle (i,j)} 号元素给出：

(P2)i,j.{displaystyle left(P^{2}right)_{i,j}.}

一般地，在由矩阵P{displaystyle P}给出的有限马尔可夫链上从任何状态转移到另一个状态的 k 步转移概率为 Pk{displaystyle P^{k}}。

初始分布为一个行向量。

平稳概率向量 π{displaystyle {boldsymbol {pi }}} 定义为不随转移矩阵的运用而变化的一个向量；也就是说，它定义为概率矩阵的左特征向量，其特征值为1：

πP=π.{displaystyle {boldsymbol {pi }}P={boldsymbol {pi }}.}

佩龙一弗罗宾尼斯定理（英语：Perron–Frobenius theorem）保证了每个随机矩阵都具有这样的向量，而特征值的最大绝对值始终为1。在一般情况下，可能有多个这样的向量。然而，对于具有严格正项的矩阵，该向量是唯一的，并可以观察到对任意 i{displaystyle i} 我们都有以下极限而求出，

limk→∞(Pk)i,j=πj,{displaystyle lim _{krightarrow infty }left(P^{k}right)_{i,j}={boldsymbol {pi }}_{j},}

其中 πj{displaystyle {boldsymbol {pi }}_{j}} 是行向量 π{displaystyle {boldsymbol {pi }}} 的第 j{displaystyle j} 个元素。在其他方面，这表示处在状态 j{displaystyle j} 下的长期概率与初始状态 i{displaystyle i} 是独立的。这两种计算得到相同的稳定向量是遍历定理的一种形式，在各种各样的耗散动力系统广泛成立：该系统随着时间演变到定态。

直观地看，随机矩阵表示一个马尔可夫链；对概率分布应用随机矩阵，就是将原始分布的概率质量进行重新分布，同时保持其总质量。如果反复应用此过程，分布就会收敛为马尔可夫链的平稳分布。

應用

轉移矩陣可用以表示機率(或變化比率)，而矩陣相乘的結果可用以預測未來事件發生的機率。

性質

設A{displaystyle mathbf {A} }、B{displaystyle mathbf {B} }為二個n×n階轉移矩陣，則以下亦為轉移矩陣:

• AB{displaystyle mathbf {AB} }


• A2{displaystyle mathbf {A} ^{2}}


• 12(A+B){displaystyle {frac {1}{2}}(mathbf {A} +mathbf {B} )}

范例：猫和老鼠

假设你有一个计时器和五个相邻的格子排成一行，零时刻有一只猫在第一个格子中，而一只老鼠在第五个格子中。在计时器增加的时候猫和老鼠都会随机跳到一个相邻的格子中。例如，如果猫在第二个格子，老鼠在第四个，在计时器增加后，猫会出现在第一个格子且老鼠会出现在第五个格子的概率为1/4。如果猫在第一个格子而老鼠在第五个，那么计时器增加后，猫会出现在第二个格子且老鼠会出现在第四个的概率为1。当它们处于同一个格子的时候，猫会吃掉老鼠，游戏结束。随机变量 K 给出了老鼠仍留在游戏中的时间步长。

表示这个包含五种位置组合 (猫,鼠) 的状态的游戏的马尔可夫链为：

• 状态 1：(1,3)


• 状态 2：(1,5)


• 状态 3：(2,4)


• 状态 4：(3,5)


• 状态 5：游戏结束：(2,2), (3,3) & (4,4).

我们使用一个随机矩阵来表示这个系统的转移概率（这个矩阵中的行和列用上面提到的可能状态来索引），

P=[001/201/2001001/41/401/41/4001/201/200001].{displaystyle P={begin{bmatrix}0&0&1/2&0&1/2\0&0&1&0&0\1/4&1/4&0&1/4&1/4\0&0&1/2&0&1/2\0&0&0&0&1end{bmatrix}}.}

长期平均

无论初始状态是什么，猫最终都会抓到老鼠（概率为1），且极限为稳态 π = (0,0,0,0,1)。要计算随机变量 Y 的长期平均或期望值。对每种状态 S_j 和时间 t_k，都有 Y_j,k·P(S=S_j,t=t_k) 的贡献。生存与否可以视作一个二值变量，Y=1 代表生存状态而 Y=0 代表终止状态。Y=0 的状态不对长期平均有贡献。

位相型表示

老鼠的生存函数。老鼠至少在第一个时间步长存活。

由于状态 5 是一个吸收态，吸收对时间的分布为离散位相型分布（英语：Discrete phase-type distribution）。假设系统从状态 2 开始，表示为向量 [0,1,0,0,0]{displaystyle [0,1,0,0,0]}。老鼠死亡后的状态不会对生存平均产生影响，所以状态五可以忽略。初始状态和转移矩阵可以化简为，

τ=[0,1,0,0]{displaystyle {boldsymbol {tau }}=[0,1,0,0]}

以及，

T=[001/2000101/41/401/4001/20]{displaystyle T={begin{bmatrix}0&0&1/2&0\0&0&1&0\1/4&1/4&0&1/4\0&0&1/2&0end{bmatrix}}}；而 (I−T)−11=[2.754.53.52.75],{displaystyle (I-T)^{-1}{boldsymbol {1}}={begin{bmatrix}2.75\4.5\3.5\2.75end{bmatrix}},,}

其中 I{displaystyle I} 为单位矩阵，1{displaystyle mathbf {1} } 表示全为1的列矩阵，进行状态的相加。

由于每个状态都占据一个时间步长，老鼠生存时间的期望就是在所有生存状态和时间步长中占据的概率之和，

E[K]=τ(I+T+T2+⋯)1=τ(I−T)−11=4.5.{displaystyle E[K]={boldsymbol {tau }}(I+T+T^{2}+cdots ){boldsymbol {1}}={boldsymbol {tau }}(I-T)^{-1}{boldsymbol {1}}=4.5.}

其高阶矩为

E[K(K−1)…(K−n+1)]=n!τ(I−T)−nTn−11.{displaystyle E[K(K-1)dots (K-n+1)]=n!{boldsymbol {tau }}(I-{T})^{-n}{T}^{n-1}mathbf {1} ,.}

参见

• Muirhead's inequality


• 佩龙一弗罗宾尼斯定理（英语：Perron–Frobenius theorem）


• 密度矩陣


• 双随机矩阵（英语：Doubly stochastic matrix）


• Discrete phase-type distribution


• 概率自动机（英语：Probabilistic automaton）


• Models of DNA evolution


• 
  马尔可夫核（英语：Markov kernel），随机矩阵在连续状态空间的等价形式

参考文献

1. 
   ^ Markov Chains. Applied Probability and Queues. Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer, New York, NY. 2003: 3–38. ISBN 9780387002118. doi:10.1007/0-387-21525-5_1 （英语）. 
   

• G. Latouche, V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling, 1st edition. Chapter 2: PH Distributions; ASA SIAM, 1999.

查 论 编 概率分布 列表（英语：List of probability distributions） 有限支集 离散单变量 本福德 伯努利 β-二项式 二项 分类（英语：Categorical distribution） 超几何 泊松二项（英语：Poisson binomial distribution） 拉德马赫（英语：Rademacher distribution） 离散均匀 齐夫 齐夫-曼德尔布罗特（英语：Zipf–Mandelbrot law） 无限支集 离散单变量 β-负二项（英语：Beta negative binomial distribution） 博雷尔（英语：Borel distribution） 康威-麦克斯韦-泊松（英语：Conway–Maxwell–Poisson distribution） 离散相型（英语：Discrete phase-type distribution） 德拉波特（英语：Delaporte distribution） 扩展负二项 高斯-库兹明 几何 对数 负二项 抛物线分形 泊松 Skellam 尤尔-西蒙 ζ 紧支集 连续单变量 反正弦 ARGUS 巴尔丁-尼科尔斯 贝茨 Β Β矩形 欧文-霍尔 库马拉斯瓦米 分对数正态 非中心β 升余弦 倒数 三角形 U-二次型 连续均匀 维格纳半圆 半无限区间支集 连续单变量 贝尼尼 第一类本克坦德 第二类本克坦德 Β' 伯尔 χ² χ Dagum 戴维斯 指数-对数 爱尔朗 指数 F 折叠正态 弗洛里-舒尔茨（英语：Flory–Schulz distribution） 弗雷谢 Γ Γ/冈珀茨 广义逆高斯 冈珀茨 半逻辑 半正态 霍特林T-方 超爱尔朗 超指数 次指数 逆χ² 缩放逆χ² 逆高斯 逆Γ 柯尔莫哥洛夫 列维 对数柯西 对数拉普拉斯 对数逻辑 对数正态 矩阵指数 麦克斯韦-玻耳兹曼 麦克斯韦-于特纳 米塔格-莱弗勒 中上 非中心χ² 帕累托 相型 保利-韦伯 瑞利 相对布莱特-维格纳分布 莱斯 移位冈珀茨 截断正态 第二类冈贝尔 韦伯 离散韦伯 威尔克斯λ 无限区间支集 连续单变量 柯西 指数幂 费希尔z 高斯q 广义正态 广义双曲 几何稳定 冈贝尔 赫鲁兹马克 双曲正割 约翰逊SU 朗道 拉普拉斯 非对称拉普拉斯 逻辑 非中心t 正态（高斯） 正态逆高斯 偏斜正态 斜线 稳定 学生t 第一类冈贝尔 特雷西-威登 方差-γ 福格特 可变类型支集 连续单变量 广义极值 广义帕累托 图基λ Q-高斯 Q-指数 Q-韦伯 移位对数逻辑 混合连续离散单变量 调整高斯 多元（联合） 离散 尤恩斯 多项 狄利克雷多项 负多项 连续 狄利克雷 广义狄利克雷 多元正态 多元稳定 多元t 正态缩放逆γ 正态γ 矩阵 逆矩阵γ 逆威沙特 矩阵正态 矩阵t 矩阵γ 正态逆威沙特 正态威沙特 威沙特 定向（英语：Directional statistics） 一元（圆形） 圆形均匀 一元冯·米塞斯 环绕正态 环绕柯西 环绕指数 环绕非对称拉普拉斯 环绕列维 二元（球形） 肯特 二元（环形） 二元冯·米泽斯 多元 冯·米泽斯-费希尔 宾汉姆 退化和奇异（英语：Singular distribution） 退化 狄拉克δ 奇异 康托尔 族 圆形 复合泊松 椭圆 指数 自然指数 位置尺度 最大熵 混合 皮尔逊 特威迪 环绕

This page is only for reference, If you need detailed information, please check here