Mixing
球面像差
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球面像差
像散
彗形像差
畸變
佩兹瓦尔像场弯曲
色差在光學中，球面像差是發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線，接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在望遠鏡和其他的光學儀器上都是一個缺點。這是因為透镜和面鏡必须满足所需的形狀，否则不能聚焦在一個點上造成的。
球面像差與鏡面直徑的四次方成正比，與焦長的三次方成反比，所以他在低焦比的鏡子，也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。
對使用球面鏡的小望遠鏡，當焦比低於f/10時，來自遠處的點光源（例如恆星）就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦，這造成影像因為球面像差的存在而不能很尖銳的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。
在透鏡系統中，可以使用凸透鏡和凹透鏡的組合來減少球面像差，就如同使用非球面透鏡一樣。
球面像差。一個理想的鏡面(頂端)，能經所有入射的光線匯聚在光軸上的一個點，但一個真實的鏡面(底端)會有球面像差：靠近光軸的光線會比離光軸較遠的光線較為緊密的匯聚在一個點上，因此光線不能匯聚在一個理想的焦點上(圖較為誇張)
一個 點光源 在負球面像差(上) 、無球面像差(中)、和正球面像差(下)的系統中的成像情形。左面的影像是在焦點內成像，右邊是在焦點外的成像
平行光束通過透鏡後聚焦像的縱切面，上：負球面像差，中：無球面像差，下：正球面像差。鏡子位於圖的左側
來自球面鏡的球面像差
目录
1 球面像差公式
2 球面像差展开式
3 薄透镜组的球面像差
4 薄透镜的球面像差
5 参考文献
6 相關條目
球面像差公式
- 单球面
一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点点距离，球面左右介质的折射率分别为 n,n';非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U,U'；近轴光线的入射角为i;这个球面对球面像差的贡献为[1]
球面像差=−2∗PA∗sin(−(1/2)∗J′+(1/2)∗J)∗sin((1/2)∗J′−(1/2)∗U)∗n∗i(n′∗u′∗sin(U)){displaystyle {frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}}}
在四种情况下，球面像差为零：
- 1.
- PA=0
物体和像与球面顶点重合。
- 2.
- I'=I;
物体和物象在球面的曲率中心
- 3.
- i=0;
- 4.
- I=U'或I'=U
在这种情形下的球面成为消球差曲面
- 消球差球面
根据球面折射的基本方程可以导出[2]：
L=r∗(n+n′)n{displaystyle L={frac {r*(n+n')}{n}}}
L′=r∗(n+n′)n′{displaystyle L'={frac {r*(n+n')}{n'}}}
对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。
BC=L−r=r∗nn′{displaystyle BC=L-r=r*{frac {n}{n'}}}
BC=L′−r=r∗n′n{displaystyle BC=L'-r=r*{frac {n'}{n}}}
例如，n=1,n'=1.5[3]。
L=2.5∗r{displaystyle L=2.5*r}
L′=1.6667∗r{displaystyle L'=1.6667*r}
消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜[4][3]。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面经组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度。[5]。
- 同轴球面系
对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由一下公式给出[6].
LA'=trans+newsp
其中
trans=LA∗n[1]∗n′[1]∗sin(U[1])(n′[k]∗u′[k]∗sin(U′[k])){displaystyle {frac {LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}}}
![{frac {LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce7a79a58c19249d1357428469f012ae49035c5)
newsp= ∑k=1k(−2∗PA∗sin(−(1/2)∗J′+(1/2)∗J)∗sin((1/2)∗J′−(1/2)∗U)∗n∗i(n′[k]∗u′[k]∗sin(U[k])){displaystyle sum _{k=1}^{k}({frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}}}
![sum _{{k=1}}^{k}({frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425290eeb4ccd88fca0229c531437413287a14e7)
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維基教科書中的相關電子教程：球面像差 |
球面像差展开式
球面像差可表示为
LA'=a∗Y2+b∗Y4+c∗Y6+{displaystyle a*Y^{2}+b*Y^{4}+c*Y^{6}+}
球面像差
红线代表二次项，蓝线代表二次和四次项之和，黑线为二、四、六次项之和
薄透镜组的球面像差
亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下[9][10]:
SC=y4n0′∗u02∗∑(G1∗c3−G2∗c2∗c1+G3∗c2∗v1+G4∗c∗c1∗v1+G6∗c∗v12){displaystyle {frac {y^{4}}{n_{0}'*u_{0}^{2}}}*sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})}
其中“0”代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和
- c=1f∗(n−1){displaystyle c={frac {1}{f*(n-1)}}}
- c=1r1{displaystyle c={frac {1}{r_{1}}}}
- G1=n2∗(n−1)2{displaystyle G_{1}={frac {n^{2}*(n-1)}{2}}}
- G2=12∗(2∗n+1)(n−1){displaystyle G_{2}={frac {1}{2}}*(2*n+1)(n-1)}
- G3=12∗(3n+1)(n−1){displaystyle G_{3}={frac {1}{2}}*(3n+1)(n-1)}
- G4=12∗n∗(n+2)(n−1){displaystyle G_{4}={frac {1}{2*n}}*(n+2)(n-1)}
- G512∗n∗(n2−1){displaystyle G_{5}{frac {1}{2*n}}*(n^{2}-1)}
- G6=12∗n∗(3∗n+2){displaystyle G_{6}={frac {1}{2*n}}*(3*n+2)}
薄透镜的球面像差
对于单薄镜片，上式可简化为[11]。
单镜片的球面像差=LA'=−y2∗l′2∗(∑(G1∗c3−G2∗c2∗c1+G3∗c2∗v1+G4∗c∗c1∗v1+G6∗c∗v12){displaystyle -y^{2}*l'^{2}*(sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})}
令上式对c_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件[12]:
dLA′dc1{displaystyle {frac {dLA'}{dc_{1}}}}
即 c1=G2c+G5v12G4{displaystyle c_{1}={frac {G_{2}c+G_{5}v_{1}}{2G_{4}}}}
当物距为无穷远时，v_1=0;
于是
c2c1=r1r2=2n−n−4n∗(2n+1){displaystyle {frac {c_{2}}{c_{1}}}={frac {r_{1}}{r_{2}}}={frac {2n-n-4}{n*(2n+1)}}}
| n | r_1/r_2 |
|---|---|
| 1.5 | -6 |
| 1.518 | -6.7374 |
| 1.6 | -14 |
| 1.7 | 93.5 |
| 1.8 | 12.1765 |
| 2 | 5 |
| 3 | 1.9 |
| 4 | 1.5 |
参考文献
^ Kingslake p104
^ Rudolf Kingslake p104-105
^ 3.03.1 Rudolf Kingslake p105
^ Moritz von Rohr p244
^ Rudolf Kingslake p106
^ Rudolf Kingslake p104
^ A.E.Conrady p101
^ Kingslake p114
^ Alexander Eugen Conrady, p95
^ Kingslake p117
^ Kingslake p118
^ Kingslake, p118
^ Kingslake p119
von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.
Conrady亚历山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. applied Optics & Optical design. DOVER PUBLICATION. 1957.
Kingslake 鲁道夫·京斯莱克, Rudolf. LENS DESIGN FUNDAMENTALS. ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X.
相關條目
- 像差
- 哈伯太空望遠鏡
- 馬克蘇托夫望遠鏡
- 拋物面反射鏡
里奇-克萊琴望遠鏡（RCT）- 施密特修正板
- 弱聚焦
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