逻辑异或

  「异或」和「互斥或」均重定向至此。關於邏輯門，詳見「异或门」。

A⊕B{displaystyle {begin{smallmatrix}Aoplus Bend{smallmatrix}}} 的文氏图

在数字邏輯中，逻辑算符互斥或閘（exclusive or）是对两个运算元的一种邏輯分析类型，符号为XOR或EOR或⊕。与一般的邏輯或OR不同，當兩兩數值相同為否，而數值不同時為真。

两个运算元（命题）：A与B的异或一般写成A异或B，或者写成AXORB{displaystyle Aquad mathrm {XOR} quad B}、A⊕B{displaystyle Aoplus B}、A≠B{displaystyle Aneq B}等等。在C语言中，写作A^B。

目录

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  1 真值表
  


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  2 其他表示
  


• 
  3 性质
  


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  4 与近世代数的联系
  


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  5 類似符號
  


• 
  6 使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值
  


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  7 参考来源
  


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  8 参见
  

真值表

异或运算A⊕B{displaystyle Aoplus B}的真值表如下：
F表示false，T表示true

A	B	⊕
F	F	F
F	T	T
T	F	T
T	T	F

可以注意到无论怎样改变同一行中A{displaystyle A}、B{displaystyle B}和⊕{displaystyle oplus }的位置，真值表都是成立的。

其他表示

在数学和工程学中，常常用其他的逻辑运算符来表示异或算符。异或算符可以被其他逻辑算符表示为：

A⊕B=(A∧¬B)∨(¬A∧B)=AB¯+A¯B=(A∨B)∧(¬A∨¬B)=(A+B)(A¯+B¯)=(A∨B)∧¬(A∧B)=(A+B)(AB¯){displaystyle {begin{matrix}Aoplus B&=&(Aland lnot B)&lor &(lnot Aland B)=A{overline {B}}+{overline {A}}B\\&=&(Alor B)&land &(lnot Alor lnot B)=(A+B)({overline {A}}+{overline {B}})\\&=&(Alor B)&land &lnot (Aland B)=(A+B)({overline {AB}})end{matrix}}}

另外，异或算符可以被推广，得到关于n个运算元的异或运算：n个运算元的n维异或的值为真当且仅当其中值为真的运算元有奇数个。

异或也可以被表示为：

A⊕B=¬((A∧B)∨(¬A∧¬B)){displaystyle {begin{matrix}Aoplus B&=&lnot ((Aland B)lor (lnot Aland lnot B))end{matrix}}}

异或还可以看作是逻辑等价关系的非运算。∧{displaystyle wedge } ∨{displaystyle lor }

性质

交换律：A⊕B=B⊕A{displaystyle Aoplus B=Boplus A}

结合律：A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C{displaystyle Aoplus (Boplus C)=(Aoplus B)oplus C}

恒等律：X⊕0=X{displaystyle Xoplus 0=X}

归零律：X⊕X=0{displaystyle Xoplus X=0}

自反：A⊕B⊕B=A⊕0=A{displaystyle Aoplus Boplus B=Aoplus 0=A}

与近世代数的联系

尽管算子∧{displaystyle wedge }（逻辑合取）与∨{displaystyle lor }（逻辑析取）是逻辑系统中最为常见的算子，但结构上，系统({T,F},∧){displaystyle ({T,F},wedge )} and ({T,F},∨){displaystyle ({T,F},lor )}只是幺半群。因此，这两个系统无法合成为一个更大的结构，比如环或半环。

但是，带有逻辑异或的系统({T,F},⊕){displaystyle ({T,F},oplus )}是一个交换群。因此，算子∧{displaystyle wedge }与⊕{displaystyle oplus }的结合在集合{T,F}{displaystyle {T,F}}上作用就产生了最基本的二元域F2{displaystyle F_{2}}。这个域可以得出所有运用(∧,∨){displaystyle (land ,lor )}可以得到的结果，并且由于附带了域的结构，可以进行代数上的进一步分析。

類似符號

名稱	符號	Unicode	圖形	符號的來源
地球	⊕	U+2295		带有赤道和一條經線的球體

使用异或运算交换两个 int 类型变量的数值

1 public void switch(int &a, int &b){

2     a = a ^ b;

3     b = a ^ b;

4     a = a ^ b

5 

6 }

参考来源

参见

• 异或门


• 异或密码

查 论 编 逻辑联结词 恆真（⊤{displaystyle top }） 与非（↑{displaystyle uparrow }） · 反蕴涵（←{displaystyle leftarrow }） · 蕴涵（→{displaystyle rightarrow }） · 或（∨{displaystyle lor }） 非（¬{displaystyle neg }） · 异或（⊕{displaystyle oplus }） · 双条件（↔{displaystyle leftrightarrow }） · 命题 或非（↓{displaystyle downarrow }） · 非蕴涵（↛{displaystyle nrightarrow }） · 反非蕴涵（↚{displaystyle nleftarrow }） · 与（∧{displaystyle land }） 恆假（⊥{displaystyle bot }）

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