级数










无穷级数

ζ(s)=∑k=1∞1ks{displaystyle zeta (s)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{s}}}}zeta (s)=sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{s}}}


无穷级数










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在数学中，一个有穷或无穷的序列u0,u1,u2⋯{displaystyle u_{0},u_{1},u_{2}cdots }u_{0},u_{1},u_{2}cdots 的元素的形式和S{displaystyle S}S称为级数。序列u0,u1,u2⋯{displaystyle u_{0},u_{1},u_{2}cdots }u_{0},u_{1},u_{2}cdots 中的项称作级数的通项。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。


有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。如果序列是无穷序列，其和则称为无穷级数，有时也简称為级数。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才會有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。


无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作a1+a2+a3+⋯{displaystyle textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots }{displaystyle textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots }、∑an{displaystyle textstyle sum a_{n}}{displaystyle textstyle sum a_{n}}或者∑n=1∞an{displaystyle textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}{displaystyle textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}，级数收敛时，其和通常被表示为∑n=1∞an{displaystyle textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}{displaystyle textstyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}。




目录






  • 1 无穷级数的定义


  • 2 无穷级数的敛散性


    • 2.1 任意项级数


    • 2.2 条件收敛


    • 2.3 绝对收敛




  • 3 收敛级数的性质


  • 4 无穷级数的研究历史


    • 4.1 对审敛法的研究


    • 4.2 对一致连续性的研究




  • 5 类别


    • 5.1 几何级数


    • 5.2 调和级数


    • 5.3 p{displaystyle p}p-级数


    • 5.4 裂项级数


    • 5.5 泰勒级数


    • 5.6 交错级数


    • 5.7 幂级数


    • 5.8 傅里叶级数




  • 6 常数项无穷级数审敛法


    • 6.1 正项级数


      • 6.1.1 比较判别法


      • 6.1.2 达朗贝尔判别法


      • 6.1.3 柯西收敛准则




    • 6.2 交错级数


      • 6.2.1 莱布尼茨判别法




    • 6.3 任意项级数




  • 7 函数项级数


    • 7.1 收敛域


    • 7.2 一致收敛


    • 7.3 绝对收敛


    • 7.4 幂级数


      • 7.4.1 幂函数的收敛域


      • 7.4.2 幂级数的和函数






  • 8 渐进级数


  • 9 发散级数的和


  • 10 推广


  • 11 参见


  • 12 注释


  • 13 参考文献


    • 13.1 参考书目







无穷级数的定义


设(un){displaystyle (u_{n})}(u_{n})是一个无穷序列 ：u1,u2,u3,...un,...{displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},...u_{n},...}u_{1},u_{2},u_{3},...u_{n},...，其前n项的和称为∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}的部分和：


sn=u1+u2+u3+...+un{displaystyle s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}}s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}

(un){displaystyle (u_{n})}(u_{n})部分和依次构成另一个无穷序列：s1,s2,s3,...sn,...{displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},...s_{n},...}s_{1},s_{2},s_{3},...s_{n},...


这两个序列合称为一个级数，记作∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}或者∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}，其中∑{displaystyle sum }sum 符號為求和号。



无穷级数的敛散性


对于级数∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}，如果当n{displaystyle n}n趋于正无穷大时，sn{displaystyle s_{n}}s_{n}趋向一个有限的极限：s=limn→∞sn{displaystyle s=lim _{nto infty }s_{n}}s=lim _{nto infty }s_{n}，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，s{displaystyle s}s叫做级数∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和s{displaystyle s}s。这时可以定义级数∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}的余项和：Rn=S−Sn{displaystyle R_{n}=S-S_{n}}R_{n}=S-S_{n}。



任意项级数


如果级数∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}中的各项可以是正数，负数或零，则级数∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}称为任意项级数。
将任意项级数各项un{displaystyle u_{n}}u_{n}取绝对值，得到正项级数。
∑n=1∞|un|=|u1|+|u2|+|u3|+...|un|+...{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+...|u_{n}|+...}{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+...|u_{n}|+...}



条件收敛


如果任意项级数∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}收敛，而级数∑n=1∞|un|{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|u_{n}|}sum _{n=1}^{infty }|u_{n}|发散，则称级数∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}条件收敛。


绝对收敛


如果级数∑n=1∞|un|{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|u_{n}|}sum _{n=1}^{infty }|u_{n}|收敛，则称级数绝对收敛

定理：如果任意项级数∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}的各项的绝对值所组成的正项级数∑n=1∞|un|{displaystyle sum _{n=1}^{infty }|u_{n}|}sum _{n=1}^{infty }|u_{n}|收敛，则级数∑n=1∞un{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}}sum _{n=1}^{infty }u_{n}收敛。







收敛级数的性质


  • 若一个无穷级数∑un : u1+u2+u3+⋯+un+⋯{displaystyle sum u_{n} : u_{1}+u_{2}+u_{3}+cdots +u_{n}+cdots }sum u_{n} : u_{1}+u_{2}+u_{3}+cdots +u_{n}+cdots 收敛，其和为s{displaystyle s}s，则如果每一项乘以一个常数a{displaystyle a}a，得到的级数∑aun: au1+au2+au3+...+aun+...{displaystyle sum au_{n}: au_{1}+au_{2}+au_{3}+...+au_{n}+...}sum au_{n}: au_{1}+au_{2}+au_{3}+...+au_{n}+...也收敛，且和等于as。

  • 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：



∑n=1∞un=s{displaystyle sum _{n=1}^{infty }u_{n}=s}sum _{n=1}^{infty }u_{n}=s和 ∑n=1∞vn=t{displaystyle sum _{n=1}^{infty }v_{n}=t}sum _{n=1}^{infty }v_{n}=t，则


∑n=1∞(un±vn)=s±t{displaystyle sum _{n=1}^{infty }(u_{n}pm v_{n})=spm t}{displaystyle sum _{n=1}^{infty }(u_{n}pm v_{n})=spm t}.


  • 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：


s=u1+u2+u3+...+un+...{displaystyle s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}+...}s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}+...和 s=u12+u15+u16+u17+...+un+...{displaystyle s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+...+u_{n}+...}s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+...+u_{n}+...

这两个级数的敛散性是一样的。


  • 当n{displaystyle n}n趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：limn→∞un=0{displaystyle lim _{nto infty }u_{n}=0}lim _{nto infty }u_{n}=0

  • 在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数∑n=1+∞un{displaystyle sum _{n=1}^{+infty }u_{n}}sum _{n=1}^{+infty }u_{n}收敛的充要条件是，对任意ϵ>0{displaystyle epsilon >0}epsilon >0 ，总存在N0>0{displaystyle N_{0}>0}N_{0}>0，使得任意的n>m>N0{displaystyle n>m>N_{0}}n>m>N_{0}，|sn−sm|=|∑k=m+1nuk|=|um+1+um+2+...+un|<ϵ{displaystyle |s_{n}-s_{m}|=|sum _{k=m+1}^{n}u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+...+u_{n}|<epsilon }|s_{n}-s_{m}|=|sum _{k=m+1}^{n}u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+...+u_{n}|<epsilon 。


无穷级数的研究历史


将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。


17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。



对审敛法的研究


14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。


然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数


1+αβ1⋅γx+α(α+1)β(β+1)1⋅2⋅γ(γ+1)x2+⋯.{displaystyle 1+{frac {alpha beta }{1cdot gamma }}x+{frac {alpha (alpha +1)beta (beta +1)}{1cdot 2cdot gamma (gamma +1)}}x^{2}+cdots .}1+{frac {alpha beta }{1cdot gamma }}x+{frac {alpha (alpha +1)beta (beta +1)}{1cdot 2cdot gamma (gamma +1)}}x^{2}+cdots .

的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。


柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。


1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数


1+m1x+m(m−1)2!x2+⋯{displaystyle 1+{frac {m}{1}}x+{frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+cdots }1+{frac {m}{1}}x+{frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+cdots

的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。


柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效）
，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。


对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。



对一致连续性的研究


1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。



类别


更多級數請參見級數列表。


几何级数


几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：


1+12+14+18+116+⋯=∑n=0∞12n=2{displaystyle 1+{1 over 2}+{1 over 4}+{1 over 8}+{1 over 16}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{1 over 2^{n}}=2}{displaystyle 1+{1 over 2}+{1 over 4}+{1 over 8}+{1 over 16}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{1 over 2^{n}}=2}

一般来说，几何级数∑n=0∞zn{displaystyle sum _{n=0}^{infty }z^{n}}sum _{n=0}^{infty }z^{n}收敛当且仅当|z|<1{displaystyle leftvert zrightvert <1}{displaystyle leftvert zrightvert <1}。



调和级数


主条目：调和级数

调和级数是指通项为1n{displaystyle {1 over n}}{1 over n}的级数：


1+12+13+14+15+⋯=∑n=1∞1n{displaystyle 1+{1 over 2}+{1 over 3}+{1 over 4}+{1 over 5}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{1 over n}}1+{1 over 2}+{1 over 3}+{1 over 4}+{1 over 5}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{1 over n}

它是发散的。



p{displaystyle p}p-级数


p{displaystyle p}p-级数是指通项为1np{displaystyle {frac {1}{n^{p}}}}{frac {1}{n^{p}}}的级数：


Up=∑n=1∞1np{displaystyle U_{p}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{p}}}}U_{p}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{p}}}

对于实数值的p{displaystyle p}p，当p>1{displaystyle p>1}p>1时收敛，当p≤1{displaystyle pleq 1}{displaystyle pleq 1}时发散。这可以由积分比较审敛法得出。


函数ζ:p↦Up{displaystyle zeta :pmapsto U_{p}}zeta :pmapsto U_{p}是黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼ζ{displaystyle zeta }zeta函數有著名的黎曼猜想。
特別地，當p=1{displaystyle p=1}p=1時，p{displaystyle p}p-級數即為調和級數。



裂项级数


∑n=1∞(bn−bn+1){displaystyle sum _{n=1}^{infty }(b_{n}-b_{n+1})}sum _{n=1}^{infty }(b_{n}-b_{n+1})

收敛当且仅当数列bn{displaystyle b_{n}}b_{n}收敛到某个极限L{displaystyle L}L，并且这时级数的和是b1−L{displaystyle b_{1}-L}{displaystyle b_{1}-L}。



泰勒级数


主条目：泰勒级数

泰勒级数是关于一个光滑函数f{displaystyle f}f在一点a{displaystyle a}a附近取值的级数。泰勒函数由函数在点a{displaystyle a}a的各阶导数值构成，具体形式为：


∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}

这是一个幂级数。如果它在a{displaystyle a}a附近收敛，那么就称函数f{displaystyle f}f在点a{displaystyle a}a上是解析的。



交错级数


具有以下形式的级数


∑n=0∞(−1)nan{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}!}sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}!

其中所有的an{displaystyle a_{n}}a_{n}非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。



幂级数


主条目：幂级数

形同∑an(x−x0)n{displaystyle sum a_{n}(x-x_{0})^{n}}sum a_{n}(x-x_{0})^{n}的函数项无穷级数称为x−x0{displaystyle x-x_{0}}x-x_{0}的幂级数。它的收敛与否和系数an{displaystyle a_{n}}a_{n}有关。



傅里叶级数


主条目：傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。


例如，周期为2π{displaystyle 2pi }2pi 的周期函数f(x){displaystyle f(x)}f(x)可以表示为：


f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx),n=1,2,3...{displaystyle f(x)={frac {a_{0}}{2}}+sum _{n=1}^{infty }(a_{n}cos nx+b_{n}sin nx),n=1,2,3...}f(x)={frac {a_{0}}{2}}+sum _{n=1}^{infty }(a_{n}cos nx+b_{n}sin nx),n=1,2,3...

其中，an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdx{displaystyle a_{n}={frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f(x)cos nxdx}a_{n}={frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f(x)cos nxdx，bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx{displaystyle b_{n}={frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f(x)sin nxdx}b_{n}={frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f(x)sin nxdx，特别的，a0=1π∫−ππf(x)dx{displaystyle a_{0}={frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f(x)dx}a_{0}={frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f(x)dx



常数项无穷级数审敛法


主条目：审敛法


正项级数


若通项为实数的无穷级数∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}每一项un{displaystyle u_{n}}u_{n}都大于等于零，则称∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}是一正项级数。


如果无穷级数 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 是正项级数，则部分和Sn{displaystyle S_{n}}S_{n}是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，要么部分和数列Sn有界，这时∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}收敛，limn→∞Sn=s{displaystyle lim _{nto infty }S_{n}=s}lim _{nto infty }S_{n}=s，要么部分和数列趋于正无穷，这时级数发散。



比较判别法


设∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 和 ∑vn{displaystyle sum v_{n}}sum v_{n}是正项级数。


如果存在正实数M{displaystyle M}M，使得从若干项开始，un≤Mvn{displaystyle u_{n}leq Mv_{n}}u_{n}leq Mv_{n}（也就是说un=O∞(vn){displaystyle u_{n}=O_{infty }(v_{n})}u_{n}=O_{infty }(v_{n})），则

  • 当∑vn{displaystyle sum v_{n}}sum v_{n} 收敛时，可推出 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 也收敛。

  • 当∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 发散时，可推出 ∑vn{displaystyle sum v_{n}}sum v_{n} 也发散。



如果limn→∞unvn=0{displaystyle lim _{nto infty }{u_{n} over v_{n}}=0}lim _{nto infty }{u_{n} over v_{n}}=0，则

  • 当∑vn{displaystyle sum v_{n}}sum v_{n} 收敛时，可推出 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 也收敛。

  • 当∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 发散时，可推出 ∑vn{displaystyle sum v_{n}}sum v_{n} 也发散。



如果limn→∞unvn=1{displaystyle lim _{nto infty }{u_{n} over v_{n}}=1}lim _{nto infty }{u_{n} over v_{n}}=1或其它有限数，则∑vn{displaystyle sum v_{n}}sum v_{n} 和∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 同时收敛或发散。

比如，我们已知级数：∑1n2{displaystyle sum {1 over n^{2}}}sum {1 over n^{2}}收敛，则级数：∑|sin⁡n|n2{displaystyle sum {|sin n| over n^{2}}}sum {|sin n| over n^{2}}也收敛，因为对任意的n{displaystyle n}n，sin⁡n≤1{displaystyle sin nleq 1}sin nleq 1。


比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：Up=∑1np{displaystyle U_{p}=sum {1 over n^{p}}}U_{p}=sum {1 over n^{p}}作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当p≤1{displaystyle pleq 1}pleq 1时，Up{displaystyle U_{p}}U_{p}发散，当p>1{displaystyle p>1}p>1时，Up{displaystyle U_{p}}U_{p}收敛。



达朗贝尔判别法


主条目：达朗贝尔审敛法

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：


设∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}是通项大于零的正项级数。并且limn→∞un+1un=p{displaystyle lim _{nto infty }{u_{n+1} over u_{n}}=p}lim _{nto infty }{u_{n+1} over u_{n}}=p，则

  • 当p<1{displaystyle p<1}p<1 时，级数∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}收敛。

  • 当p>1{displaystyle p>1}p>1 时，级数∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}发散。

  • 当p=1{displaystyle p=1}p=1 时，级数∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}可能收敛也可能发散。



这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。



柯西收敛准则


主条目：根值审敛法

设 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 是正项级数。并且limn→∞unn=p{displaystyle lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{u_{n}}}=p}lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{u_{n}}}=p，则

  • 当p<1{displaystyle p<1}p<1时，级数 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 收敛。

  • 当p>1{displaystyle p>1}p>1时，级数 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 发散。

  • 当p=1{displaystyle p=1}p=1时，级数 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n} 可能收敛也可能发散。



这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。



交错级数


主条目：交错级数判别法

具有以下形式的级数


∑n=0∞(−1)nan{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}!}sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}!

其中所有的an{displaystyle a_{n}}a_{n}非负，被称作交错级数。



莱布尼茨判别法


主条目：莱布尼茨审敛法

在上述的级数∑n=0∞(−1)nan{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}!}sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}a_{n}!中，如果当n{displaystyle n}n趋于无穷时, 数列an{displaystyle a_{n}}a_{n}的极限存在且等于 0，并且每个an{displaystyle a_{n}}a_{n}小于an−1{displaystyle a_{n-1}}a_{{n-1}}（即, 数列an{displaystyle a_{n}}a_{n}是单调递减的），那么级数收敛。



任意项级数


对于通项为任意实数的无穷级数∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}，将级数∑|un|{displaystyle sum |u_{n}|}sum |u_{n}|称为它的绝对值级数。可以证明，如果∑|un|{displaystyle sum |u_{n}|}sum |u_{n}|收敛，那么 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}也收敛，这时称 ∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}绝对收敛。如果∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}收敛，但是∑|un|{displaystyle sum |u_{n}|}sum |u_{n}|发散，则称∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}条件收敛。比如说，级数∑sin⁡nn2{displaystyle sum {sin n over n^{2}}}sum {sin n over n^{2}}绝对收敛，因为前面已经证明 ∑|sin⁡n|n2{displaystyle sum {|sin n| over n^{2}}}sum {|sin n| over n^{2}}收敛。而级数∑(−1)nn{displaystyle sum {(-1)^{n} over n}}sum {(-1)^{n} over n}是条件收敛的。它自身收敛到ln⁡12{displaystyle ln {1 over 2}}ln {1 over 2}，但是它的绝对值级数∑1n{displaystyle sum {1 over n}}sum {1 over n}是发散的。


黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数∑un{displaystyle sum u_{n}}sum u_{n}条件收敛，那么对于任意的实数x{displaystyle x}x，存在一个正整数到正整数的双射σ{displaystyle sigma }sigma ，使得级数∑uσ(n){displaystyle sum u_{sigma (n)}}sum u_{sigma (n)}收敛到 x{displaystyle x}x。对于正负无穷大，上述双射也存在。



函数项级数


设(un(x))n≥0{displaystyle (u_{n}(x))_{ngeq 0}}(u_{n}(x))_{ngeq 0}为定义在区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}}上的函数列，则表达式：u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+⋯{displaystyle u_{1}(x)+u_{2}(x)+cdots +u_{n}(x)+cdots }u_{1}(x)+u_{2}(x)+cdots +u_{n}(x)+cdots 称为函数项级数，简记为∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)。对函数项级数的主要研究是：



  1. 确定对哪些x{displaystyle x}x，∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)收敛。


  2. ∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)收敛的话，其和是什么，有什么性质？



收敛域


对区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}}上的每个 x0{displaystyle x_{0}}x_{0}，级数 ∑un(x0){displaystyle sum u_{n}(x_{0})}sum u_{n}(x_{0})是常数项级数。若
∑un(x0){displaystyle sum u_{n}(x_{0})}sum u_{n}(x_{0})收敛，则称x0{displaystyle x_{0}}x_{0}是∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)的一个收敛点，∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)全体收敛点的集合称为它的收敛域。若
∑un(x0){displaystyle sum u_{n}(x_{0})}sum u_{n}(x_{0})发散，则称x0{displaystyle x_{0}}x_{0}是∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)的一个发散点，∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)全体发散点的集合称为它的发散域。∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)的和函数，记为S(x){displaystyle S(x)}S(x)。按照定义，S(x0)=limn→∞Sn(x0){displaystyle S(x_{0})=lim _{nto infty }S_{n}(x_{0})}S(x_{0})=lim _{nto infty }S_{n}(x_{0})，其中Sn(x0)=u1(x0)+u2(x0)+⋯+un(x0){displaystyle S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+cdots +u_{n}(x_{0})}S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+cdots +u_{n}(x_{0})为函数项级数在x0{displaystyle x_{0}}x_{0}点上的部分和。



一致收敛


主条目：一致收敛

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)中的每一项un(x){displaystyle u_{n}(x)}u_{n}(x)在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：



设un(x)=xn−xn+1{displaystyle displaystyle u_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}}displaystyle u_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}，也就是说u0(x)=1−x{displaystyle displaystyle u_{0}(x)=1-x}displaystyle u_{0}(x)=1-x，u1(x)=x−x2{displaystyle displaystyle u_{1}(x)=x-x^{2}}displaystyle u_{1}(x)=x-x^{2}等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在x{displaystyle x}x 点上的部分和Sn(x)=∑k=0n(xk−xk+1)=1−xn+1{displaystyle S_{n}(x)=sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}}S_{n}(x)=sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}。在区间[0,1]{displaystyle [0,1]}[0,1]的每一点上，部分和都有极限：

当x≠1{displaystyle xneq 1}xneq 1时，Sn(x)→1{displaystyle S_{n}(x)rightarrow 1}S_{n}(x)rightarrow 1

当x=1{displaystyle displaystyle x=1}displaystyle x=1时，Sn(x)→0{displaystyle S_{n}(x)rightarrow 0}S_{n}(x)rightarrow 0



于是在区间[0,1]{displaystyle [0,1]}[0,1]上，级数∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x) 收敛，其和函数S(x){displaystyle S(x)}S(x)为：
当0≤x<1{displaystyle 0leq x<1}0leq x<1时，S(x)=1{displaystyle S(x)=1}S(x)=1；S(1)=0{displaystyle S(1)=0}S(1)=0。


这不是一个连续函数。


然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)在某个区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}}内（关于某个范数‖⋅‖{displaystyle left|cdot right|}left|cdot right|）一致收敛的定义是它的部分和函数Sn{displaystyle S_{n}}S_{n} 在区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}}上一致收敛到和函数S{displaystyle S}S，



limn→∞‖S−Sn‖I=0{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|S-S_{n}right|_{mathcal {I}}=0}lim _{nrightarrow infty }left|S-S_{n}right|_{mathcal {I}}=0

或者写成limn→∞‖∑k=n∞uk‖I=0{displaystyle lim _{nrightarrow infty }left|sum _{k=n}^{infty }u_{k}right|_{mathcal {I}}=0}lim _{nrightarrow infty }left|sum _{k=n}^{infty }u_{k}right|_{mathcal {I}}=0


可以证明：
.mw-parser-output .templatequote{margin-top:0;overflow:hidden}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite{line-height:1em;text-align:left;padding-left:2em;margin-top:0}.mw-parser-output .templatequote .templatequotecite cite{font-size:small}


如果级数∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x) 在区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}} 内一致收敛，并且每个un(x){displaystyle u_{n}(x)}u_{n}(x) 都是连续函数，那么和函数S{displaystyle S}S 在区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}} 上也是连续函数。


进一步的，如果导函数级数的每一项都是Cp{displaystyle {mathcal {C}}^{p}}{mathcal {C}}^{p}函数（p{displaystyle p}p阶连续可微函数），并且各阶导函数级数∑un(x),∑un(1)(x),∑un(2)(x),⋯,∑un(p)(x){displaystyle sum u_{n}(x),sum u_{n}^{(1)}(x),sum u_{n}^{(2)}(x),cdots ,sum u_{n}^{(p)}(x)}sum u_{n}(x),sum u_{n}^{(1)}(x),sum u_{n}^{(2)}(x),cdots ,sum u_{n}^{(p)}(x)在区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}}内都一致收敛，那么级数和函数S(x)=∑un(x){displaystyle S(x)=sum u_{n}(x)}S(x)=sum u_{n}(x) 也是Cp{displaystyle {mathcal {C}}^{p}}{mathcal {C}}^{p}函数，并且：



∀0≤i≤p{displaystyle forall 0leq ileq p}forall 0leq ileq p ，S(i)(x)=∑un(i)(x){displaystyle S^{(i)}(x)=sum u_{n}^{(i)}(x)}S^{(i)}(x)=sum u_{n}^{(i)}(x)。


绝对收敛


函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}}和范数‖⋅‖I{displaystyle left|cdot right|_{mathcal {I}}}left|cdot right|_{mathcal {I}}，函数项级数∑un(x){displaystyle sum u_{n}(x)}sum u_{n}(x)在区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}}内绝对收敛，当且仅当常数级数∑‖un‖I{displaystyle sum left|u_{n}right|_{mathcal {I}}}sum left|u_{n}right|_{mathcal {I}}收敛。


绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间I{displaystyle {mathcal {I}}}{mathcal {I}}内一致收敛。[來源請求]



幂级数


主条目：幂级数

形同∑an(x−x0)n{displaystyle sum a_{n}(x-x_{0})^{n}}sum a_{n}(x-x_{0})^{n}的函数项无穷级数称为x−x0{displaystyle x-x_{0}}x-x_{0}的幂级数。一般只需讨论形同∑anxn{displaystyle sum a_{n}x^{n}}sum a_{n}x^{n}的幂级数。



幂函数的收敛域


根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为(−R,R){displaystyle (-R,R)}(-R,R)（可开可闭）的形式。这个正数R{displaystyle R}R（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：


设幂级数∑anxn{displaystyle sum a_{n}x^{n}}sum a_{n}x^{n}满足limn→∞an+1an=ρ{displaystyle lim _{nto infty }{a_{n+1} over a_{n}}=rho }lim _{nto infty }{a_{n+1} over a_{n}}=rho ，则：




  • ρ{displaystyle rho }rho 是正实数时，R=1ρ{displaystyle R={1 over rho }}R={1 over rho }。


  • ρ=0{displaystyle rho =0}rho =0时，R=∞{displaystyle R=infty }R=infty 。


  • ρ=∞{displaystyle rho =infty }rho =infty 时，R=0{displaystyle R=0}R=0。



幂级数的和函数


求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。



渐进级数


渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。



发散级数的和


主条目：发散级数

发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。



推广


级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。



参见



  • 收敛

  • 发散级数

  • 函数级数（英语：function series）

  • 求和变换

  • 阿贝尔定理

  • 黎曼级数定理

  • 柯西-阿达马公式



注释




参考文献





参考书目




  • 同济大学数学系. 高等数学 6. 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中国大陆）‎）. 


  • 北京大学数学科学学院. 数学分析 2. 北京大学出版社 （中文（中国大陆）‎）. 
































  • 查

  • 论

  • 编



序列與級數

算術序列




發散級數

1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 無窮算術級數


Fibonacci spiral with square sizes up to 34.
幾何序列











收斂級數

1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …
發散幾何級數

1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的冪


超幾何級數

廣義超幾何函數 · 矩陣參數的超幾何函數（英语：Hypergeometric function of a matrix argument） · 超幾何級數 · 橢圓超幾何級數（英语：Elliptic hypergeometric series） · 黎曼微分方程（英语：Riemann's differential equation）
整數序列

整數數列線上大全列表（英语：List of OEIS sequences） · 階乘 · 斐波那契數列 · 三角形數 · 立方數 · 平方數 · 多邊形數 · 五角數 · 六邊形數 · 七邊形數 · 盧卡斯數
其他序列




發散級數

1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯






规范控制


  • AAT: 300055669

  • NDL: 00567344



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