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在区间上的凸函数

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集 $C$ （区间）上的实值函数 $f$ ，如果在其定义域 $C$ 上的任意两点 $x,y$ ，以及 ${displaystyle tin [0,1]}$ ，有

{displaystyle f(tx+(1-t)y)leq tf(x)+(1-t)f(y)}

。

也就是说，一个函数是凸的当且仅当其上境图（在函数图像上方的点集）为一个凸集。

如果对于任意的 ${displaystyle tin (0,1)}$ 有

{displaystyle f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)}

，函数

f

是严格凸的。

若對於任意的 $x,y,z$ ，其中 ${displaystyle xleq zleq y}$ ，都有 ${displaystyle f(z)leq max{f(x),,f(y)},,,,forall x,y,z,,,xleq zleq y}$ ，則稱函數 $f$ 是幾乎凸的。

性质

函数（蓝色）是凸的，当且仅当其上方的区域（绿色）是一个凸集。

定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x)。特别地，如果f '(c) = 0，那么f(c)是f(x)的最小值。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x⁴的二阶导数是f "(x) = 12 x²，当x = 0时为零，但x⁴是严格凸的。

更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。

凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。

对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。

延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果 $X$ 是一个随机变量，在f的定义域内取值，那么 ${displaystyle E(f(X))geq f(E(X)).}$ （在这里， $E$ 表示数学期望。）

注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。

凸函數的初等運算

如果 $f$ 和 $g$ 是凸函數，那麼 ${displaystyle m(x)=max{f(x),g(x)}}$ 和 ${displaystyle h(x)=f(x)+g(x)}$ 也是凸函數。

如果 $f$ 和 $g$ 是凸函數，且 $g$ 遞增，那麼 ${displaystyle h(x)=g(f(x))}$ 是凸函數。

凸性在仿射映射下不變：也就是說，如果 ${displaystyle f(x)}$ 是凸函數（ ${displaystyle xin mathbb {R} ^{n}}$ ），那麼 ${displaystyle g(y)=f(Ay+b)}$ 也是凸函數，其中 ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{ntimes m},;bin mathbb {R} ^{m}.}$

如果 ${displaystyle f(x,y)}$ 在 ${displaystyle (x,y)}$ 內是凸函數，且 ${displaystyle C}$ 是一個凸的非空集，那麼 ${displaystyle g(x)=inf _{yin C}f(x,y)}$ 在 $x$ 內是凸函數，只要對於某個 $x$ ，有 ${displaystyle g(x)>-infty }$ 。