圓周率

各种各样的數

基本

N⊆Z⊆Q⊆R⊆C{displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} } 正數 R+{displaystyle mathbb {R} ^{+}} 自然数 N{displaystyle mathbb {N} } 正整數 Z+{displaystyle mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q{displaystyle mathbb {Q} } 代數數 A{displaystyle mathbb {A} } 实数 R{displaystyle mathbb {R} } 複數 C{displaystyle mathbb {C} } 高斯整數 Z[i]{displaystyle mathbb {Z} [i]} 负数 R−{displaystyle mathbb {R} ^{-}} 整数 Z{displaystyle mathbb {Z} } 负整數 Z−{displaystyle mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I{displaystyle mathbb {I} } 二次无理数 艾森斯坦整数 Z[ω]{displaystyle mathbb {Z} [omega ]}

延伸

雙曲複數 雙複數 四元數 H{displaystyle mathbb {H} } 共四元數（英语：Dual quaternion） 八元數 O{displaystyle mathbb {O} } 超數 上超實數 超复数 十六元數 S{displaystyle mathbb {S} } 複四元數 大實數 超實數 ∗R{displaystyle ^{*}mathbb {R} } 超現實數

其他

对偶数 序数 質數 P{displaystyle mathbb {P} } 同餘 可計算數 整數數列 數學常數 公稱值 超限数 基數 P進數 規矩數 可定義數 阿列夫數 圓周率 π=3.141592653…{displaystyle pi =3.141592653dots } 自然對數的底 e=2.718281828…{displaystyle e=2.718281828dots } 虛數單位 i=−1{displaystyle i={sqrt {-1}}} 無窮大 ∞{displaystyle infty }

圓周率是一个数学常数，为一个圆的周长和其直径的比率，约等於3.14159265358979323846，它在18世纪中期之后一般用希腊字母π指代，有时也拼写为“pi”。

因为π{displaystyle pi }是一个无理数，所以它不能用分数完全表示出来（即它的小数部分是一个无限不循环小数）。当然，它可以用像227{displaystyle {frac {22}{7}}}般的有理数的近似值表示。π{displaystyle pi }的数字序列被認為是随机分布的，有一种统计上特别的随机性，但至今未能证明。此外，π还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式的根。由於π的超越性质，因此不可能用尺规作图解化圆为方的问题。

几个文明古国在很早就需要计算出π{displaystyle pi }的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时，南朝宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间，印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个π{displaystyle pi }的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。^[1][2]在20和21世纪，由于计算机技术的快速发展，借助计算机的计算使得π的精度急速提高。截至2015年，π{displaystyle pi }的十进制精度已高达10¹³位。^[3]当前人类计算π的值的主要原因为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法，因为几乎所有的科学研究对π的精度要求都不会超过几百位。^[4]:17[5]

因为π的定义中涉及圆，所以π{displaystyle pi }在三角学和几何学的许多公式，特别是在圆形、椭球形或球形相關公式中广泛应用。由于π{displaystyle pi }用於特征值这一特殊作用，它也在一些数学和科学领域（例如数论和统计中计算数据的几何形状）中出现，也在宇宙学，热力学，力学和电磁学中有所出现。π{displaystyle pi }的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍π的书籍，圆周率日（3月14日）和π{displaystyle pi }值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外，背诵π{displaystyle pi }值的世界记录已经达到70,000位的精度。

目录

• 
  1 基本知识
  
  
  
  • 
    1.1 名称
    
  
  
  • 
    1.2 定义
    
  
  
  • 
    1.3 无理性及正规性
    
  
  
  • 
    1.4 超越性
    
  
  
  • 
    1.5 连分式
    
  
  
  • 
    1.6 近似值
    
  
  
  • 
    1.7 复数与欧拉恒等式
    
  
  
  • 
    1.8 谱特征
    
  
  
  • 
    1.9 高斯积分
    
  
  
  
  


• 
  2 历史
  
  
  
  • 
    2.1 远古时期
    
  
  
  • 
    2.2 割圆时代
    
  
  
  • 
    2.3 无穷级数
    
    
    
    • 
      2.3.1 收敛速度
      
    
    
    
    
  
  
  • 
    2.4 无理性与超越性
    
  
  
  • 
    2.5 π符号的引入
    
  
  
  
  


• 
  3 现代数值近似
  
  
  
  • 
    3.1 计算机时代与迭代算法
    
  
  
  • 
    3.2 计算π的意义
    
  
  
  • 
    3.3 快速收敛级数
    
  
  
  • 
    3.4 蒙特卡洛方法
    
  
  
  • 
    3.5 阀门算法
    
  
  
  
  


• 
  4 用途
  
  
  
  • 
    4.1 几何学与三角学
    
  
  
  • 
    4.2 拓扑学
    
  
  
  • 
    4.3 向量分析
    
  
  
  • 
    4.4 柯西积分公式
    
  
  
  • 
    4.5 Γ函数与斯特灵公式
    
  
  
  • 
    4.6 数论与黎曼ζ{displaystyle zeta }函数
    
  
  
  • 
    4.7 傅里叶级数
    
  
  
  • 
    4.8 模形式与Θ{displaystyle Theta }函数
    
  
  
  • 
    4.9 柯西分布与位势论
    
  
  
  • 
    4.10 複變動態系統
    
  
  
  
  


• 
  5 数学之外的π{displaystyle pi }
  
  
  
  • 
    5.1 描述物理现象
    
  
  
  • 
    5.2 π{displaystyle pi }的记忆技巧
    
  
  
  • 
    5.3 大众文化中的π{displaystyle pi }
    
  
  
  
  


• 
  6 注释
  


• 
  7 參考文獻
  
  
  
  • 
    7.1 引用
    
  
  
  • 
    7.2 来源
    
  
  
  
  


• 
  8 延伸閱讀
  


• 
  9 外部連結
  

基本知识

名称

数学家用小写希腊字母π表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为pi，這来自于希腊语“περίμετρος”（周长）的首字母。^[6]在英语中，π的发音与英文单词“pie”（/paɪ/，西式馅饼）相同。^[7]在数学中，π{displaystyle pi }的小写字母（或者是其无衬线体）要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。

关于选择符号π{displaystyle pi }的原因，请参见π符号的引入一节。

定义

圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为π。

π{displaystyle pi }常用定义为圆的周长C{displaystyle C}与直径d{displaystyle d}的比值：^[4]:8

π=Cd{displaystyle pi ={frac {C}{d}}}.

无论圆的大小如何，比值Cd{displaystyle {frac {C}{d}}}为恒值。如果一个圆的直径变为原先的二倍，它的周长也将变为二倍，比值Cd{displaystyle {frac {C}{d}}}不变。当前π{displaystyle pi }的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理，虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面（即非欧几里得几何），但这些圆将不再符合定律π=Cd{displaystyle pi ={frac {C}{d}}}。^[4]

这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。^[8]例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆x2+y2=1{displaystyle x^{2}+y^{2}=1}上半部分的弧长，需要用到积分：^[9]

π=∫−11dx1−x2.{displaystyle pi =int _{-1}^{1}{frac {dx}{sqrt {1-x^{2}}}}.}

上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对π{displaystyle pi }的积分定义。^[10]

这些依赖于周长，且隐性地依赖积分的π的定义，如今在文献中并不常见。雷默特（Remmert (1991)）解释说这是因为在现代微积分教学中，大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的π{displaystyle pi }的定义就很有必要了。其中一种定义，由理查·巴爾策（英语：Richard Baltzer）提出，^[11]由愛德蒙·蘭道推广，^[12]其表述如下：π{displaystyle pi }是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。^[4][9][13]余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数^[14]定义，或者使用微分方程的解来定义。^[13]

在相似的启发下，π{displaystyle pi }可以用关于复变量z{displaystyle z}的复指数函数exp⁡(z){displaystyle exp(z)}来定义。复指数类似余弦函数，可透過多种方式定义。令函数exp⁡(z){displaystyle exp(z)}值为一的复数集合是一个如下所示的（虚）算数过程：

{…,−2πi,0,2πi,4πi,…}={2πki|k∈Z}{displaystyle {dots ,-2pi i,0,2pi i,4pi i,dots }={2pi ki|kin mathbb {Z} }},

并且其中包括一个独特的正实数π{displaystyle pi }。^[9][15]

一个基于同样想法，但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：^[16]存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字π{displaystyle pi }被定义为此同态派生的模的一半。^[17]

在给定的周长的条件下，圆会围成最大的面积，因此π{displaystyle pi }的表述同樣为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中，π{displaystyle pi }作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文。

无理性及正规性

π{displaystyle pi }是个无理数，也就是说，π{displaystyle pi }无法表示成两个整数之比的形式（形如227{displaystyle {frac {22}{7}}}的分数常用来近似表达π{displaystyle pi }，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到π{displaystyle pi }的精确值）。^[4]:5由于π{displaystyle pi }是无理数，故可表示为无限不循环小数。有多种方法能证明π是无理数（英语：proof that π is irrational），这些证明也都要用到微积分学和反证法。人们還無法準確得知π{displaystyle pi }可以用有理数来近似的程度（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比e或ln(2)的要大，但是小於刘维尔数的無理性度量^[18]。

人们通過統計隨機性（英语：statistical randomness）检验，包括正规数的检验，验证了π{displaystyle pi }的位數沒有明顯的固定模式。因此，π{displaystyle pi }的小数中任意固定长度的序列（例如3位數字的000,001……999）出現機率都相同^[19]。不過有關π是正规数的猜想既無證明，亦無证伪^{[4]:22-23[19]}。

電腦的出現使得人们可以生成大量π的不同位数，并進行統計分析。金田康正針對π的十進制數字進行了詳細的統計分析，并验证了其分布的正规性：例如，將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定，找不到有特定重复规律的證據^{[4]:22, 28–30}。根據無限猴子定理，任何任意長度，由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機产生的。因此，就算π的小数序列通過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有规律可循而非隨機数，例如π的十進制写法中，自第762位小數后开始出现了連續六個的9^[4]:3。

超越性

由于π是超越數，不能利用尺规作图化圓為方。

π{displaystyle pi }不仅是个无理数，还是一个超越数，即π{displaystyle pi }不是任何一个有理数系数多项式的根。（比方说，试图通过解有限项方程x5120−x36+x=0{displaystyle {frac {x^{5}}{120}}-{frac {x^{3}}{6}}+x=0}，来求得π{displaystyle pi }的值。）^{[20][註 1]}

π{displaystyle pi }的超越性衍生出了一些重要的结果：π{displaystyle pi }不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得，因此π{displaystyle pi }不是规矩数。换言之，利用尺规作图作不出长度为π{displaystyle pi }的线段，也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圓為方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人们数千年之久^[21][22]。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题^[23]。

连分式

柏林工业大学数学楼外的π鑲嵌藝術

像所有的无理数一样，π{displaystyle pi }无法表示成一个分数。但是每一个无理数，包括π{displaystyle pi }，都能表示成一系列叫做连分数的连续分数形式：

π=3+17+115+11+1292+11+11+11+⋱{displaystyle pi =3+textstyle {frac {1}{7+textstyle {frac {1}{15+textstyle {frac {1}{1+textstyle {frac {1}{292+textstyle {frac {1}{1+textstyle {frac {1}{1+textstyle {frac {1}{1+ddots }}}}}}}}}}}}}}}

在这个连分数的任意一点截断化简，都能得到一个π的近似值；前四个近似值是：3，227{displaystyle {frac {22}{7}}}，333106{displaystyle {frac {333}{106}}}，355113{displaystyle {frac {355}{113}}}。这些数在历史上是π{displaystyle pi }最广为人知且广為使用的几个近似值。用以上方式得出的π{displaystyle pi }的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近π。^[24]由于π{displaystyle pi }是一个超越数，据超越数定义来说它不是代數數，又因此不可能是一个二次無理數；是故π{displaystyle pi }不能表示为循环连分数。尽管π{displaystyle pi }的简单连分数没有表现出任何其他明显规律，^[25]数学家们發現了数个广义连分数能表示π{displaystyle pi }，例如：^[26]

π=41+122+322+522+722+922+⋱=3+126+326+526+726+926+⋱=41+123+225+327+429+⋱{displaystyle pi =textstyle {cfrac {4}{1+textstyle {frac {1^{2}}{2+textstyle {frac {3^{2}}{2+textstyle {frac {5^{2}}{2+textstyle {frac {7^{2}}{2+textstyle {frac {9^{2}}{2+ddots }}}}}}}}}}}}=3+textstyle {frac {1^{2}}{6+textstyle {frac {3^{2}}{6+textstyle {frac {5^{2}}{6+textstyle {frac {7^{2}}{6+textstyle {frac {9^{2}}{6+ddots }}}}}}}}}}=textstyle {cfrac {4}{1+textstyle {frac {1^{2}}{3+textstyle {frac {2^{2}}{5+textstyle {frac {3^{2}}{7+textstyle {frac {4^{2}}{9+ddots }}}}}}}}}}}

近似值

圆周率近似值包括：

• 
  整數：3
  


• 分數（依准确度順序排列，选自A063674和A063673）：227{displaystyle {frac {22}{7}}}、333106{displaystyle {frac {333}{106}}}、355113{displaystyle {frac {355}{113}}}、5216316604{displaystyle {frac {52163}{16604}}}、10399333102{displaystyle {frac {103993}{33102}}}、24585092278256779{displaystyle {frac {245850922}{78256779}}}^[24]
  


• 
  小數：根据A000796，圓周率首50個小数位是3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...^[4]:240
  


• 
  二进制：圆周率的二进制表示的首48位是11.001001000011111101101010100010001000010110100011...
  


• 
  十六进制：圆周率的十六进制表示的首20位是3.243F6A8885A308D31319...^[4]:242
  


• 
  六十進制：圆周率的六十进制表示的首5位是3;8,29,44,0,47^[27]
  

复数与欧拉恒等式

欧拉公式给出了e的复指数与复平面上以原點为圆心的单位圆上的点之间的关系。

任何复数（以z{displaystyle z}为例）都可以表示为一组实数对：在极坐标系中，一个实数r{displaystyle r}用来表示半径，代表复平面上复数z{displaystyle z}离原點的距离；另一个实数φ{displaystyle varphi }则用来表示夹角，即这条半径（复平面上复数z{displaystyle z}与原点的连线）与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来，z{displaystyle z}就可写成^[28]

z=r⋅(cos⁡φ+isin⁡φ){displaystyle z=rcdot (cos varphi +isin varphi )}，这里i{displaystyle i}代表一个虛數單位，即i2=−1{displaystyle i^{2}=-1}。

在复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起^[29]：

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ{displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi }，这里数学常数e是自然對數的底数。

欧拉公式确立了e{displaystyle e}的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系，而且当φ=π{displaystyle varphi =pi }时，欧拉公式就能改写为歐拉恆等式的形式：

eiπ+1=0{displaystyle e^{ipi }+1=0}。此等式亦稱“最奇妙的数学公式”，因其把5个最基本的数学常数简洁地串了起来^[29][30]。

欧拉等式亦可用于求出方程zn=1{displaystyle z^{n}=1}的n{displaystyle n}个不同的复数根（这些根叫做nn{displaystyle ^{n}n}次单位根”^[31]），可以根据以下公式求得：

e2πik/n(k=0,1,2,…,n−1).{displaystyle e^{2pi ik/n}qquad (k=0,1,2,dots ,n-1).}

谱特征

震盪弦的泛音是二次微分的本徵函數，會形成泛音列。對應的本徵值會形成由π整數倍組成的等差数列

π{displaystyle pi }经常出现在和几何相关的问题之中。然而，在不少和几何无关的问题中也可以看到π{displaystyle pi }的身影。

π{displaystyle pi }在許多的應用中都會以特征值的形式出現。例如理想的振動弦（英语：vibrating string）問題可以建模為函數f{displaystyle f}在單位區間[0,1]{displaystyle [0,1]}的圖形，固定邊界值为f(0)=f(1)=0{displaystyle f(0)=f(1)=0}。弦振動的模態會是微分方程的fn(x)+λ2f(x)=0{displaystyle f^{n}(x)+lambda ^{2}f(x)=0}，此處λ是相關的特徵值。受施图姆-刘维尔理论限制，λ{displaystyle lambda }只能是一些特定的數值。而λ=π{displaystyle lambda =pi }即為一個特征值，因為函數f(x)=sin⁡(πx){displaystyle f(x)=sin(pi x)}滿足邊界條件及微分方程λ=π{displaystyle lambda =pi }^[32]。

依照第一代开尔文男爵威廉·汤姆森所述的一個傳說，古迦太基城的外形是等周長問題的一個解（Thompson 1894）。這些包圍著海的區域是迦太基女王狄多所圍的，城不靠海的邊界需要用一塊指定大小的牛皮圍住，後來是將牛皮剪成小段

π{displaystyle pi }是上述方程中最小的特征值，也和弦振動的基本模式（英语：fundamental mode）有關。一個讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足一個不等式，維爾丁格函數不等式（英语：Wirtinger's inequality for functions）^[33]，其中提到若函數f:[0,1]→C{displaystyle f:[0,1]rightarrow mathbb {C} }使得f(0)=f(1)=0{displaystyle f(0)=f(1)=0}，且f{displaystyle f}和f′{displaystyle f'}都是平方可積函數，則以下的不等式成立：

π2∫01|f(x)|2dx≤∫01|f′(x)|2dx,{displaystyle pi ^{2}int _{0}^{1}|f(x)|^{2},dxleq int _{0}^{1}|f'(x)|^{2},dx,}

此例中等號成立的條件恰好是f{displaystyle f}為sin⁡(πx){displaystyle sin(pi x)}倍數的時候。因此π{displaystyle pi }似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，因此也是最小的特征值（根據雷利商數（英语：Rayleigh quotient）的計算方式）

π{displaystyle pi }在更高維度的分析中也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述，π{displaystyle pi }的一個特點是等周定理中的最佳常數：周長為P{displaystyle P}的平面若尔当曲线，所圍面積A{displaystyle A}滿足以下的不等式

4πA≤P2,{displaystyle 4pi Aleq P^{2},}

等號成立的條件是曲线為一圓形，因為A=πr2{displaystyle A=pi r^{2}}及P=2πr{displaystyle P=2pi r}.^[34]。

圓周率π{displaystyle pi }也和庞加莱不等式的最佳常數有關^[35]，π{displaystyle pi }是一維及二維的狄氏能量（英语：Dirichlet energy）特征向量最佳值中，最小的一個，因此π{displaystyle pi }會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位势论^[36][37][38]。其一維的情形即為Wirtinger不等式 。

圓周率π也是傅里叶变换的一個重要常數，傅里叶变换屬於积分变换，將一個在實數線上的一個有複數值，可積分的函數，轉換為以下的型式：

f^(ξ)=∫−∞∞f(x)e−2πixξdx.{displaystyle {hat {f}}(xi )=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-2pi ixxi },dx.}

傅里叶变换有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定會有某處出現π{displaystyle pi }。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了L²空間中唯一的幺正算符，也是L1{displaystyle L^{1}}空間到L∞{displaystyle L^{infty }}空間的代數同態^[39]。

不确定性原理中也有出現π{displaystyle pi }這個數字。不确定性原理提出了可以將一個函數在空間及在頻域中局部化程度的下限，利用傅立葉轉換的方式表示：

∫−∞∞x2|f(x)|2dx ∫−∞∞ξ2|f^(ξ)|2dξ≥(14π∫−∞∞|f(x)|2dx)2.{displaystyle int _{-infty }^{infty }x^{2}|f(x)|^{2},dx int _{-infty }^{infty }xi ^{2}|{hat {f}}(xi )|^{2},dxi geq left({frac {1}{4pi }}int _{-infty }^{infty }|f(x)|^{2},dxright)^{2}.}

物理的結果，有關量子力学中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中π的出現是史東–馮紐曼定理（英语：Stone–von Neumann theorem）的結果，證實了海森伯群的薛定諤表示（英语：Schrödinger representation）的唯一性^[40]。

高斯积分

高斯函数f(x)=e−x2{displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}的图像，函数下方与X轴围成的阴影部分面积为π{displaystyle {sqrt {pi }}}。

高斯积分是对高斯函数e−x2{displaystyle e^{-x^{2}}}在整条实轴上的积分，即函数下方与X轴围成的面积，其结果为π{displaystyle {sqrt {pi }}}，

∫−∞∞e−x2dx=π{displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}},dx={sqrt {pi }}}

此积分的计算可以先计算f(x)=e−x2{displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}对整条实轴的积分的平方，通过转换笛卡尔坐标系为极坐标系从而求得

(∫−∞∞e−x2dx)2=∬R2e−(x2+y2)dxdy=∫02π∫0∞e−r2rdrdθ=π{displaystyle left(int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}},dxright)^{2}=iint _{mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})},dxdy=int _{0}^{2pi }int _{0}^{infty }e^{-r^{2}}r,dr,dtheta =pi }

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为f(x)=aexp⁡−(x−b)22c2{displaystyle f(x)=aexp {frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}，求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求f(x)=e−x2{displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}的积分。

另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为μ{displaystyle mu }和標準差为σ{displaystyle sigma }的正态分布的機率密度函數^[41]：

f(x)=1σ2πexp⁡−(x−μ)22σ2{displaystyle f(x)={1 over sigma {sqrt {2pi }}},exp {frac {-(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}}

因为这个函数是一个概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令μ=0{displaystyle mu =0}和σ=1{displaystyle sigma =1}即可变换得出∫−∞∞e−x2dx=π{displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}},dx={sqrt {pi }}}。概率论与统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型：例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布^[42]。

由一维布朗运动的反正弦定律，可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算π

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及π{displaystyle pi }的核心作用，这个定理本质上是联系着π{displaystyle pi }的谱特征与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有

σxσp≥ℏ/2{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}geq hbar /2}，

这里的σx{displaystyle sigma _{x}}與σp{displaystyle sigma _{p}}分別為位置與動量的標準差，ℏ{displaystyle hbar }是約化普朗克常数，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立^[43]。

同样地，π{displaystyle pi }作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换，此时的高斯函数形式为f(x)=e−πx2{displaystyle f(x)=e^{-pi x^{2}}}^[44]。根据豪（Howe）的说法，建立傅里叶分析基本定理的“全部工作（whole business）”简化为高斯积分。

历史

主条目：π的近似值

参见：π計算年表

远古时期

圓周率在远古时期（公元前一千纪）已估算至前两位（“3”和“1”）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用227{displaystyle {frac {22}{7}}}作為圓周率的約數^{[45][註 2]}，但這個說法受到了質疑。^{[47][48][49][50]}

最早有記載的对圓周率估值在古埃及和巴比伦出现，兩個估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板（英语：Clay tablet），泥板上的幾何學陳述暗示了人们当时把圓周率視同258{displaystyle {frac {25}{8}}}（等於3.125）。^[4]:167埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰寫年份為公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）載有用作計算圓面積的公式，该公式中圓周率等于(169)2{displaystyle ({frac {16}{9}})^{2}}（約等於3.1605）。^[4]:167

公元前4世紀的《百道梵書（英语：Shatapatha Brahmana）》中的天文學運算把339108{displaystyle {frac {339}{108}}}（約等於3.139，精确到99.91%）用作圓周率估值^[51]。公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為10{displaystyle {sqrt {10}}}（約等於3.1622）^[4]:169。

在公元后的第一个千年，中国数学家祖沖之又把圓周率估算到了小数点后7位小数。此後至中世纪末，人對於圓周率的估算没有更多进展。

割圆时代

π可以透過計算圓的外切多邊形及內接多邊形周長來估算

第一個有紀錄、嚴謹計算π數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法，是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。^[4]:170這個算法使用了有一千年之久，因而有時π亦稱阿基米德常數。^{[4]:175、205}阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算π{displaystyle pi }的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長……，一直計算到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長證明22371<π<227{displaystyle {frac {223}{71}}<pi <{frac {22}{7}}}（也就是3.1408<π<3.1429{displaystyle 3.1408<pi <3.1429}）^[52]。阿基米德得到的上限227{displaystyle {frac {22}{7}}}也造成一個常見誤解，認為π{displaystyle pi }就等於227{displaystyle {frac {22}{7}}}^[4]:171。在公元前150年，希臘羅馬的科學家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一書中提到π的數值是3.1416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波罗尼奥斯。^[4]:176[53]數學家在1630年利用多邊形的方式計算π到第39位小數，一直到1699年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第71位小數^[54]。

阿基米德發展了用多邊形近似π的計算方式

中国历史上，π{displaystyle pi }的數值有3^[55]、3.1547（公元前一世紀）、10{displaystyle {sqrt {10}}}（公元前100年，數值約3.1623）及14245{displaystyle {frac {142}{45}}}（第三世紀，數值約3.1556）^{[4]:176–177}。大約在公元265年，曹魏的數學家刘徽創立了割圆术，用3,072邊的正多邊形計算出π的數值為3.1416。^[56][4]:177刘徽後來又發明了一個較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為14{displaystyle {frac {1}{4}}}的原理，配合96邊形算出π{displaystyle pi }的數值為3.14。^[56]祖冲之在公元480年利用割圆术計算12,288形的邊長，得到π≈355113{displaystyle pi approx {frac {355}{113}}}（現在稱為密率），其數值為3.141592920，小数点后的前七位數都是正確值。在之後的八百年內，這都是準確度最高的π估計值。^[4]:178為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。^[57]

印度天文學家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。^[4]:179斐波那契在大約1220年利用獨立於阿基米德多邊形法，計算出3.1418^[4]:180。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是3+210≈3.14142{displaystyle 3+{frac {sqrt {2}}{10}}approx 3.14142}。^[4]:180

波斯天文學家卡西在1424年利用3×2²⁸邊的多邊形，計算到六十進制的第9位小數，相當十進制的第16位小數。^[58][59]這一突破成為當時的紀錄，延續了約180年。^[60]法國數學家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×2¹⁷邊形計算到第9位小數^[60]，佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數^[60]。荷蘭數學家鲁道夫·范·科伊伦在1596年計算到第20位小數，他之後又計算到第35位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為鲁道夫數）。^{[4]:182–183}荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數^[4]:183，而奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格（英语：Christoph Grienberger）在1630年用10⁴⁰邊形計算到第38位小數^[61]，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果^[4]:183。

无穷级数

比較幾個曾用來計算π的無窮級數的收斂情形。S_n是只取前n項的近似值。每一個圖都是對應前一張圖的陰影部份，然後橫軸放大10倍。（點擊後可以察看細節）

16世紀及17世紀時，π{displaystyle pi }的計算開始改用無窮级数的計算方式。無窮级数是一組無窮數列的和^{[4]:185–191}。無窮级数讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。^{[4]:185–191}雖然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算π而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現的。^{[4]:185-186[62]}第一個记载的用無窮级数計算π的人是约公元1500年左右时，印度天文學家尼拉卡莎·薩默亞士（英语：Nilakantha Somayaji）在他的著作《系統匯編（英语：Tantrasamgraha）》中用梵語詩所記錄。^[63]當時沒有這個數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理（英语：Yuktibhāṣā）》，年代約在公元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦（英语：Madhava of Sangamagrama）（ 1350 –  1425）。^[63]有許多相關的無窮级数，包括有關sin{displaystyle sin }、tan{displaystyle tan }及cos{displaystyle cos }的，現在稱為馬德哈瓦數列（英语：Madhava series）或π的莱布尼茨公式^[63]。瑪達瓦在1400年用無窮级数計算π到第11位小數，但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果^[64]。

艾萨克·牛顿利用無窮级数計算π到第15位，後來寫道：「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字。」^[65]

歐洲第一個發現的無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算π的無窮級數不同），由法國科學家弗朗索瓦·韦达在1593年發現^[4]:187[66]：

2π=22⋅2+22⋅2+2+22⋯{displaystyle {frac {2}{pi }}={frac {sqrt {2}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2}}}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}{2}}cdots }

約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积，是歐洲第二個發現的無窮項圓周率公式^[4]:187：

π2=21⋅23⋅43⋅45⋅65⋅67⋅87⋅89⋯{displaystyle {frac {pi }{2}}={frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}cdots }

微积分学是由英國科學家艾萨克·牛顿及德國數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代發明，因此也出現許多計算π的無窮級數。牛頓自己就利用反正弦（arcsin{displaystyle arcsin }）數列在1655年或1666年將π近似到第15位小數，後來寫到「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字，我當時沒有做其他的事。」^[65]

蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年發現：^{[4]:188–189[67]}

arctan⁡z=z−z33+z55−z77+⋯{displaystyle arctan z=z-{frac {z^{3}}{3}}+{frac {z^{5}}{5}}-{frac {z^{7}}{7}}+cdots }

這個公式即為格雷果里-莱布尼茨公式，在z=1{displaystyle z=1}時數值為π4{displaystyle {frac {pi }{4}}}。^[67]1699年時英國數學家亚伯拉罕·夏普用格雷果里-莱布尼茨公式，在z=13{displaystyle z={frac {1}{sqrt {3}}}}時計算，計算到了π{displaystyle pi }的第71位小數，打破由多邊形算法得到的第39位小數的记录。^[4]:189格雷果里-莱布尼茨公式在z=1{displaystyle z=1}時非常簡單，但收斂到最終值的速度非常慢，因此現在不再会用此公式來計算π{displaystyle pi }。^[4]:156

約翰·梅欽（英语：John Machin）在1706年利用格雷果里-莱布尼茨級數產生了一個可以快速收斂的公式：^{[4]:192–193}

π4=4arctan⁡15−arctan⁡1239{displaystyle {frac {pi }{4}}=4,arctan {frac {1}{5}}-arctan {frac {1}{239}}}

梅欽用這個公式計算到π{displaystyle pi }的第100位小數^[4]:72–74後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算π{displaystyle pi }位數的記錄。^[4]:72–74在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是个耳熟能详的可以計算π{displaystyle pi }的公式，而且在约250年的时间里，很多有關π{displaystyle pi }位數的記錄都是梅欽類公式所得，比如在1946年時由達尼爾·弗格森（Daniel Ferguson）用這類公式計算到第620位小數，是在沒有計算設備輔助下的最佳紀錄。^{[4]:192–196, 205}

1844年，計算天才扎卡里亞斯·達斯（英语：Zacharias Dase）在德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的要求下以梅欽類公式心算了π{displaystyle pi }的200個小數位，並創下紀錄。^[4]:194-196英國數學家威廉·謝克斯（英语：William Shanks）花了15年的時間計算π到小數707位，不過中間在第528位小數時出錯，因此後面的小數也都不正確。^{[4]:194–196}

收敛速度

有些π的無窮級數收斂的比其他級數要快，數學家一般會選用收斂速度較快的級數，可以在較少的計算量下計算π{displaystyle pi }，且達到需要的準確度^{[68][4]:15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}。以下是π的莱布尼茨公式：^[4]:69–72

π=41−43+45−47+49−411+413−⋯{displaystyle pi ={frac {4}{1}}-{frac {4}{3}}+{frac {4}{5}}-{frac {4}{7}}+{frac {4}{9}}-{frac {4}{11}}+{frac {4}{13}}-cdots }

隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近π{displaystyle pi }。不過此數列的收斂速度很慢，要到500,000項之後，才會精確到π{displaystyle pi }的第五小數^[69]。

尼拉卡莎在15世紀發展了另一個π{displaystyle pi }的無窮級數，其收斂速度較格雷果里-萊布尼茨公式要快很多，該級數為：^[70]

π=3+42×3×4−44×5×6+46×7×8−48×9×10+⋯{displaystyle pi =3+{frac {4}{2times 3times 4}}-{frac {4}{4times 5times 6}}+{frac {4}{6times 7times 8}}-{frac {4}{8times 9times 10}}+cdots }

以下比較二個級數的收斂速率：

π{displaystyle pi }的無窮級數	第1項	前2項	前3項	前4項	前5項	收斂到：
π=41−43+45−47+49−411+413⋯.{displaystyle pi ={frac {4}{1}}-{frac {4}{3}}+{frac {4}{5}}-{frac {4}{7}}+{frac {4}{9}}-{frac {4}{11}}+{frac {4}{13}}cdots .}	4.0000	2.6666...	3.4666...	2.8952...	3.3396...	π = 3.1415...
π=3+42×3×4−44×5×6+46×7×8⋯.{displaystyle pi ={3}+{frac {4}{2times 3times 4}}-{frac {4}{4times 5times 6}}+{frac {4}{6times 7times 8}}cdots .}	3.0000	3.1666...	3.1333...	3.1452...	3.1396...

計算前5項後，格雷果里-萊布尼茨級數的和跟π{displaystyle pi }的誤差為0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂的快很多，因此也比較適合用來計算π{displaystyle pi }的數值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德诺夫斯基算法，後者每計算一項就可以得到14位正確的小數值數^[68]。

无理性与超越性

参见：林德曼-魏尔斯特拉斯定理

并非所有和π{displaystyle pi }有关的研究都旨在提高计算它的准确性。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，因而建立了所有平方数倒数和与π{displaystyle pi }的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了π{displaystyle pi }、素数的重要關聯，對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。^[71]

π26=112+122+132+142+⋯{displaystyle {frac {pi ^{2}}{6}}={frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+{frac {1}{4^{2}}}+cdots }

1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式证明（英语：Proof that π is irrational）了π{displaystyle pi }是無理數。^[4]:5[72]1794年，法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明了π2{displaystyle pi ^{2}}也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数α{displaystyle alpha }，eα{displaystyle e^{alpha }}都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼-魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，π{displaystyle pi }只能是超越數，進而证实了勒让德和欧拉提出的π{displaystyle pi }超越性猜想。^[4]:196[73]哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後，經過希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。^[74]

π符号的引入

萊昂哈德·歐拉在他在1736年到1748年的作品中開始使用希臘字母π表示圓周率，因此也開始廣為數學界使用

在用π专指“圆周率”之前，希腊字母即已用於幾何概念中^[4]:166。威廉·奥特雷德在1647年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用π{displaystyle pi }及δ{displaystyle delta }（對應p和d的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。

威廉·琼斯在他1706年出版的《新數學導論》（A New Introduction to the Mathematics）中提到了π{displaystyle pi }，是目前已知最早专门用希臘字母π{displaystyle pi }表示圓周和其直徑比例的人^[75]。這個希臘字母的第一次出现，是在书中討論一個半徑為1的圓時，提到「其圓周長的一半（π{displaystyle pi }）」。琼斯選用了π{displaystyle pi }的原因可能是因為它是希臘文中“周边”一词“περιφέρεια”的第一個字^[76]。不過琼斯提到，他的那些有關π{displaystyle pi }的算式是出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」，因此人们推測在瓊斯之前，約翰·梅欽（英语：John Machin）就已经开始使用此希臘字母表示圓周率^[4]:166。

瓊斯是在1706年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學（英语：Mechanica）》中開始使用之后，其他的数学家们才纷纷开始用π{displaystyle pi }来指代圆周率。在此之前，數字家可能用像c或p之類的字母代表圓周率^[4]:166。因為歐拉與歐洲其他數學家之间时常互相写信来往，π{displaystyle pi }的用法迅速傳播开来^[4]:166。1748年歐拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了π{displaystyle pi }，写道：「為了簡潔起見，我們將此數字寫為π{displaystyle pi }，π{displaystyle pi }等於半徑為1的圓周長的一半。」这个表示方式之後也推展到整個西方世界^[4]:166。

现代数值近似

计算机时代与迭代算法

约翰·冯·诺伊曼所在的團隊是第一個用數位計算機ENIAC來計算π的

高斯-勒让德算法：
一開始設定

a0=1b0=12t0=14p0=1{displaystyle scriptstyle a_{0}=1quad b_{0}={frac {1}{sqrt {2}}}quad t_{0}={frac {1}{4}}quad p_{0}=1}

迭代計算:an+1=an+bn2bn+1=anbn{displaystyle scriptstyle a_{n+1}={frac {a_{n}+b_{n}}{2}}quad quad b_{n+1}={sqrt {a_{n}b_{n}}}}

tn+1=tn−pn(an−an+1)2pn+1=2pn{displaystyle scriptstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}quad quad p_{n+1}=2p_{n}}

則π的估計值為

π≈(an+bn)24tn{displaystyle scriptstyle pi approx {frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}}

二十世紀中期计算机技术的发展、革新再次引发了計算π位數的熱潮。美國數學家约翰·伦奇及李維·史密斯在1949年利用桌上型計算機計算到1,120位^[4]:205。同年，喬治·韋斯納（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼帶領的團隊利用反三角函数（arctan）的無窮級數，通过ENIAC計算到了小數第2,037位，花了70小時的電腦工作時間^[77]。這一紀錄後來多次由其他透過arctan級數计算出的結果打破（1957年到7480位小數，1958年到第一萬位數，1961年到第十萬位小數），直到1973年，人们计算出了小数点后的第一百萬位小數^[4]:197。

1980年代的两项發明加速了π{displaystyle pi }的計算。第一项是人们發现了新的的迭代法去计算π的值，其計算速度比無窮級數會要快很多。另一项是人们發现了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法（英语：Multiplication algorithm）^[4]:15–17。這類演算法在現代π的計算上格外的重要，因為電腦大部分的工作時間都是在計算乘法^[4]:131。這類演算法包括Karatsuba算法、Toom–Cook乘法（英语：Toom–Cook multiplication）及以傅里叶变换為基礎的乘法演算法（傅里叶乘法）^{[4]:132, 140}<。

迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美國物理學家尤金·薩拉明（英语：Eugene Salamin (mathematician)）及奧地利科學家理查·布蘭特（英语：Richard Brent (scientist)）独立提出^[4]:87。這两个演算法没有依赖無窮級數來計算。迭代會重覆一個特定的計算，将前一次的計算結果作为這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出，現在稱為算术-几何平均数算法（AGM法）或高斯-勒让德算法^[4]:87。因為薩拉明及布蘭特都曾对此進行修改，因此这个算法也稱為薩拉明-布蘭特演算法。

迭代演算法因為收斂速度比無窮級數快很多，在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每多一次計算，正確的位數會呈几何级数增长。例如薩拉明-布蘭特演算法每多一次計算，正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波温（英语：Jonathan Borwein）及彼得·波温（英语：Peter Borwein）提出一個迭代演算法，每多一次計算，正確位數會是之前的四倍，1987年時有另一個迭代演算法，每多一次計算，正確位數會是之前的五倍^[78]。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年之間創下了若干个紀錄^[79]。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價，因为这个算法需要的内存的大小明顯的要比無窮級數要多^[79]。

计算π的意义

當數學家發現新的算法、電腦變得普及时，π的已知小數位急剧增加。注意垂直坐标使用了对数坐标。

一般而言，π值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照約爾格·阿恩特（Jörg Arndt）及克里斯托夫·黑內爾（Christoph Haenel）的计算，39個數位已足夠運算絕大多數的宇宙学的计算需求，因為這個精確度已能夠将可觀測宇宙圆周的精确度準確至一個原子大小^[80]。
尽管如此，人們仍然是奋力地運算出π{displaystyle pi }小数点后的上千甚至上百萬個數位^[4]:17–19。這一部分是出于人類對打破記錄的冲动，因为那些和π有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條^[81][82]。此外，这其中也有一些實際的好處，例如測試超级计算机、測試数值分析算法等（包括高精度乘法算法（英语：Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs））。在純粹數學的领域中，计算π{displaystyle pi }的位数也能让人们来评定π的隨機性^[4]:18。

快速收敛级数

斯里尼瓦瑟·拉马努金的肖像，他在印度独立工作时提出了许多新颖的计算π的数列。

现代计算π{displaystyle pi }的程序不仅仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代，人们发现了一些可用来计算π{displaystyle pi }的新无穷级数，其收敛速度可与迭代算法媲美，而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。^[79]印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱，他在1914年发表了许多与π{displaystyle pi }相关的公式，这些公式十分新颖，极为优雅而又颇具数学深度，收敛速度也非常快。^{[4]:103–104}下式即为一例，其中用到了模方程：

1π=229801∑k=0∞(4k)!(1103+26390k)k!4(3964k).{displaystyle {frac {1}{pi }}={frac {2{sqrt {2}}}{9801}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}.}

这个无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。^[4]:104第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀（英语：Bill Gosper），他在1985年算得了小数点后一千七百万位。^{[4]:104, 206}拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟（英语：Chudnovsky brothers）进一步发展了这类算法。^{[4]:110–111}后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：

1π=126403203/2∑k=0∞(6k)!(13591409+545140134k)(3k)!(k!)3(−640320)3k.{displaystyle {frac {1}{pi }}={frac {12}{640320^{3/2}}}sum _{k=0}^{infty }{frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.}

此公式每计算一项就能得到π的约14位数值^[83]，因而用於突破圆周率的数位的计算。利用这个公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π{displaystyle pi }小数点后10亿（10⁹）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×10¹²）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（10¹³）位。^{[4]:110–111, 206[84][85]}类似的公式还有拉马努金-佐藤级数（英语：Ramanujan–Sato series）。

2006年，加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ整数关系算法（英语：integer relation algorithm）^[86]按照以下模版生成了几个计算π{displaystyle pi }的新公式：

πk=∑n=1∞1nk(aqn−1+bq2n−1+cq4n−1),{displaystyle pi ^{k}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{k}}}left({frac {a}{q^{n}-1}}+{frac {b}{q^{2n}-1}}+{frac {c}{q^{4n}-1}}right),}

其中q{displaystyle q}为e^π（格尔丰德-施奈德常数），k{displaystyle k}是一个奇数，a,b,c{displaystyle a,b,c}是普勞夫计算出的有理常数。^[87]

蒙特卡洛方法

@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti>.thumbinner{width:100%!important;max-width:none!important}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{float:none!important;max-width:none!important;width:100%!important;text-align:center}}

布豐投針問題，多枚长度为ℓ的针随机地抛掷向平面。

随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点。

蒙地卡羅方法基于随机试验结果计算π的近似值

蒙地卡羅方法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法，通过进行大量重复试验计算事件发生的频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分地接近于概率）可以求得π{displaystyle pi }的近似值^[88]。 布豐投針問題就是其中一个应用的例子：当一枚长度为l{displaystyle l}的针随机地往一个画满间距为t(l≤t){displaystyle tleft(lleq tright)}的平行线的平面上抛掷n{displaystyle n}次， 如果针与平行直线相交了m{displaystyle m}次，那么当n{displaystyle n}充分大时就可根据以下公式算出π{displaystyle pi }的近似值^[89]：

π≈2nℓmt{displaystyle pi approx {frac {2nell }{mt}}}

另一个利用蒙特卡罗方法计算π{displaystyle pi }值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于π4{displaystyle {frac {pi }{4}}}.^{[4]:39–40[90]}

此外，还可以通过进行随机游走试验，并利用蒙特卡罗方法计算π{displaystyle pi }值，如抛掷一枚均匀的硬币N{displaystyle N}次，并记录正面朝上的次数，所得结果中，正面朝上的次数nN{displaystyle n_{N}}服从二項分佈且

Pr(nN=m)=(Nm)(12)m(12)N−m{displaystyle Pr(n_{N}=m)={binom {N}{m}}({frac {1}{2}})^{m}({frac {1}{2}})^{N-m}}

因为硬币均匀，所以N次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量Xk(k=1,2,…){displaystyle X_{k}left(k=1,2,ldots right)}，当抛掷结果为正面时Xk=1{displaystyle X_{k}=1}否则为-1，且Xk=±1{displaystyle X_{k}=pm 1}且取何值具有相同的概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。对随机变量Xk(k=1,2,…,N){displaystyle X_{k}left(k=1,2,ldots ,Nright)}求和可得

WN=∑k=1NXk{displaystyle W_{N}=sum _{k=1}^{N}X_{k}}

设k为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”，即可得到m−(N−m)=k{displaystyle m-left(N-mright)=k}。对式子进行变换，得m=N+k2{displaystyle m={frac {N+k}{2}}}，因此

Pr(WN=k)=(NN+k2)12N{displaystyle Pr(W_{N}=k)={binom {N}{frac {N+k}{2}}}{frac {1}{2^{N}}}}，其中k=−N,−N+2,−N+4,…,N−2,N{displaystyle k=-N,-N+2,-N+4,ldots ,N-2,N}。

可以证明^[91]，

E(WN)=0{displaystyle E(W_{N})=0}，E(WN2)=N{displaystyle E(W_{N}^{2})=N}，以及E(|WN|)=(N⌈N/2⌉⌈N/2⌉2N−1)={(N−1)!!(N−2)!!For N evenN!!(N−1)!!For N odd{displaystyle E(|W_{N}|)={binom {N}{leftlceil {N/2}rightrceil {frac {leftlceil {N/2}rightrceil }{2^{N-1}}}}}={begin{cases}{frac {(N-1)!!}{(N-2)!!}}&{mbox{For }}N{mbox{ even}}\{frac {N!!}{(N-1)!!}}&{mbox{For }}N{mbox{ odd}}end{cases}}}

并且当N{displaystyle N}变大时，E(|WN|){displaystyle Eleft(leftvert W_{N}rightvert right)}的值会渐近于2Nπ{displaystyle {sqrt {frac {2N}{pi }}}}，因此当N{displaystyle N}充分大时可根据以下公式算出π{displaystyle pi }的近似值：^[92]

π≈2N|WN|2{displaystyle pi approx {frac {2N}{|W_{N}|^{2}}}}

和其他计算π{displaystyle pi }值的方法相比，蒙特卡洛方法收敛速度很慢，而且无论进行多少次实验，都无从得知π的估值已经精确到了第几位。因此，当追求速度或精度时，蒙特卡洛方法不适合用来估计π{displaystyle pi }。^[4]:43[93]

阀门算法

1995年引入的兩個算法开辟了研究π的新途径。因为每计算出一位数字，該數就会像流过阀门的水一样不会再出现在后续的计算过程中，这种新進算法叫做阀门算法（英语：spigot algorithm）。^{[4]:77–84[94]}这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。^[4]:77–84

1995年，美國數學家斯坦·瓦格纳（英语：Stan Wagon）和斯坦利·拉比諾維茨（Stanley Rabinowitz）发明了一种簡單的阀门算法^{[94][4]:77[95]}，其運算速度類似arctan演算法，但速度比迭代算法要慢^[4]:77。

贝利-波尔温-普劳夫公式（BBP）是另一個阀门算法，屬於一种位數萃取演算法（英语：digit extraction algorithm）。1995年，西蒙·普勞夫等人發現^{[4]:117, 126–128[96]}

π=∑k=0∞116k(48k+1−28k+4−18k+5−18k+6){displaystyle pi =sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{16^{k}}}left({frac {4}{8k+1}}-{frac {2}{8k+4}}-{frac {1}{8k+5}}-{frac {1}{8k+6}}right)}

這個公式和其他的公式不同，可以在十六进制下計算π{displaystyle pi }的任意位數小數，而不用計算所有前面的小數位數^{[4]:117, 126–128}。一个十六进制下的数位可计算得到特定一个二进制的数位；想要得到一个八进制数位的话，计算一、两个十六进制小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體，不過人们還沒有发现針對十進制、可以快速產生特定位數小數數字的位數萃取演算法^[97]。位數萃取演算法的一個重要用途是用來確認聲稱是計算到π{displaystyle pi }小數位數的新記錄：若有聲稱是新紀錄的計算結果出現，先將十進制的數值轉換到十六進制，再用贝利-波尔温-普劳夫公式，去確認最後的一些位數（用亂數決定），若這些位數都對，人们就能有一定把握认为此計算結果是对的^[85]。

在1998年到2000年之間，分布式计算計畫PiHex（英语：PiHex）利用貝拉公式（贝利-波尔温-普劳夫公式的一種變體）計算π的第10¹⁵個位元，結果是0^[4]:20[98]。在2010年9月，一名雅虎員工利用公司的Apache Hadoop應用程式在上千台電腦上計算π{displaystyle pi }在2×10¹⁵個数位开始，往后数的256個位元，其第2×10¹⁵個位元剛好也是0^[99]。

用途

由于π{displaystyle pi }与圆密切相关, 它出现了许多几何学和三角学的公式中（特别是与圆、球体和椭圆相关的那些）。 此外π{displaystyle pi }也出现在其他学科的一些重要公式中，比如统计学、物理学，傅立叶分析和数论的公式。

几何学与三角学

圆的面积等于π乘以阴影部分面积。

π{displaystyle pi }出现在基于圆的几何图形（如椭圆、球、圆锥与环面）的面积、体积公式中。下面是一些涉及到π{displaystyle pi }的较为常见的公式。^[100]

• 半径为r{displaystyle r}的圆周长为2πr{displaystyle 2pi r}。


• 半径为r{displaystyle r}的圆的面积为πr2{displaystyle pi r^{2}}。


• 半径为r{displaystyle r}的球的体积为43πr3{displaystyle {frac {4}{3}}pi r^{3}}。


• 半径为r{displaystyle r}的球面的面积为4πr2{displaystyle 4pi r^{2}}。

上述公式是n 维球的体积与其边界（(n−1) 维球的球面）的表面积的特殊情况，具体将在后文给出解释。

描述由圆产生的图形的周长、面积或体积的定积分通常会涉及到π{displaystyle pi }。例如，表示半径为1的半圆的面积的积分为：^[101]

∫−111−x2dx=π2.{displaystyle int _{-1}^{1}{sqrt {1-x^{2}}},dx={frac {pi }{2}}.}

由于1−x2{displaystyle {sqrt {1-x^{2}}}}的积分表示上半圆（此处的平方根由勾股定理得出）, 从-1到1的积分∫−1x{displaystyle int _{-1}^{x}}可用来计算计算半圆与x 轴之间的面积。

正弦和余弦函数的重复周期为 2π。

三角函数要用到角，而数学家们常常用弧度作为角度的单位。π{displaystyle pi }在弧度制中起着重要作用，数学家将一个周角，即角度 360°，定义为2π{displaystyle 2pi }弧度。^[102]由这条定义可得，角度 180° 等于π{displaystyle pi }弧度，角度1∘=π180∘{displaystyle 1^{circ }={frac {pi }{180^{circ }}}}弧度。^[102]因此，常用的三角函数的周期为π{displaystyle pi }的倍数；例如，正弦和余弦周期为2π{displaystyle 2pi }，^[103]对于任何角度θ{displaystyle theta }和任何整数k{displaystyle k}，都有

sin⁡θ=sin⁡(θ+2πk){displaystyle sin theta =sin left(theta +2pi kright)}，以及 cos⁡θ=cos⁡(θ+2πk).{displaystyle cos theta =cos left(theta +2pi kright).}^[103]

拓扑学

克莱因四次方（英语：Klein quartic）的单值化，亏格为3且欧拉特征值为−4的面，作为双曲面与菲诺平面（英语：Fano plane）的对称群PSL(2,7)（英语：PSL(2,7)）的商。根据高斯-博内定理，基本域的双曲面积为8π.

常数π{displaystyle pi }出现在将平面微分几何（英语：differential geometry of surfaces）及其 拓扑学联系起来的高斯-博内定理中。具体来说，如果一个紧曲面Σ的高斯曲率为K{displaystyle K}，那么有

∫ΣKdA=2πχ(Σ){displaystyle int _{Sigma }K,dA=2pi chi (Sigma )}，

其中χ(Σ){displaystyle chi (Sigma )}是该曲面的欧拉示性数，是一个整数。^[104]例如，一个曲率为1（也就是说其曲率半径（英语：radius of curvature）也为1，对于球面而言此时的曲率半径与半径重合）的球面S{displaystyle S}的表面积。球面的欧拉特征数可以通过其同源组计算，其结果为2。于是，便得出

A(S)=∫S1dA=2π⋅2=4π{displaystyle A(S)=int _{S}1,dA=2pi cdot 2=4pi }

即为半径为1的球面的表面积公式。

常数π{displaystyle pi }还出现在拓扑学的许多其他的积分公式中，特别是那些涉及通过陈-韦伊同态的特征类^[105]。

向量分析

向量分析的方法可以通过分解成球谐函数来理解（图示）

向量分析是与向量場的性质有关的微积分的分支，并有许多物理应用，例如应用在电磁学中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源Q{displaystyle Q}的牛顿位势（英语：Newtonian potential）为^[106]

V(x)=−kQ|x|{displaystyle V(mathbf {x} )=-{frac {kQ}{|mathbf {x} |}}}

表示位于距原点|x|{displaystyle leftvert {boldsymbol {x}}rightvert }的单位质量（或电荷）的势能，而k{displaystyle k}是维度常数。在这里由E{displaystyle mathrm {E} }表示的场可以是（牛顿）引力場或（库仑）電場，是位势的负梯度：

E=−∇V.{displaystyle mathbf {E} =-nabla V.}

特殊情况有库仑定律和牛顿万有引力定律。高斯定律表明，通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面S{displaystyle S}的场的向外通量等于4πkQ{displaystyle 4pi kQ}：

4πkQ={displaystyle 4pi kQ=}∯{displaystyle oiint }S{displaystyle {scriptstyle S}}E⋅dA{displaystyle mathbf {E} cdot dmathbf {A} }

标准形式会将4π{displaystyle 4pi }的这个因子吸收到常数k{displaystyle k}中，但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外，4π{displaystyle 4pi }是单位球面的表面积，但並没有假设S{displaystyle S}是球面。然而，作为散度定理的结果，由于远离原点的区域是真空（无源的），只有R3∖{0}{displaystyle mathrm {R} ^{3}setminus left{0right}}中的表面S{displaystyle S}的同调类与计算积分有关，因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替，特别是球形，因为球面坐标可以用于计算积分。

高斯定律的结果之一是位势V{displaystyle V}的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数的4πkQ{displaystyle 4pi kQ}倍：

ΔV(x)=−4πkQδ(x).{displaystyle Delta V(mathbf {x} )=-4pi kQdelta (mathbf {x} ).}

通过卷积就能得到物质（或电荷）的更一般分布，给出泊松方程

ΔV(x)=−4πkρ(x){displaystyle Delta V(mathbf {x} )=-4pi krho (mathbf {x} )}

其中ρ{displaystyle rho }是分布函数。

爱因斯坦方程表明，时空的曲率是由其中的物质能量产生的。

常数π{displaystyle pi }在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用，爱因斯坦方程是形成廣義相對論基础的一个基本公式，并且把引力的基本相互作用描述为物质和能量引起的时空弯曲的结果：^[107]

Rμν−12Rgμν+Λgμν=8πGc4Tμν,{displaystyle R_{mu nu }-{frac {1}{2}}Rg_{mu nu }+Lambda g_{mu nu }={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu nu },}

其中Rμv{displaystyle R_{mu v}}是里奇曲率張量，R{displaystyle R}是数量曲率，gμv{displaystyle g_{mu v}}是度量张量，Λ{displaystyle Lambda }是宇宙學常數，G{displaystyle G}是万有引力常数，c{displaystyle c}是真空中的光速，而Tμv{displaystyle T_{mu v}}是應力-能量張量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右边是分布函数的模拟乘以8π{displaystyle 8pi }。

柯西积分公式

複雜的解析函數可以以一系列的流綫和等電位綫（許多以直角相交的曲綫）視覺化，圖中是伽瑪函數的複數對數。

在复分析中，沿复平面若尔当曲线的围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西積分公式表明，对任意若尔当曲线γ{displaystyle gamma }内任一点z0{displaystyle z_{0}}，以下围道积分给出2πi{displaystyle 2pi i}：^[108]

∮γ⁡dzz−z0=2πi.{displaystyle oint _{gamma }{frac {dz}{z-z_{0}}}=2pi i.}

该命题是柯西积分定理的直接推论，后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变，因而沿任一曲线的积分和沿以z0{displaystyle z_{0}}为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地，该公式对不通过z0{displaystyle z_{0}}点的任意可求长曲线都成立，但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数。

一般形式的柯西積分公式建立了全纯函数 f(z){displaystyle f(z)}在若尔当曲线γ{displaystyle gamma }上的值与曲线内任意点z0{displaystyle z_{0}}处值的关系：^[109][110]

∮γ⁡f(z)z−z0dz=2πif(z0){displaystyle oint _{gamma }{f(z) over z-z_{0}},dz=2pi if(z_{0})}

柯西积分定理是留数定理的一个特例。根据留数定理，在区域内除去有限个点解析的亚纯函数g(z){displaystyle g(z)}在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足：

∮γ⁡g(z)dz=2πi∑Res⁡(g,ak){displaystyle oint _{gamma }g(z),dz=2pi isum operatorname {Res} (g,a_{k})}

Γ函数与斯特灵公式

通过维拉瑞索圆（英语：Villarceaux circles）将三个球面霍普夫纤维化，下方是 富比尼–施图迪度量的黎曼球面 with its 富比尼–施图迪度量 (如图所示的三个平行曲面). 恒等式S₃(1)/S₂(1) = π/2可以确定一个数列。

阶乘函数n!{displaystyle n!}的值等于所有小于等于n{displaystyle n}的正整数之积，它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是階乘的推广。它在复平面的右半平面定义为：

Γ(z)=∫0∞tz−1etdt{displaystyle Gamma (z)=int _{0}^{infty }{frac {t^{z-1}}{mathrm {e} ^{t}}},{rm {d}}t}

再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整个复数域。当自变量z=n{displaystyle z=n}取正整数时，⌜{displaystyle ulcorner }函数给出阶乘(n−1)!{displaystyle left(n-1right)!}；当自变量取半整数时，计算结果含有π{displaystyle pi }。例如Γ(1/2)=π{displaystyle Gamma (1/2)={sqrt {pi }}}，Γ(5/2)=3π4{displaystyle Gamma (5/2)={frac {3{sqrt {pi }}}{4}}}。^[111]

根据魏尔施特拉斯分解定理，⌜{displaystyle ulcorner }函数可分解为如下的无穷乘积：^[112]

Γ(z)=e−γz∏n=1∞ez/n1+z/n{displaystyle Gamma (z)=e^{-gamma z}prod _{n=1}^{infty }{frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}

其中γ{displaystyle gamma }是歐拉-馬斯刻若尼常數。利用该分解公式和⌜{displaystyle ulcorner }函数在z=12{displaystyle z={frac {1}{2}}}的值⌜(12)2=π{displaystyle ulcorner left({frac {1}{2}}right)^{2}=pi }，亦可以证明沃利斯乘积式。⌜{displaystyle ulcorner }函数和黎曼ζ函數、函数行列式（英语：functional determinant）的恒等式存在关联，其中π{displaystyle pi }扮演着重要的角色。

⌜{displaystyle ulcorner }函数常用于计算n{displaystyle n}维欧氏空间中n 维球的体积和n 维球面的表面积。对n{displaystyle n}维欧氏空间中半径为r{displaystyle r}n{displaystyle n}维球，其体积Vn(r){displaystyle V_{n}(r)}和表面积Sn−1(r){displaystyle S_{n-1}(r)}满足：^[113]

Vn(r)=πn/2Γ(n2+1)rn{displaystyle V_{n}(r)={frac {pi ^{n/2}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}r^{n}}

Sn−1(r)=nπn/2Γ(n2+1)rn−1{displaystyle S_{n-1}(r)={frac {npi ^{n/2}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}r^{n-1}}

两者还满足如下的关系式：

2πr=Sn+1(r)Vn(r).{displaystyle 2pi r={frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}

当n{displaystyle n}很大时，利用⌜{displaystyle ulcorner }函数可以得到关于阶乘n!{displaystyle n!}的一个近似公式n!∼2πn(ne)n{displaystyle n!sim {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}}。该公式稱作斯特靈公式^[114]，等价于：

π=limn→∞e2nn!22n2n+1.{displaystyle pi =lim _{nto infty }{frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}

斯特灵近似的几何应用之一是埃尔哈特体积猜想（英语：Ehrhart's volume conjecture）。将n{displaystyle n}维欧几里得空间的单纯形记作Δn{displaystyle Delta _{n}}，(n+1)Δn{displaystyle left(n+1right)Delta _{n}}则表示该单纯形的所有面扩大n+1{displaystyle n+1}。于是

Vol⁡((n+1)Δn)=(n+1)nn!∼en+12πn.{displaystyle operatorname {Vol} ((n+1)Delta _{n})={frac {(n+1)^{n}}{n!}}sim {frac {e^{n+1}}{sqrt {2pi n}}}.}

这是仅含一个晶格点之凸体体积的（最佳）上界^[115]。

数论与黎曼ζ{displaystyle zeta }函数

每个质数都有一个关联的普魯法群（英语：Prüfer group），即圆的算数定域。分析数论中的L函數也定域在每个质数p上。

基于韦伊猜想（英语：Weil conjecture on Tamagawa numbers）的巴塞尔问题的解：ζ(2){displaystyle zeta (2)} 的数值是模群（英语：modular group）中一个基本域的双曲面积的 2π{displaystyle 2pi } 倍。

黎曼ζ函数ζ(s){displaystyle zeta (s)} 在数学的许多领域均有应用。当自变量s=2{displaystyle s=2} ，可以写作

ζ(2)=112+122+132+⋯{displaystyle zeta (2)={frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+cdots }

找到这个无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年，欧拉解决了这个问题，他得到该无穷级数等于π26{displaystyle {frac {pi ^{2}}{6}}}^[71]。欧拉的结论可以推导出一个数论中的结果，即两个随机整数互质（即无公因数）的概率为6π2{displaystyle {frac {6}{pi ^{2}}}} ^{[4]:41–43[116]}。由于任意整数可由质数p{displaystyle p}整除的概率1p2{displaystyle {frac {1}{p^{2}}}}（例如，在所有正整数中，连续7个数中有且只有一个可以被7整除）。因此，任取两个随机整数都能以质数p{displaystyle p}整除的概率为1p2{displaystyle {frac {1}{p^{2}}}}，至少有一个不能整除的概率则为1−1p2{displaystyle 1-{frac {1}{p^{2}}}}。又因为一个随机整数能否被两个不同的质数整除是相互独立事件，那么两个随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数p{displaystyle p}的无穷乘积^[117]

∏p∞(1−1p2)=(∏p∞11−p−2)−1=11+122+132+⋯=1ζ(2)=6π2≈61%.{displaystyle {begin{aligned}prod _{p}^{infty }left(1-{frac {1}{p^{2}}}right)&=left(prod _{p}^{infty }{frac {1}{1-p^{-2}}}right)^{-1}\&={frac {1}{1+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+cdots }}\&={frac {1}{zeta (2)}}={frac {6}{pi ^{2}}}approx 61%.end{aligned}}}

这个结论可以结合随机数生成器，利用蒙特卡罗方法计算π{displaystyle pi }的近似值。^[4]:43

巴塞尔问题的结论意味着几何导出量π{displaystyle pi }的数值与质数的分布有着深刻的关联。巴塞尔问题是谷山－志村定理的一个特殊情况，是安德烈·韦伊对玉河数的猜想（英语：Weil's conjecture on Tamagawa numbers）的一个特例，即猜想一个这种形式的算术量关于所有质数p{displaystyle p}的无穷乘积能够等于一个几何量——某个局部对称空间（英语：locally symmetric space）体积的倒易。在巴塞尔问题中，这个空间是一个双曲3-流形（英语：hyperbolic 3-manifold） SL₂(R)/SL₂(Z)（英语：modular group）。^[118]

ζ{displaystyle zeta }函数同样满足黎曼方程的公式，其中用到了π{displaystyle pi }和伽玛公式：

ζ(s)=2sπs−1 sin⁡(πs2) Γ(1−s) ζ(1−s).{displaystyle zeta (s)=2^{s}pi ^{s-1} sin left({frac {pi s}{2}}right) Gamma (1-s) zeta (1-s)!.}

除此之外，
ζ{displaystyle zeta }函数导数也满足

exp⁡(−ζ′(0))=2π.{displaystyle exp(-zeta '(0))={sqrt {2pi }}.}

最终的结果是π{displaystyle pi }可以从谐振子泛函行列式（英语：functional determinant）中求得。这个泛函行列式可以通过一个无穷乘积展开式计算, 而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。^[119]这种方法可以应用于量子力学, 尤其是玻尔模型中的变分。^[120]

傅里叶级数

π出现在P进数中的表示（如图），它們是普魯法群（英语：Prüfer group）的元素。泰特的論文（英语：Tate's thesis）很大程度地利用了這個系統。^[121]

周期函数的傅里叶级数中，很自然地出现了π{displaystyle pi }。周期函数即实数的小数部分所构成群T=RZ{displaystyle T={frac {R}{Z}}}上的函数。傅里叶分解指出，一个T{displaystyle T}上的复值函数f{displaystyle f}可表示为无穷多个T{displaystyle T}的酉特征（英语：unitary character）的线性叠加之和。也就是说，T{displaystyle T}到圓群U(1){displaystyle U(1)}（模为1的复数组成的乘法群）的映射是连续群同態。T{displaystyle T}的特征都具有en(x)=e2πinx{displaystyle e_{n}(x)=e^{2pi inx}}的形式，这是一个定理。

在T{displaystyle T}上存在一个唯一的特征值，直到复共轭，那是一个群同态。在圆群中使用 哈尔测度，常数π{displaystyle pi }是这个特征值的拉东-尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为2π{displaystyle 2pi }的正整数倍。^[17]因此，常数π{displaystyle pi }是一个独特的数字，以至于配备了其哈尔测度的群T{displaystyle T}，具有对于2π{displaystyle 2pi }整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性^[122]。这是泊松和公式（英语：Poisson summation formula）的一维版本。

模形式与Θ{displaystyle Theta }函数

常數π{displaystyle pi }與模形式和Θ函數密切相关——比如，椭圆曲线中的j变量（英语：j-invariant）就很大程度上涉及到了楚德诺夫斯基算法（一种快速计算π的方法）。

模形式是以在上半平面的全純函數的在模群（英语：modular group）SL2(Z){displaystyle SL_{2}(mathbb {Z} )}（或其子群，SL2(Z){displaystyle SL_{2}(mathbb {Z} )}是SL2(R){displaystyle SL_{2}(mathbb {R} )}的一格）下的變換特性歸納。Θ函數便是一例：

θ(z,τ)=∑n=−∞∞e2πinz+iπn2τ{displaystyle theta (z,tau )=sum _{n=-infty }^{infty }e^{2pi inz+ipi n^{2}tau }}

它是一種名為雅可比形式（英语：Jacobi form）的模形式，^[123]有時以諾姆（英语：nome (mathematics)）q=eπiτ{displaystyle q=e^{pi itau }}表達。

常數π{displaystyle pi }是一個特殊的常數，它會使雅可比Θ{displaystyle Theta }函數形成自守形式，即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。，例如：

θ(z+τ,τ)=e−πiτ−2πizθ(z,τ){displaystyle theta (z+tau ,tau )=e^{-pi itau -2pi iz}theta (z,tau )}

它使得θ{displaystyle theta }必然在離散海森伯群下以表示（representation）變換。一般模形式和其他Θ{displaystyle Theta }函數也包含π{displaystyle pi }，這也是根據史東–馮紐曼定理（英语：Stone–von Neumann theorem）。^[123]

柯西分布与位势论

箕舌线，其英文名来源于玛利亚·阿涅西（1718–1799），是柯西分布的一个几何构筑图。

柯西分布：

g(x)=1π⋅1x2+1{displaystyle g(x)={frac {1}{pi }}cdot {frac {1}{x^{2}+1}}}

是一个概率密度函数。其总概率等于1，因为下列积分：

∫−∞∞1x2+1dx=π{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {1}{x^{2}+1}},dx=pi }。

柯西分布的香农熵等于log⁡(4π){displaystyle log(4pi )}, 也含π{displaystyle pi }。

柯西分布控制做布朗运动的粒子通过膜的通道

柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的福斯坦堡测度（英语：Furstenberg boundary）和与在半平面上做布朗运动相关联的经典泊松核^[124]。共轭谐波函数（英语：Conjugate harmonic function）以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。 希尔伯特变换H{displaystyle H}是一个由奇异积分的柯西主值给出的积分变换

Hf(t)=1π∫−∞∞f(x)x−t{displaystyle Hf(t)={frac {1}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {f(x)}{x-t}}}。

常数π{displaystyle pi }是唯一的（正）归一化因子因此H{displaystyle H}定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的线性复结构（英语：linear complex structure）^[125]。 和傅里叶变换一样，希尔伯特变换就其在希尔伯特空间L2(R){displaystyle L^{2}(R)}的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化，它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子^[126]。常数π{displaystyle pi }是唯一的能使这个变换幺正的归一化因子。

複變動態系統

可以從曼德博集合中計算π，計算方式和計算從(−0.75, ε)點開始，一直到發散之前的次數有關

大衛·波爾（David Boll）在1991年發現在曼德博集合分形中也有π的出現^[127]。他檢查在曼德博集合在(−0.75,0){displaystyle (-0.75,0)}位置的特性。若考慮坐標在「頸部」(−0.75,ε){displaystyle (-0.75,varepsilon )}的點，而ε{displaystyle varepsilon }趨近於零，在發散之前迭代的次數和ε{displaystyle varepsilon }相乘，會趨近於π{displaystyle pi }。若是在右側尖點處附近的點(0.25,ε){displaystyle (0.25,varepsilon )}也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和ε{displaystyle varepsilon }的平方根相乘，也會趨近於π{displaystyle pi }^[127][128]。

数学之外的π{displaystyle pi }

描述物理现象

即便π{displaystyle pi }不是一个物理常数，π{displaystyle pi }也经常出现在描述宇宙的基本原则方程中，因为π{displaystyle pi }与圆以及球坐标系的关系密切。比方说，这是经典力学领域一个简单的公式，给出了长度为L的单摆做小幅摆动的近似周期（g{displaystyle g}为地球引力加速度常数）：^[129]

T≈2πLg.{displaystyle Tapprox 2pi {sqrt {frac {L}{g}}}.}

海森堡不确定性原理是量子力学的一个基本公式，它表明在对一个粒子测量时，其位置不确定度（Δx{displaystyle Delta x}）与动量不确定度（Δp{displaystyle Delta p}）不可能同时达到任意小（h{displaystyle h}为普朗克常数）：^[130]ΔxΔp≥h4π.{displaystyle Delta x,Delta pgeq {frac {h}{4pi }}.}

π{displaystyle pi }近似於三这一特性，和电子偶素的半衰期相對較長有密切的联系。其半衰期的倒數和精细结构常数α{displaystyle alpha }的關係為^[131]

1τ=2π2−99πmα6,{displaystyle {frac {1}{tau }}=2{frac {pi ^{2}-9}{9pi }}malpha ^{6},}

其中m{displaystyle m}為電子質量。

π{displaystyle pi }也出現在許多結構工程的公式中，例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為L{displaystyle L}、截面二次轴矩為I的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載F{displaystyle F}^[132]：

F=π2EIL2.{displaystyle F={frac {pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}

流體動力學的斯托克斯定律中也有π{displaystyle pi }。斯托克斯定律是半径约为R{displaystyle R}的小球體在黏度η{displaystyle eta }的流體中以速度v{displaystyle v}運動時會受到的阻力满足^[133]：

F=6πηRv.{displaystyle F=6,pi ,eta ,R,v.}

在理想状态下，一个河流的曲折程度——也就是河道本身的长度与源头到入海口的比值——随着时间的推移逐渐趋向于π{displaystyle pi }。河流外边缘的快速水流的弯曲会导致河流内边缘加倍的侵蚀，而河道因此变得更加弯曲，使得整个河流弯折得更加厉害。然而，这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方，导致“短路”，并在此过程中形成一个河迹湖。这两种相反的因素使得河道长度与源头到入海口的比值的平均值为π。^[134][135]

π{displaystyle pi }的记忆技巧

主条目：π文字学

π文字學（或譯作圆周率π的语言学）是指人们記住π{displaystyle pi }大量的位值^[4]:44–45，并将其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全中的做法。維爾·米納（Rajveer Meena）於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的π{displaystyle pi }，创下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。^[136]2006年，日本退休工程師原口證，自稱已經背誦了十萬個小數位，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。^[137]

一個常用於記憶π的技巧是背誦一個以單詞的長度代表π{displaystyle pi }數值的故事或詩歌：第一個單詞有三個字母，第二個單詞有一個字母，第三個單詞有四個字母，第四個單詞有一個字母，第五個單詞有五個字母，如此類推。一個早期的例子是由英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌：「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」^[4]:44–45這一類的詩歌有時在英文中稱為「piem」。除了英文，用於記憶π的詩歌亦有不同語言的版本^[4]:44-45。但是，創下紀錄的記憶π{displaystyle pi }的人一般並不以詩歌記憶π{displaystyle pi }，而是用如記憶數字規律或軌跡法（英语：method of loci）的方法。^[138]

有好幾位作家仿照上述记忆技巧，用π{displaystyle pi }的數值創作了新型的約束寫作（英语：constrained writing）方式，其中單詞的長度須符合π{displaystyle pi }的數值。《The Cadaeic Cadenza（英语：Cadaeic Cadenza）》以上述技巧包含了π{displaystyle pi }前3835位的值^[139]，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬個單詞，其中每個單詞亦代表了π{displaystyle pi }的一個位值。^[140]

大众文化中的π{displaystyle pi }

一個π派。圓形的西式餡餅是個常見的π雙關語（在英語中，圓周率和派的發音相同）。

也許因為π{displaystyle pi }的公式很簡短而且四處可見， π{displaystyle pi }比其他數學常数在流行文化中更常見^{[註 3]}。

在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合制作的記錄片《数学的故事（英语：The Story of Maths）》于2008年十月由英國廣播公司第四台播放。影片讲述了英國數學家马库斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上π最精確的計算公式的信息图形 。^[143]

在巴黎的科学博物馆發現宮中有一個稱為「π{displaystyle pi }房」的圓形房間。牆上刻有π{displaystyle pi }的707位數字。數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家威廉·尚克思（英语：William Shanks）的計算結果，但是该结果於第528位后開始出現謬誤，其在1946年發現，1949年修正。^[144][4]:50

卡尔·萨根的小说《接觸未來》中则暗示说，宇宙的创造者在π的数字中暗藏了一则信息。^[145]π的数字也用在凱特·布希所出的专辑Aerial（英语：Aerial (album)）中的《Pi》的歌词里。^[146]

在美国，人们在3月14日庆祝圓周率日，一个在学生中很流行的节日。^[147]一些自称“数学极客”的人常常用π{displaystyle pi }与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话。麻省理工学院则有几个包含“3.14159”的大学歡呼口號（英语：cheering）。^[148]2015年的圆周率日格外重要，因为按照美式的写法，当天的日期时间3/14/15 9:26:53较之于其他的圆周率日包含了更多位数的π{displaystyle pi }。^[149]

在北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上，谷歌使用了一些包含π{displaystyle pi }在内的数学或科学常数进行竞价。^[150]

在1958年，阿尔伯特·伊格尔（英语：Albert Eagle）提议将π{displaystyle pi }换成τ（tau）以便简化公式。τ{displaystyle tau }在此定义为π{displaystyle pi }的一半^[151]。然而，没有任何其他作者曾这样使用过τ{displaystyle tau }。有些人使用一个不同的值，τ=6.283185…=2π{displaystyle tau =6.283185ldots =2pi }。^[152]这些人辩称τ{displaystyle tau }，不论是作为弧度制下一个圆形周长的1转，还是作为弧长与半径的比值（而不是与直径的比值），都比π{displaystyle pi }显得更加自然，也能因此简化掉许多公式。^[153][154]已经有媒体报道称，有人在6月28日庆祝“τ{displaystyle tau }节”，并吃“两个派”，因为τ{displaystyle tau }的值大小约为6.28。^[155]然而，对于τ{displaystyle tau }的使用还并没有在数学界成为主流。^[156]

在1897年，一个业余的美国数学家试图通过印第安纳州议会来通过後世所謂印第安纳圆周率法案的法案。这一法案因试图以法律命令强制规定一个数学常数而臭名远扬。该法案描述了一个化圆为方的方法，并间接提到了π{displaystyle pi }的错误值，例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决，但是被参议院否决。^{[4]:211–212[157][158]}

注释

1. 
   ^ 这个多项式是正弦函数的泰勒级数展开的前三项。
   


2. 
   ^ 依照胡夫金字塔，那些和金字塔高度一致的圆形，周长应等同于金字塔底部的周长（即高度为280肘，周长为1760肘）^[46]。
   


3. 
   ^ 例如，柯利弗德·皮寇弗稱π為「最知名的數學常数」，皮特森則寫道：「在所有數學常數當中，π一向最受瞩目。」例如紀梵希π香水、Π (電影)以及圓周率日。^[141][142]
   

參考文獻

引用

1. 
   ^ George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy. Special Functions. Cambridge University Press. 1999: 58. ISBN 0-521-78988-5. 
   


2. 
   ^ Gupta, R. C. On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series. Ganita Bharati. 1992, 14 (1-4): 68–71. 
   


3. 
   ^ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program
   


4. 
   ^ ^{4.004.014.024.034.044.054.064.074.084.094.104.114.124.134.144.154.164.174.184.194.204.214.224.234.244.254.264.274.284.294.304.314.324.334.344.354.364.374.384.394.404.414.424.434.444.454.464.474.484.494.504.514.524.534.544.554.564.574.584.594.604.614.624.634.644.654.664.674.684.694.704.714.724.734.744.754.764.774.78} Arndt & Haenel 2006
   


5. 
   ^ David Bailey; Jonathan Borwein; Peter Borwein; Simon Plouffe, The Quest for Pi, The Mathematical Intelligencer, 1997, 19 (1): 50–56, doi:10.1007/bf03024340 
   


6. 
   ^ Boeing, Niels. Die Welt ist Pi [The World is Pi]. Zeit Online. 2016-03-14 （德语）. Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol, unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor, in Anlehnung an perimetros, griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften.中文：“鲁道夫数”，或称“圆周率”，同样獲得一个如今广为人知的符号——威廉·琼斯1706年提出使用字母π，因为这是希腊语“周长”（περίμετρος）的开头字母。莱昂哈德·欧拉在其数学著作中確立了π的使用。 
   


7. 
   ^ pi. Dictionary.com. [2017-07-15]. 
   


8. 
   ^ Tom Apostol, Calculus, volume 1 2nd, Wiley, 1967 。 Page 102: "From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length." Arc length is introduced on page 529.
   


9. 
   ^ ^9.09.19.2 Remmert, Reinhold, What is π?, Numbers, Springer: 129, 1991 
   


10. 
    ^ Remmert (1991)。魏尔斯特拉斯使用的积分实为π=∫−∞∞dx1+x2.{displaystyle pi =int _{-infty }^{infty }{frac {dx}{1+x^{2}}}.}
    


11. 
    ^ Richard Baltzer, Die Elemente der Mathematik, Hirzel: 195, 1870 
    


12. 
    ^ Edmund Landau, Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung, Noordoff: 193, 1934 
    


13. 
    ^ ^13.013.1 Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. 1976. ISBN 0-07-054235-X. , p 183.
    


14. 
    ^ Rudin, Walter. Real and complex analysis. McGraw-Hill. 1986. , p 2.
    


15. 
    ^ Lars Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill: 46, 1966 
    


16. 
    ^ Nicolas Bourbaki, Topologie generale, Springer, 1981 , §VIII.2
    


17. 
    ^ ^17.017.1 Nicolas Bourbaki, Fonctions d'une variable réelle, Springer, 1979 , §II.3.
    


18. 
    ^ Salikhov, V. On the Irrationality Measure of pi. Russian Mathematical Survey. 2008, 53 (3): 570–572. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543. 
    


19. 
    ^ ^19.019.1 Preuss, Paul. Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key. Lawrence Berkeley National Laboratory. 2001-07-23 [2007-11-10]. 
    


20. 
    ^ Mayer, Steve. The Transcendence of π. [2007-11-04]. （原始内容存档于2000-09-29）. 
    


21. 
    ^ Posamentier & Lehmann 2004，第25页
    


22. 
    ^ Eymard & Lafon 1999，第129页
    


23. 
    ^ Beckmann 1989，第37页
    Schlager, Neil; Lauer, Josh. Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. 2001. ISBN 0-7876-3933-8. ，第185页
    


24. 
    ^ ^24.024.1 Eymard & Lafon 1999，第78页
    


25. 
    ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A001203 (Continued fraction for Pi). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Retrieved 12 April 2012.
    


26. 
    ^ Lange, L. J. An Elegant Continued Fraction for π. The American Mathematical Monthly. 1999-05, 106 (5): 456–458. JSTOR 2589152. doi:10.2307/2589152. 
    


27. 
    ^ Kennedy, E. S., Abu-r-Raihan al-Biruni, 973-1048, Journal for the History of Astronomy: 65, Bibcode:1978JHA.....9...65K, doi:10.1177/002182867800900106 。克劳狄乌斯·托勒密使用了60进制下的三位小数去近似, 随后卡西将其扩展到了九位小数。参见Aaboe, Asger, Episodes from the Early History of Mathematics, New Mathematical Library 13, 纽约: Random House: 125, 1964 
    


28. 
    ^ Ayers 1964，第100页
    


29. 
    ^ ^29.029.1 Bronshteĭn & Semendiaev 1971，第592页
    


30. 
    ^ Maor, Eli, E: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, p 160, ISBN 978-0-691-14134-3 ("five most important" constants)
    


31. 
    ^ 埃里克·韦斯坦因. Roots of Unity. MathWorld. 
    


32. 
    ^ 大卫·希尔伯特; 理查·科朗特, Methods of mathematical physics, volume 1, Wiley: 286&endash;290, 1966 
    


33. 
    ^ H Dym; H P McKean, Fourier series and integrals, Academic Press: 47, 1972 
    


34. 
    ^ Isaac Chavel, Isoperimetric inequalities, Cambridge University Press, 2001 
    


35. 
    ^ Capogna, L.; Danielli, D.,; Pauls, S.D.; Tyson, J., An Introduction to the Heisenberg Group and the Sub-Riemannian Isoperimetric Problem, Progress in Mathematics, Birkhäuser, 2007 , Chapter 7.
    


36. 
    ^ Talenti, Giorgio, Best constant in Sobolev inequality, Annali di Matematica Pura ed Applicata: 353–372, ISSN 1618-1891, doi:10.1007/BF02418013 
    


37. 
    ^ L. Esposito; C. Nitsch; C. Trombetti, Best constants in Poincaré inequalities for convex domains, arXiv:1110.2960 
    


38. 
    ^ M Del Pino; J Dolbeault, Best constants for Gagliardo–Nirenberg inequalities and applications to nonlinear diffusions, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2002, 81 (9): 847–875, doi:10.1016/s0021-7824(02)01266-7 
    


39. 
    ^ Gerald Folland, Harmonic analysis in phase space, Princeton University Press: 5, 1989 
    


40. 
    ^ Howe 1980
    


41. 
    ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971，第106–107, 744, 748页
    


42. 
    ^ Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley, 1968, pp 174–190.
    


43. 
    ^ H Dym; H P McKean, Fourier series and integrals, Academic Press, 1972 ; Section 2.7
    


44. 
    ^ Elias Stein; Guido Weiss, Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press: 6, 1971 ; Theorem 1.13.
    


45. 
    ^ Petrie, W.M.F. Wisdom of the Egyptians (1940)
    


46. 
    ^ Verner, Miroslav. The Pyramids: The Mystery, Culture, and Science of Egypt's Great Monuments. Grove Press. 2001 (1997). ISBN 0-8021-3935-3
    


47. 
    ^ Rossi, Corinna Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press. 2007. ISBN 978-0-521-69053-9.
    


48. 
    ^ Legon, J. A. R. On Pyramid Dimensions and Proportions (1991) Discussions in Egyptology (20) 第25-34页 [1]
    


49. 
    ^ "We can conclude that although the ancient Egyptians could not precisely define the value of π, in practice they used it". Verner, M. The Pyramids: Their Archaeology and History. 2003. ，第70页。
    Petrie. Wisdom of the Egyptians. 1940. ，第30页。
    参见Legon, J. A. R. On Pyramid Dimensions and Proportions. Discussions in Egyptology. 1991, 20: 第25–34页. .
    参见Petrie, W. M. F. Surveys of the Great Pyramids. Nature. 1925, 116 (2930期): 第942页. Bibcode:1925Natur.116..942P. doi:10.1038/116942a0. 
    


50. 
    ^ Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, 2004, 第60-70页，200, ISBN 9780521829540.
    
    对此的怀疑：Shermer, Michael（英语：Michael Shermer）, The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, 第407-408页, ISBN 9781576076538.
    
    参见Fagan, Garrett G., Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 9780415305938.
    
    若需要一个没有π参与的解释的列表，请见Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. 2000: 第67–77页，第165–166页 [2013-06-05]. ISBN 9780889203242. 
    


51. 
    ^ Chaitanya, Krishna. A profile of Indian culture. Indian Book Company (1975). 第133页。
    


52. 
    ^ The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central. Mathworks.com. [2013-03-12]. 
    


53. 
    ^ Boyer & Merzbach 1991，第168页
    


54. 
    ^ Arndt & Haenel 2006，第15–16, 175, 184–186, 205页Grienberger在1630年已計算到39位小數，Sharp在1699年計算到71位小數
    


55. 
    ^ 《周髀算經》注中， 趙爽指出「圓徑一而周三，方徑一而匝四」。
    


56. 
    ^ ^56.056.1 Boyer & Merzbach 1991，第202页
    


57. 
    ^ 此零非彼O. 臺灣商務印書館. 2006: 286. ISBN 978-957-05-2072-9. 
    


58. 
    ^ Azarian, Mohammad K. al-Risāla al-muhītīyya: A Summary. Missouri Journal of Mathematical Sciences. 2010, 22 (2): 64–85. 
    


59. 
    ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi. MacTutor History of Mathematics archive. 1999 [2012-08-11]. 
    


60. 
    ^ ^60.060.160.2 Arndt & Haenel 2006，第182页
    


61. 
    ^ Grienbergerus, Christophorus. Elementa Trigonometrica (PDF). 1630. （原始内容 (PDF)存档于2014-02-01） （拉丁语）. 。其計算結果是3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199
    


62. 
    ^ Roy 1990，第101–102页
    


63. 
    ^ ^63.063.163.2 Roy 1990，第101–102页
    


64. 
    ^ Joseph 1991，第264页
    


65. 
    ^ ^65.065.1 Arndt & Haenel 2006，第188页. 牛顿由Arndt引用。
    


66. 
    ^ A060294
    


67. 
    ^ ^67.067.1 Eymard & Lafon 1999，第53–54页
    


68. 
    ^ ^68.068.1 Borwein, J. M.; Borwein, P. B. Ramanujan and Pi. Scientific American. 1988, 256 (2): 112–117. Bibcode:1988SciAm.258b.112B. doi:10.1038/scientificamerican0288-112. 
    


69. 
    ^ Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Dilcher, K. Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions. American Mathematical Monthly. 1989, 96 (8): 681–687. doi:10.2307/2324715. 
    


70. 
    ^ Arndt & Haenel 2006，第223页, (formula 16.10). Note that (n − 1)n(n + 1) = n³ − n.
    Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers revised. Penguin. 1997: 35. ISBN 978-0-140-26149-3. 
    


71. 
    ^ ^71.071.1 Posamentier & Lehmann 2004，第284页
    


72. 
    ^ Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in Berggren，Borwein & Borwein（1997），第129–140页
    


73. 
    ^ Hardy and Wright 1938 and 2000:177 footnote §11.13-14 references Lindemann's proof as appearing at Math. Ann. 20 (1882), 213-25.
    


74. 
    ^ cf Hardy and Wright 1938 and 2000:177 footnote §11.13-14. The proofs that e and π are transcendental can be found on pages 170-176. They cite two sources of the proofs at Landau 1927 or Perron 1910; see the "List of Books" at pages 417-419 for full citations.
    


75. 
    ^ Arndt & Haenel 2006，第165页. A facsimile of Jones' text is in Berggren，Borwein & Borwein（1997），第108–109页
    


76. 
    ^ 參考 Schepler 1950，第220页： 威廉·奥特雷德用字母π來表示一個圓的周長
    


77. 
    ^ Arndt & Haenel 2006，第197页。参见 Reitwiesner 1950.
    


78. 
    ^ Arndt & Haenel 2006，第第111页（5 倍）；第113–114（4 倍）页.
    具体算法情参见 Borwein & Borwein 1987。
    


79. 
    ^ ^79.079.179.2 Bailey, David H. Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation (PDF). 2003-05-16 [2012-04-12]. 
    


80. 
    ^ Arndt & Haenel 2006，第17页“39 digits of π are sufficient to calculate the volume of the universe to the nearest atom.”（中文：39位π已经足以计算宇宙到其最近的原子的体积了。）
    鉴于人们需要一些额外的数位来解决捨入誤差的问题，阿恩特称几百位小数足以应付任何科学计算了。
    


81. 
    ^ Schudel, Matt. John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi. The Washington Post. 2009-03-25: B5. 
    


82. 
    ^ Connor, Steve. The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?. The Independent (London). 2010-01-08 [2012-04-14]. 
    


83. 
    ^ Eymard & Lafon 1999，第254页
    


84. 
    ^ Fabrice Bellard. Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer - Semantic Scholar. www.semanticscholar.org. 2010-02-11 [2017-04-10]. 
    


85. 
    ^ ^85.085.1 Pi - 12.1 Trillion Digits. www.numberworld.org. [2012-05-30]. 
    


86. 
    ^ PSLQ即Partial Sum of Least Squares，偏最小二乘和。
    


87. 
    ^ Plouffe, Simon. Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2) (PDF). 2006-04 [2009-04-10]. 
    


88. 
    ^ 苏淳, 概率论 2nd, 北京: 科学出版社: 41, 2010 
    


89. 
    ^ 苏淳, 概率论 2nd, 北京: 科学出版社: 34–35,41, 2010 
    


90. 
    ^ Posamentier & Lehmann 2004，第105页
    


91. 
    ^ Random Walk--1-Dimensiona, Wolfram Math World 
    


92. 
    ^ Grünbaum, B., Projection Constants, Trans. Amer. Math. Soc., 1960, 95: 451–465 
    


93. 
    ^ Posamentier & Lehmann 2004，第105–108页
    


94. 
    ^ ^94.094.1 Gibbons, Jeremy, "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi", 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.
    


95. 
    ^ Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan. A spigot algorithm for the digits of Pi. American Mathematical Monthly. 1995-03, 102 (3): 195–203. doi:10.2307/2975006.  A computer program has been created that implements Wagon's spigot algorithm in only 120 characters of software.
    


96. 
    ^ Bailey, David H; Borwein, Peter B; and Plouffe, Simon. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants (PDF). Mathematics of Computation. 1997-04, 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. 
    


97. 
    ^ Arndt & Haenel 2006，第128页。普勞夫有找到十進制的位數萃取演算法，但其速度比完整計算之前所有位數要慢。
    


98. 
    ^ Bellards formula in: Bellard, Fabrice. A new formula to compute the n^th binary digit of pi. [2007-10-27]. （原始内容存档于2007-09-12）. 
    


99. 
    ^ Palmer, Jason. Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit. BBC News. 2010-09-16 [2011-03-26]. 
    


100. 
     ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971，第200, 209页
     


101. 
     ^ 埃里克·韦斯坦因. Semicircle. MathWorld. 
     


102. 
     ^ ^102.0102.1 Ayers 1964，第60页
     


103. 
     ^ ^103.0103.1 Bronshteĭn & Semendiaev 1971，第210–211页
     


104. 
     ^ Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry 3, Publish or Perish Press, 1999 ; Chapter 6.
     


105. 
     ^ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry Vol. 2 New, Wiley Interscience: 293, 1996 ; Chapter XII Characteristic classes
     


106. 
     ^ H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.
     


107. 
     ^ Yeo, Adrian, The pleasures of pi, e and other interesting numbers, World Scientific Pub., 2006, p 21, ISBN 978-981-270-078-0.
     
     Ehlers, Jürgen, Einstein's Field Equations and Their Physical Implications, Springer, 2000, p 7, ISBN 978-3-540-67073-5.
     


108. 
     ^ Lars Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill: 115, 1966 
     


109. 
     ^ 埃里克·韦斯坦因. Cauchy Integral Formula. MathWorld. 
     


110. 
     ^ Joglekar, S. D., Mathematical Physics, Universities Press, 2005, p 166, ISBN 978-81-7371-422-1.
     


111. 
     ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971，第191–192页
     


112. 
     ^ 埃米爾·阿廷, The gamma function, Athena series; selected topics in mathematics 1st, Holt, Rinehart and Winston, 1964 
     


113. 
     ^ Lawrence Evans, Partial differential equations, AMS: 615, 1997 。
     


114. 
     ^ Bronshteĭn & Semendiaev 1971，第190页
     


115. 
     ^ Benjamin Nill; Andreas Paffenholz, On the equality case in Erhart's volume conjecture, Advances in Geometry, 2014, 14 (4): 579–586, ISSN 1615-7168, arXiv:1205.1270, doi:10.1515/advgeom-2014-0001 
     


116. 
     ^ 此理论由Ernesto Cesàro于1881年证明. For a more rigorous proof than the intuitive and informal one given here, see Hardy, G. H., An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, theorem 332.
     


117. 
     ^ Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T., Excursions in Number Theory, Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.
     


118. 
     ^ Vladimir Platonov; Andrei Rapinchuk, Algebraic groups and number theory, Academic Press: 262&endash;265, 1994 
     


119. 
     ^ Sondow, J., Analytic Continuation of Riemann's Zeta Function and Values at Negative Integers via Euler's Transformation of Series, Proc. Amer. Math. Soc., 1994, 120: 421–424, doi:10.1090/s0002-9939-1994-1172954-7 
     


120. 
     ^ T. Friedmann; C.R. Hagen. Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for pi. Journal of Mathematical Physics. 2015, 56 (11). arXiv:1510.07813. doi:10.1063/1.4930800. 
     


121. 
     ^ Tate, John T., Fourier analysis in number fields, and Hecke's zeta-functions, Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, Washington, D.C.: 305–347, 1950, ISBN 978-0-9502734-2-6, MR 0217026 
     


122. 
     ^ H Dym; H P McKean, Fourier series and integrals, Academic Press, 1972 ; Chapter 4
     


123. 
     ^ ^123.0123.1 Mumford, David, Tata Lectures on Theta I, Boston: Birkhauser: 1–117, 1983, ISBN 3-7643-3109-7 
     


124. 
     ^ Sidney Port; Charles Stone, Brownian motion and classical potential theory, Academic Press: 29, 1978 
     


125. 
     ^ * Titchmarsh, E, Introduction to the theory of Fourier integrals 2nd, Oxford University: Clarendon Press, 1948 (1986), ISBN 978-0-8284-0324-5 .
     


126. 
     ^ Stein, Elias, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press, 1970 ; Chapter II.
     


127. 
     ^ ^127.0127.1 Klebanoff, Aaron. Pi in the Mandelbrot set (PDF). Fractals. 2001, 9 (4): 393–402 [2012-04-14]. doi:10.1142/S0218348X01000828. （原始内容 (PDF)存档于2012-04-06）. 
     


128. 
     ^ Peitgen, Heinz-Otto, Chaos and fractals: new frontiers of science, Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-387-20229-7.
     


129. 
     ^ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl, Fundamentals of Physics, 5th Ed., John Wiley & Sons, 1997, p 381, ISBN 0-471-14854-7.
     


130. 
     ^ Imamura, James M. Heisenberg Uncertainty Principle. University of Oregon. 2005-08-17 [2007-09-09]. （原始内容存档于2007-10-12）. 
     


131. 
     ^ C. Itzykson, J-B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, 1980.
     


132. 
     ^ Low, Peter, Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation, CUP Archive, 1971, pp 116–118, ISBN 978-0-521-08089-7.
     


133. 
     ^ Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, p 233, ISBN 0-521-66396-2.
     


134. 
     ^ Hans-Henrik Stølum. River Meandering as a Self-Organization Process. Science. 1996-03-22, 271 (5256): 1710–1713. Bibcode:1996Sci...271.1710S. doi:10.1126/science.271.5256.1710. 
     


135. 
     ^ Posamentier & Lehmann 2004，第140–141页
     


136. 
     ^ "Most Pi Places Memorized", Guinness World Records.
     


137. 
     ^ Otake, Tomoko. How can anyone remember 100,000 numbers?. The Japan Times. 2006-12-17 [2007-10-27]. 
     


138. 
     ^ Raz, A.; Packard, M. G. A slice of pi: An exploratory neuroimaging study of digit encoding and retrieval in a superior memorist. Neurocase. 2009, 15: 361–372. PMC 4323087. PMID 19585350. doi:10.1080/13554790902776896. 
     


139. 
     ^ Keith, Mike. Cadaeic Cadenza Notes & Commentary. [2009-07-29]. 
     


140. 
     ^ Keith, Michael. Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for 10000 decimals. Vinculum Press. 2010-02-17. ISBN 978-0963009715. 
     


141. 
     ^ Pickover, Clifford A., Keys to Infinity, Wiley & Sons: 59, 1995, ISBN 9780471118572 
     


142. 
     ^ Peterson, Ivars, Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles, MAA spectrum, Mathematical Association of America: 17, 2002, ISBN 9780883855379 
     


143. 
     ^ BBC documentary "The Story of Maths", second part, showing a visualization of the historically first exact formula, starting at 35 min and 20 sec into the second part of the documentary.
     


144. 
     ^ Posamentier & Lehmann 2004，第118页
     


145. 
     ^ Arndt & Haenel 2006，第14页这部分情节在改编的电影《超時空接觸》中省略。
     


146. 
     ^ Gill, Andy. Review of Aerial. The Independent. 2005-11-04. the almost autistic satisfaction of the obsessive-compulsive mathematician fascinated by 'Pi' (which affords the opportunity to hear Bush slowly sing vast chunks of the number in question, several dozen digits long) 
     


147. 
     ^ Pi Day activities.
     


148. 
     ^ MIT cheers. Retrieved 12 April 2012.
     


149. 
     ^ Happy Pi Day! Watch these stunning videos of kids reciting 3.14. USAToday.com. 2015-03-14 [2015-03-14]. 
     


150. 
     ^ Google's strange bids for Nortel patents. FinancialPost.com. Reuters. 2011-07-05 [2011-08-16]. 
     


151. 
     ^ Eagle, Albert. The Elliptic Functions as They Should be: An Account, with Applications, of the Functions in a New Canonical Form. Galloway and Porter, Ltd. 1958: ix. 
     


152. 
     ^ Sequence A019692
     


153. 
     ^ Abbott, Stephen. My Conversion to Tauism (PDF). Math Horizons. 2012-04, 19 (4): 34. doi:10.4169/mathhorizons.19.4.34. 
     


154. 
     ^ Palais, Robert. π Is Wrong! (PDF). The Mathematical Intelligencer. 2001, 23 (3): 7–8. doi:10.1007/BF03026846. 
     


155. 
     ^ Tau Day: Why you should eat twice the pie – Light Years – CNN.com Blogs
     


156. 
     ^ Life of pi in no danger – Experts cold-shoulder campaign to replace with tau. Telegraph India. 2011-06-30. 
     


157. 
     ^ Posamentier & Lehmann 2004，第36–37页
     


158. 
     ^ Hallerberg, Arthur. Indiana's squared circle. Mathematics Magazine. 1977-03, 50 (3): 136–140. JSTOR 2689499. doi:10.2307/2689499. 
     

来源

.mw-parser-output .refbegin{font-size:90%;margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul{list-style-type:none;margin-left:0}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li,.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>dl>dd{margin-left:0;padding-left:3.2em;text-indent:-3.2em;list-style:none}.mw-parser-output .refbegin-100{font-size:100%}

• 
  Arndt, Jörg; Haenel, Christoph. Pi Unleashed. Springer-Verlag. 2006 [2013-06-05]. ISBN 978-3-540-66572-4.  English translation by Catriona and David Lischka.


• 
  Ayers, Frank. Calculus. McGraw-Hill. 1964. ISBN 978-0-070-02653-7. 
  


• 
  Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter. Pi: a Source Book. Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-20571-7. 
  


• 
  Beckmann, Peter. History of Pi. St. Martin's Press. 1989 [1974]. ISBN 978-0-88029-418-8. 
  


• 
  Borwein, Jonathan; Borwein, Peter. Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley. 1987. ISBN 978-0-471-31515-5. 
  


• 
  Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. A History of Mathematics 2. Wiley. 1991. ISBN 978-0-471-54397-8. 
  


• 
  Bronshteĭn, Ilia; Semendiaev, K. A. A Guide Book to Mathematics（英语：A Guide Book to Mathematics）. Verlag Harri Deutsch. 1971. ISBN 978-3-871-44095-3. 
  


• 
  Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre. The Number Pi. American Mathematical Society. 1999. ISBN 978-0-8218-3246-2. , English translation by Stephen Wilson.


• 
  Howe, Roger, On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, Bulletin of the American Mathematical Society（英语：Bulletin of the American Mathematical Society）, 1980, 3 (2) .


• 
  Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Princeton University Press. 1991 [2013-06-05]. ISBN 978-0-691-13526-7. 
  


• 
  Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar. Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. 2004. ISBN 978-1-59102-200-8. 
  


• 
  Reitwiesner, George. An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places. Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 1950, 4 (29): 11–15. doi:10.2307/2002695. 
  


• 
  Roy, Ranjan. The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha. Mathematics Magazine. 1990, 63 (5): 291–306. doi:10.2307/2690896. 
  


• 
  Schepler, H. C. The Chronology of Pi. Mathematics Magazine (Mathematical Association of America). 1950, 23 (3): 165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun). doi:10.2307/3029284. . issue 3 Jan/Feb, issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun
  


• 
  Thompson, William, Isoperimetrical problems, Nature series: Popular lectures and addresses (MacMillan and Company), 1894, II: 571–592 
  

延伸閱讀

• 
  Blatner, David. The Joy of Pi. Walker & Company. 1999. ISBN 978-0-8027-7562-7. 
  


• 
  Borwein, Jonathan; Borwein, Peter. The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions. SIAM Review. 1984, 26 (3): 351–365. doi:10.1137/1026073. 
  


• 
  Borwein, Jonathan; Borwein, Peter; Bailey, David H. Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi. The American Mathematical Monthly. 1989, 96 (3): 201–219. JSTOR 2325206. doi:10.2307/2325206. 
  


• Chudnovsky, David V. and Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", in Ramanujan Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp 375–396, 468–472


• Cox, David A., "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss", L' Ensignement Mathematique, 30(1984) 275–330


• Delahaye, Jean-Paul, "Le Fascinant Nombre Pi", Paris: Bibliothèque Pour la Science (1997) ISBN 2902918259
  


• 
  Engels, Hermann. Quadrature of the Circle in Ancient Egypt. Historia Mathematica. 1977, 4 (2): 137–140. doi:10.1016/0315-0860(77)90104-5. 
  


• 
  Euler, Leonhard, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in Introduction to Analysis of the Infinite. Book I, translated from the Latin by J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp 137–153


• Hardy, G. H. and Wright E. M., An Introduction to the Theory of Numbers first published 1938, fifth Edition 1979 with additions 2000, Clarendon Press, Oxford U.K.


• Heath, T. L., The Works of Archimedes, Cambridge, 1897; reprinted in The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98


• 
  Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp 384–388


• 
  Lay-Yong, Lam; Tian-Se, Ang. Circle Measurements in Ancient China. Historia Mathematica. 1986, 13 (4): 325–340. doi:10.1016/0315-0860(86)90055-8. 
  


• 
  Lindemann, Ferdinand. Ueber die Zahl pi. Mathematische Annalen. 1882, 20 (2): 213–225. doi:10.1007/bf01446522. （原始内容存档于2015-01-22）. 
  


• 
  Matar, K. Mukunda; Rajagonal, C. On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan). Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society. 1944, 20: 77–82. 
  


• 
  Niven, Ivan, "A Simple Proof that pi Is Irrational", Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7 (July 1947), 507


• 
  Ramanujan, Srinivasa, "Modular Equations and Approximations to π", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, XLV, 1914, 350–372. Reprinted in G.H. Hardy, P.V. Seshu Aiyar, and B. M. Wilson (eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1927 (reprinted 2000), pp 23–29


• 
  Shanks, William（英语：William Shanks）, Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10


• 
  Shanks, Daniel; Wrench, John William. Calculation of pi to 100,000 Decimals. Mathematics of Computation. 1962, 16 (77): 76–99. doi:10.1090/s0025-5718-1962-0136051-9. 
  


• Tropfke, Johannes, Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung (The history of elementary mathematics), BiblioBazaar, 2009 (reprint), ISBN 978-1-113-08573-3
  


• 
  Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (reprint), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398–401, 436–446


• 
  Wagon, Stan（英语：Stan Wagon）, "Is Pi Normal?", The Mathematical Intelligencer, 7:3(1985) 65–67


• 
  Wallis, John, Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata, Oxford 1655–6. Reprinted in vol. 1 (pp 357–478) of Opera Mathematica, Oxford 1693


• Zebrowski, Ernest, A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe, Rutgers University Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4
  

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：圓周率

• 
  开放式目录计划中和Digits of Pi相关的内容


• Wolfram Mathworld上的「Pi」
  


• 
  Wolfram Alpha上的Representations of Pi
  


• 
  Pi搜尋引擎：可搜尋π、√2和e的20億位


• 
  Eaves, Laurence. π – Pi. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham. 2009. 
  


• 
  Grime, Dr. James. Pi is Beautiful – Numberphile. Numberphile. Brady Haran. 2014. 
  


• Demonstration by Lambert (1761) of irrationality of π, online and analyzed BibNum (PDF).


• 尋找π值的計畫


• 前1.2百萬位元中的部分資料


• 將π前一萬位元化作音樂旋律


• 
  SuperPI 計算π值的軟體，電腦硬體玩家常用來測試電腦運算速度（日文）


• 計算圓周率


• 
  PiFast 個人電腦上最快的計算π值軟體，是個人電腦計算π值紀錄保持軟體。


• 
  用大炮求圓周率：以蒙特卡羅演算法，利用圓的面積求圓周率。


• 展示将π值计算到10万位的一个网站

查 论 编 几何学术语 點 頂點 交點 中點 角 直線和曲線 線段 射線 直線 切線 法线 曲線 圓錐曲線 双曲线 抛物线 螺線 邊 周界 弦 弧 垂直平分線 平面圖形 圓 橢圓 扇形 弓形 多邊形 三角形 四邊形 五边形 六边形 梯形 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 鷂形 卵形线 立體圖形 多面體 正多面體 四面体 長方體 立方體 平行六面体 棱柱 反棱柱 棱錐 圓柱體 圓錐 圓台 橢球 球體 球缺 球冠 球台 二次曲面 抛物面 雙曲面 圖形關係 相似 全等 对称 平行 垂直 相交 相切 镜像 旋转 反演 三角形關係 相似三角形 全等三角形 量 距離 長度 周长 弧长 高度 面積 表面積 體積 容積 角度 作圖 尺 直尺 三角尺 圓規 尺規作圖 二刻尺作图 理論 定理 公理 定义 證明 分类 主题 共享资源 专题

规范控制 GND: 4174646-6 LCCN: sh85101712 NDL: 00562015

This page is only for reference, If you need detailed information, please check here