凹函数

在數學當中，凹函數是和凸函数相對的函數。

目录

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  1 定義
  


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  2 性質
  


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  3 例子
  


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  4 教材失误
  


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  5 参见
  

定義

我们称一個有實值函數f在某區間（或者某個向量空間中的凹集）上是凹的，如果对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

f(tx+(1−t)y)≥tf(x)+(1−t)f(y).{displaystyle f(tx+(1-t)y)geq tf(x)+(1-t)f(y).}

某函數f:R→R，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z, f(z) )是在以點(x, f(x) ) and (y, f(y) )連成的直線之上。

性質

如果一個可微函數f{displaystyle f}它的導數f′{displaystyle f'}在某區間是單調下跌的，f{displaystyle f}就是凹的：一個凹函數擁有一個下跌的斜率（當中下跌只是代表非上升而不是嚴謹的下跌，也代表這容許零斜率的存在。）

如果一個二次可微的函數f{displaystyle f}，它的二階導數f″(x){displaystyle f''(x)}是正值（或者說它有一個正值的加速度），那麼它的圖像是凸的；如果二階導數f″(x){displaystyle f''(x)}是負值，圖像就會是凹的。當中如果某點轉變了圖像的凹凸性，這就是一個拐點。

如果凸函數（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的極小值。如果凹函數有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函數的極大值。

如果f(x){displaystyle f(x)}是二次可微的，那麼f(x){displaystyle f(x)}就是凹的若且唯若f″(x){displaystyle f''(x)}是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴謹凹函數，但相反而言又不一定正確，例如當f(x)=−x4{displaystyle f(x)=-x^{4}}。
如果f{displaystyle f}是凹的也是可微的，那麼

f(y)≤f(x)+f′(x)[y−x]{displaystyle f(y)leq f(x)+f'(x)[y-x]}

一個在C{displaystyle mathbb {C} }的連續函數是凹的若且唯若对于任意属于C{displaystyle mathbb {C} }的x和y，有

f(x+y2)≥f(x)+f(y)2{displaystyle fleft({frac {x+y}{2}}right)geq {frac {f(x)+f(y)}{2}}}

例子

• 函數f(x)=−x2{displaystyle f(x)=-x^{2}} 和 f(x)=x{displaystyle f(x)={sqrt {x}}}都是凹函數因為它們的二階導數永遠都是一個負值。


• 任何線性函數f(x)=ax+b{displaystyle f(x)=ax+b}既是凸函數也是凹函數。


• 函數f(x)=sin⁡(x){displaystyle f(x)=sin(x)}在區間[0,π]{displaystyle [0,pi ]}是凹的。


• 函數log⁡|B|{displaystyle log |B|}是一個凹函數，當中|B|{displaystyle |B|}是一個有定義矩陣的行列式。

教材失误

注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

参见

• 凸函数

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