结构常数

群论中的结构常数是定义在李群上的一组常数。它们决定了该李群的李代数的元素之间的李括号（对易关系）。反过来，给定一组满足某些性质的常数，就一定存在以它们为结构常数的局部李群。

目录

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  1 定义
  


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  2 性质
  


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  3 参考资料
  


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  4 外部链接
  

定义

给定r{displaystyle r}维李群G{displaystyle G}上的r{displaystyle r}个线性无关的右不变向量场Xi(1≤i≤r){displaystyle X_{i}(1leq ileq r)}，它们构成了G{displaystyle G}的李代数的一组基底。设

[Xi,Xj]=CijkXk{displaystyle [X_{i},X_{j}]=C_{ij}^{k}X_{k}}，

其中[,]{displaystyle [,]}表示李括号。可以证明Cijk{displaystyle C_{ij}^{k}}是一组常数，它们称为李群G{displaystyle G}的结构常数。

性质

李群G{displaystyle G}的结构常数满足反对称性

Cijk=−Cjik{displaystyle C_{ij}^{k}=-C_{ji}^{k}}，

以及Jacobi恒等式

CijkClmi+CilkCmji+CimkCjli=0{displaystyle C_{ij}^{k}C_{lm}^{i}+C_{il}^{k}C_{mj}^{i}+C_{im}^{k}C_{jl}^{i}=0}。

反过来，如果有一组常数Cijk,1≤i,j,k≤r{displaystyle C_{ij}^{k},1leq i,j,kleq r}满足上述两条性质，那么一定存在一个局部李群以这组常数为结构常数。

参考资料

外部链接

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