渐近线

当曲线上一点M{displaystyle M}沿曲线无限远离原点时，如果M{displaystyle M}到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數y=f(x){displaystyle y=fleft(xright)}的圖形收斂，則漸近線為y=limx→∞f(x){displaystyle y=lim _{xto infty }fleft(xright)}，

目录

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  1 例解
  


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  2 求法
  
  
  
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    2.1 依据
    
  
  
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    2.2 例子
    
  
  
  
  

例解

例如，直线y=bax{displaystyle y={frac {b}{a}}x}是双曲线x2a2−y2b2=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}的渐近线，因为双曲线上的点M{displaystyle M}到直线y=bax{displaystyle y={frac {b}{a}}x}的距离MQ<MN{displaystyle MQ<MN}；当MN{displaystyle MN}无限趋近于0时，MQ{displaystyle MQ}也无限趋近于0。所以按照定义，直线y=bax{displaystyle y={frac {b}{a}}x}是该双曲线的渐近线。同理，直线y=−bax{displaystyle y=-{frac {b}{a}}x}也是该双曲线的渐近线。

对于F(x,y)=0{displaystyle Fleft(x,yright)=0}来说，如果当x→a{displaystyle xrightarrow a}时，有y→±∞{displaystyle yrightarrow pm infty }(左右極限不一定相等)，就把x=a{displaystyle x=a}叫做F(x,y)=0{displaystyle Fleft(x,yright)=0}的垂直渐近线；如果当x→∞{displaystyle xrightarrow infty }时，有y→b{displaystyle yrightarrow b}，就把y=b{displaystyle y=b}叫做F(x,y)=0{displaystyle Fleft(x,yright)=0}的水平渐近线。例如，y=3{displaystyle y=3}是曲线xy=3x+2{displaystyle xy=3x+2}的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限limx→∞f(x)x=a{displaystyle lim _{xto infty }{frac {f(x)}{x}}=a}存在，且极限limx→+∞[f(x)−ax]=b{displaystyle lim _{xto +infty }left[fleft(xright)-axright]=b}也存在，那么曲线y=f(x){displaystyle y=fleft(xright)}具有渐近线y=ax+b{displaystyle y=ax+b}。

例子

例：求y=x21+x{displaystyle y={frac {x^{2}}{1+x}}}的渐近线。

解：(1)x=−1{displaystyle x=-1}为其垂直渐近线。

(2)limx→∞f(x)x=limx→∞x1+x{displaystyle lim _{xto infty }{frac {fleft(xright)}{x}}=lim _{xto infty }{frac {x}{1+x}}}，即a=1{displaystyle a=1}；

limx→∞[f(x)−ax]=limx→∞−x1+x=−1{displaystyle lim _{xto infty }left[fleft(xright)-axright]=lim _{xto infty }{frac {-x}{1+x}}=-1}，即b=−1{displaystyle b=-1}；

所以y=x−1{displaystyle y=x-1}也是其渐近线。

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