Mixing
对称双线性形式
对称双线性形式是在向量空间上的对称双线性形式。它们在正交极性和二次曲面的研究中非常重要。
目录
1 定义
2 矩阵表示
3 正交性和奇异性
4 正交基
4.1 西尔维斯特惯性定理与惯性指数
4.2 实数情况
4.3 复数情况
5 正交极性
6 參考文獻
定义
设 V 在域 K 上的 n 维向量空间。映射 B:V×V→K:(u,v)→B(u,v){displaystyle B:Vtimes Vrightarrow K:(u,v)rightarrow B(u,v)}
- B(u,v)=B(v,u) ∀u,v∈V{displaystyle B(u,v)=B(v,u) quad forall u,vin V}
- B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w) ∀u,v,w∈V{displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w) quad forall u,v,win V}
- B(λv,w)=λB(v,w) ∀λ∈K,∀v,w∈V{displaystyle B(lambda v,w)=lambda B(v,w) quad forall lambda in K,forall v,win V}
最后两个公理只蕴涵在第一个参数中的线性，但是第一个公理直接蕴涵了在第二个参数中的线性。
矩阵表示
设 C={e1,…,en}{displaystyle C={e_{1},ldots ,e_{n}}}
xTAy=yTAx{displaystyle x^{T}Ay=y^{T}Ax,}。
假设 C' 是 V 的另一个基，有着可逆的 n×n{displaystyle ntimes n}
[e1′⋯en′]=[e1⋯en]S{displaystyle {begin{bmatrix}e'_{1}&cdots &e'_{n}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}e_{1}&cdots &e_{n}end{bmatrix}}S}
A′=STAS{displaystyle A'=S^{T}AS,}。
正交性和奇异性
对称双线性形式总是自反的。定义两个向量 v 和 w 是关于双线性形式 B 是正交的，如果 B(v,w)=0{displaystyle B(v,w)=0}
双线性形式 B 的根是正交于 V 中所有其他向量的向量的集合。你可以轻易查出它是 V 的子空间。在使用关于特定基的矩阵表示 A 的时候，由 x 表示的 v 在根中，当且仅当
- Ax=0⟺xTA=0.{displaystyle Ax=0Longleftrightarrow x^{T}A=0.}
矩阵 A 是奇异的，当且仅当根是不平凡的。
如果 W 是 V 的子空间，则正交于 W 中所有向量的集合 W⊥{displaystyle W^{perp }}
正交基
基 C={e1,…,en}{displaystyle C={e_{1},ldots ,e_{n}}}
- B(ei,ej)=0 ∀i≠j.{displaystyle B(e_{i},e_{j})=0 forall ineq j.}
在域的特征不是2的时候，总存在正交基。这可以通过归纳法证明。
基 C 是正交的，当且仅当矩阵表示 A 是对角矩阵。
西尔维斯特惯性定理与惯性指数
一般情况下，西尔维斯特发现的惯性定理声称，在K为有序域的时候，简化后的二次型的矩阵表示中的对角元素等于 0、正或负的数目独立于正交基的选择。后两个数被称为双线性形式的正、负惯性指数[1]。
实数情况
当工作于在实数上的空间的时候，可以走的远一点。
设 C={e1,…,en}{displaystyle C={e_{1},ldots ,e_{n}}}
我们定义一个新基 C′={e1′,…,en′}{displaystyle C'={e'_{1},ldots ,e'_{n}}}
- ei′={eiif B(ei,ei)=0eiB(ei,ei)if B(ei,ei)>0ei−B(ei,ei)if B(ei,ei)<0{displaystyle e'_{i}=left{{begin{matrix}e_{i}&{mbox{if }}B(e_{i},e_{i})=0\{frac {e_{i}}{sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{mbox{if }}B(e_{i},e_{i})>0\{frac {e_{i}}{sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{mbox{if }}B(e_{i},e_{i})<0end{matrix}}right.}
现在，新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0,1 和 -1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。
复数情况
当工作于在复数之上的空间中的时候，可以相当容易的走的更远一点。
设 C={e1,…,en}{displaystyle C={e_{1},ldots ,e_{n}}}
我们定义新的基 C′={e1′,…,en′}{displaystyle C'={e'_{1},ldots ,e'_{n}}}
- ei′={eiif B(ei,ei)=0ei/B(ei,ei)if B(ei,ei)≠0{displaystyle e'_{i}=left{{begin{matrix}e_{i}&{mbox{if }};B(e_{i},e_{i})=0\e_{i}/{sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{mbox{if }};B(e_{i},e_{i})neq 0\end{matrix}}right.}
现在新矩阵表示 A 将是在对角线上只有 0 和 1 的对角矩阵。零将出现当且仅当根是非平凡的。
正交极性
设 B 是双线性形式，它带有不同于 2 的特征的域 K 上的空间 V 上的根。现在可以定义从 V 的所有子空间的集合 D(V) 到自身的映射:
- α:D(V)→D(V):W↦W⊥{displaystyle alpha :D(V)rightarrow D(V):Wmapsto W^{perp }}
这个映射是在投影空间 PG(W) 上的正交极性。反过来说，你可以证明所有正交极性可以用这种方式引出，并且带有平凡根的两个对称双线性形式引发同样的极化，当且仅当它们差一個标量乘法。
參考文獻
^ [1][永久失效連結]
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