特殊酉群











群论

Rubik's cube.svg

群






















  • 查

  • 论

  • 编








李群

E8Petrie.svg





































  • 查

  • 论

  • 编



在数学中，n 阶特殊酉群（英语：special unitary group），记作 SU(n)，是行列式为1 的 n×n 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 n×n 酉矩阵组成的酉群 U(n) 的一个子群，酉群又是一般线性群 GL(n, C) 的一个子群。


群 SU(n) 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 SU(2) 在电弱相互作用与 SU(3) 在量子色动力学中。


最简单的情形 SU(1)，是平凡群，只有一个元素。群 SU(2) 同构于範數为 1 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 SU(2) 到旋转群 SO(3)，其核为 {+I,−I}{displaystyle {+I,-I}}{+I, -I}。




目录






  • 1 性质


  • 2 生成元


    • 2.1 基本表示


    • 2.2 伴随表示




  • 3 SU(2)


  • 4 SU(3)


  • 5 李代数


  • 6 广义特殊酉群


    • 6.1 例子




  • 7 重要子群


  • 8 相关条目


  • 9 注释


  • 10 参考文献


  • 11 外部链接





性质


特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。


SU(n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）：


[O^ij,O^kl]=δjkO^il−δilO^kj{displaystyle left[{hat {O}}_{ij},{hat {O}}_{kl}right]=delta _{jk}{hat {O}}_{il}-delta _{il}{hat {O}}_{kj}}left [ hat{O}_{ij} , hat{O}_{kl} right ] = delta_{jk} hat{O}_{il} - delta_{il} hat{O}_{kj}

另外，算子


N^=∑i=1nO^ii{displaystyle {hat {N}}=sum _{i=1}^{n}{hat {O}}_{ii}}hat{N} = sum_{i=1}^n hat{O}_{ii}

满足


[N^,O^ij]=0{displaystyle left[{hat {N}},{hat {O}}_{ij}right]=0}left [ hat{N}, hat{O}_{ij} right ] = 0

这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1[1]。



生成元


一般地，SU(n) 的无穷小生成元 T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即


  • tr⁡(Ta)=0,{displaystyle operatorname {tr} (T_{a})=0,,}operatorname{tr}(T_a) = 0 ,,

以及


  • Ta=Ta†.{displaystyle T_{a}=T_{a}^{dagger }.,} T_a = T_a^dagger .,


基本表示


在定义或基本表示中，由 n×n 矩阵表示的生成元是：



  • TaTb=12nδabIn+12∑c=1n2−1(ifabc+dabc)Tc{displaystyle T_{a}T_{b}={frac {1}{2n}}delta _{ab}I_{n}+{frac {1}{2}}sum _{c=1}^{n^{2}-1}{(if_{abc}+d_{abc})T_{c}},}T_a T_b = frac{1}{2n}delta_{ab}I_n + frac{1}{2}sum_{c=1}^{n^2 -1}{(if_{abc} + d_{abc}) T_c} ,

这里系数 f 是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 d 对所有指标都是对称的。


从而



  • [Ta,Tb]+=1nδab+∑c=1n2−1dabcTc{displaystyle left[T_{a},T_{b}right]_{+}={frac {1}{n}}delta _{ab}+sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}},}left[T_a, T_b right]_+ = frac{1}{n}delta_{ab} + sum_{c=1}^{n^2 -1}{d_{abc} T_c} ,

  • [Ta,Tb]−=i∑c=1n2−1fabcTc{displaystyle left[T_{a},T_{b}right]_{-}=isum _{c=1}^{n^{2}-1}{f_{abc}T_{c}},}left[T_a, T_b right]_- = i sum_{c=1}^{n^2 -1}{f_{abc} T_c} ,


我们也有


  • ∑c,e=1n2−1dacedbce=n2−4nδab{displaystyle sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={frac {n^{2}-4}{n}}delta _{ab},}sum_{c,e=1}^{n^2 -1}d_{ace}d_{bce}= frac{n^2-4}{n}delta_{ab} ,

作为一个正规化约定。



伴随表示


在伴随表示中，生成元表示由 (n2−1)×(n2−1){displaystyle (n^{2}-1)times (n^{2}-1)}(n^2-1) times (n^2-1) 矩阵表示，其元素由结构常数定义：


  • (Ta)jk=−ifajk{displaystyle (T_{a})_{jk}=-if_{ajk},} (T_a)_{jk} = -if_{ajk} ,


SU(2)


SU2⁡(C){displaystyle operatorname {SU} _{2}(mathbb {C} )}operatorname{SU}_2(mathbb{C}) 一个一般矩阵元素形如


U=(α−β¯βα¯){displaystyle U={begin{pmatrix}alpha &-{overline {beta }}\beta &{overline {alpha }}end{pmatrix}}}U = <br /> begin{pmatrix}<br /> alpha&-overline{beta}\<br /> beta&overline{alpha}<br /> end{pmatrix}

这里 α,β∈C{displaystyle alpha ,beta in mathbb {C} }alpha,betainmathbb{C} 使得 |α|2+|β|2=1{displaystyle |alpha |^{2}+|beta |^{2}=1}|alpha|^2 + |beta|^2 = 1。我们考虑如下映射 φ:C2→M⁡(2,C){displaystyle varphi :mathbb {C} ^{2}to operatorname {M} (2,mathbb {C} )}varphi : mathbb{C}^2 to operatorname{M}(2,mathbb{C})，（这里 M⁡(2,C){displaystyle operatorname {M} (2,mathbb {C} )}operatorname{M}(2,mathbb{C}) 表示 2×2 复矩阵集合），定义为


φ(α,β)=(α−β¯βα¯).{displaystyle varphi (alpha ,beta )={begin{pmatrix}alpha &-{overline {beta }}\beta &{overline {alpha }}end{pmatrix}}.}<br /> varphi(alpha,beta) =<br /> begin{pmatrix}<br /> alpha&-overline{beta}\<br /> beta&overline{alpha}<br /> end{pmatrix}.<br />

考虑到 C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}}mathbb{C}^2 微分同胚于 R4{displaystyle mathbb {R} ^{4}}mathbb{R}^4 和 M⁡(2,C){displaystyle operatorname {M} (2,mathbb {C} )}operatorname{M}(2,mathbb{C}) 同胚于 R8{displaystyle mathbb {R} ^{8}}mathbb{R}^8，我们可看到 φ{displaystyle varphi }varphi 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 φ{displaystyle varphi }varphi 限制在三维球面上，记作 S3{displaystyle S^{3}}S^3，我们可发现这是三维球面到 M⁡(2,C){displaystyle operatorname {M} (2,mathbb {C} )}operatorname{M}(2,mathbb{C}) 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 φ(S3)=SU2⁡(C){displaystyle varphi (S^{3})=operatorname {SU} _{2}(mathbb {C} )}varphi(S^3) = operatorname{SU}_2(mathbb{C})，作为一个流形微分同胚于 SU2⁡(C){displaystyle operatorname {SU} _{2}(mathbb {C} )}operatorname{SU}_2(mathbb{C})，使 SU2⁡(C){displaystyle operatorname {SU} _{2}(mathbb {C} )}operatorname{SU}_2(mathbb{C}) 成为一个紧连通李群。


现在考虑李代数 su2(C){displaystyle {mathfrak {su}}_{2}(mathbb {C} )}mathfrak{su}_2(mathbb{C})，一个一般元素形如


U′=(ix−β¯β−ix){displaystyle U'={begin{pmatrix}ix&-{overline {beta }}\beta &-ixend{pmatrix}}}<br /> U' = <br /> begin{pmatrix}<br /> ix & -overline{beta}\<br /> beta & -ix<br /> end{pmatrix}<br />

这里 x∈R{displaystyle xin mathbb {R} }x in mathbb{R} 以及 β∈C{displaystyle beta in mathbb {C} }beta in mathbb{C}。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成


u1=(0ii0)u2=(0−110)u3=(i00−i){displaystyle u_{1}={begin{pmatrix}0&i\i&0end{pmatrix}}qquad u_{2}={begin{pmatrix}0&-1\1&0end{pmatrix}}qquad u_{3}={begin{pmatrix}i&0\0&-iend{pmatrix}}}<br /> u_1 = begin{pmatrix}<br /> 0 & i\<br /> i & 0<br /> end{pmatrix}<br /> qquad<br /> u_2 = begin{pmatrix}<br /> 0 & -1\<br /> 1 & 0<br /> end{pmatrix}<br /> qquad<br /> u_3 = begin{pmatrix}<br /> i & 0\<br /> 0 & -i<br /> end{pmatrix}<br />

易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 u3u2=−u2u3=u1{displaystyle u_{3}u_{2}=-u_{2}u_{3}=u_{1}}u_3u_2 = -u_2u_3 = u_1 和 u2u1=−u1u2=u3{displaystyle u_{2}u_{1}=-u_{1}u_{2}=u_{3}}u_2u_1 = -u_1u_2 = u_3。从而交换子括号由


[u1,u3]=2u2,[u2,u1]=2u3,[u3,u2]=2u1.{displaystyle [u_{1},u_{3}]=2u_{2},qquad [u_{2},u_{1}]=2u_{3},qquad [u_{3},u_{2}]=2u_{1}.}<br /> [u_1,u_3]=2u_2, qquad [u_2,u_1] = 2u_3, qquad [u_3,u_2] = 2u_1.<br />

确定。上述生成元与泡利矩阵有关，u1=iσ1{displaystyle u_{1}=isigma _{1}}u_1 = isigma_1, u2=−iσ2{displaystyle u_{2}=-isigma _{2}}u_2 = -isigma_2 及 u3=iσ3{displaystyle u_{3}=isigma _{3}}u_3 = isigma_3。



SU(3)


SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为


Ta=λa2.{displaystyle T_{a}={frac {lambda _{a}}{2}}.,}T_a = frac{lambda_a}{2} .,

这里 λ{displaystyle lambda ,}lambda , 为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比：



















λ1=(010100000){displaystyle lambda _{1}={begin{pmatrix}0&1&0\1&0&0\0&0&0end{pmatrix}}}lambda_1 = begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}
λ2=(0−i0i00000){displaystyle lambda _{2}={begin{pmatrix}0&-i&0\i&0&0\0&0&0end{pmatrix}}}lambda_2 = begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \ i & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}
λ3=(1000−10000){displaystyle lambda _{3}={begin{pmatrix}1&0&0\0&-1&0\0&0&0end{pmatrix}}}lambda_3 = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}

λ4=(001000100){displaystyle lambda _{4}={begin{pmatrix}0&0&1\0&0&0\1&0&0end{pmatrix}}}lambda_4 = begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 end{pmatrix}
λ5=(00−i000i00){displaystyle lambda _{5}={begin{pmatrix}0&0&-i\0&0&0\i&0&0end{pmatrix}}}lambda_5 = begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \ 0 & 0 & 0 \ i & 0 & 0 end{pmatrix}
λ6=(000001010){displaystyle lambda _{6}={begin{pmatrix}0&0&0\0&0&1\0&1&0end{pmatrix}}}lambda_6 = begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 end{pmatrix}

λ7=(00000−i0i0){displaystyle lambda _{7}={begin{pmatrix}0&0&0\0&0&-i\0&i&0end{pmatrix}}}lambda_7 = begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -i \ 0 & i & 0 end{pmatrix}
λ8=13(10001000−2){displaystyle lambda _{8}={frac {1}{sqrt {3}}}{begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&-2end{pmatrix}}}lambda_8 = frac{1}{sqrt{3}} begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -2 end{pmatrix}

注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。


它们服从关系



  • [Ta,Tb]=i∑c=18fabcTc{displaystyle left[T_{a},T_{b}right]=isum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}},}left[T_a, T_b right] = i sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} ,

这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为

f123=1{displaystyle f^{123}=1,}f^{123} = 1 ,

f147=−f156=f246=f257=f345=−f367=12{displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={frac {1}{2}},}f^{147} = -f^{156} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = -f^{367} = frac{1}{2} ,

f458=f678=32{displaystyle f^{458}=f^{678}={frac {sqrt {3}}{2}},}f^{458} = f^{678} = frac{sqrt{3}}{2} ,




d 的取值：



d118=d228=d338=−d888=13{displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={frac {1}{sqrt {3}}},}d^{118} = d^{228} = d^{338} = -d^{888} = frac{1}{sqrt{3}} ,

d448=d558=d668=d778=−123{displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{frac {1}{2{sqrt {3}}}},}d^{448} = d^{558} = d^{668} = d^{778} = -frac{1}{2sqrt{3}} ,

d146=d157=−d247=d256=d344=d355=−d366=−d377=12{displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={frac {1}{2}},}d^{146} = d^{157} = -d^{247} = d^{256} = d^{344} = d^{355} = -d^{366} = -d^{377} = frac{1}{2} ,



李代数


SU(n){displaystyle mathrm {SU} (n)}mathrm{SU}(n) 对应的李代数记作 su(n){displaystyle {mathfrak {su}}(n)}mathfrak{su}(n)。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 n×n{displaystyle ntimes n}ntimes n 复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 i{displaystyle i}i，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 su(n){displaystyle {mathfrak {su}}(n)}mathfrak{su}(n) 是 R{displaystyle mathbb {R} }mathbb {R} 上一个李代数。


例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 su(2){displaystyle {mathfrak {su}}(2)}mathfrak{su}(2) 在 R{displaystyle mathbb {R} }mathbb {R} 上的一组基：



iσx=[0ii0]{displaystyle isigma _{x}={begin{bmatrix}0&i\i&0end{bmatrix}}}isigma_x = begin{bmatrix} 0 & i \ i & 0 end{bmatrix}

iσy=[01−10]{displaystyle isigma _{y}={begin{bmatrix}0&1\-1&0end{bmatrix}}}isigma_y = begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 end{bmatrix}

iσz=[i00−i]{displaystyle isigma _{z}={begin{bmatrix}i&0\0&-iend{bmatrix}}}isigma_z = begin{bmatrix} i & 0 \ 0 & -i end{bmatrix}


（这里 i{displaystyle i}i 是虚数单位。）


这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。


注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 i{displaystyle i}i）一起


iI2=[i00i]{displaystyle iI_{2}={begin{bmatrix}i&0\0&iend{bmatrix}}} i I_2 = begin{bmatrix} i & 0 \ 0 & i end{bmatrix}

它们也是 su(2){displaystyle {mathfrak {su}}(2)}mathfrak{su}(2) 的生成元。


当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。


注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 Cl3{displaystyle mathrm {Cl} _{3}}mathrm{Cl}_3，而在交换子括号下生成李代数 su(2){displaystyle {mathfrak {su}}(2)}mathfrak{su}(2)。


回到一般的 SU(n){displaystyle mathrm {SU} (n)}mathrm{SU}(n)：


如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 n×n{displaystyle ntimes n}ntimes n 矩阵子空间组成一个 n−1{displaystyle n-1}n-1 维嘉当子代数。


将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 n×n{displaystyle ntimes n}ntimes n 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 h{displaystyle mathrm {h} }mathrm{h} 只是 n−1{displaystyle n-1}n-1 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 i{displaystyle i}i 个基向量是在第 i{displaystyle i}i 个对角元素为 1{displaystyle 1}1 而在其它处为零的矩阵。则权由 n{displaystyle n}n 个坐标给出，而且在所有 n{displaystyle n}n 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。


故 SU(n){displaystyle mathrm {SU} (n)}mathrm{SU}(n) 的秩是 n−1{displaystyle n-1}n-1，它的邓肯图由 An−1{displaystyle A_{n-1}}A_{n - 1} 给出，有 n−1{displaystyle n-1}n-1 个顶点的链。


它的根系由 n(n−1){displaystyle n(n-1)}n(n - 1) 个根组成，生成一个 n−1{displaystyle n-1}n-1 欧几里得空间。这里，我们使用 n{displaystyle n}n 冗余坐标而不是 n−1{displaystyle n-1}n-1 坐标来强调根系的对称（n{displaystyle n}n 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 n−1{displaystyle n-1}n-1 维向量空间嵌入 n{displaystyle n}n-维中。则根由所有 n(n−1){displaystyle n(n-1)}n(n - 1) 置换 (1,−1,0,…,0){displaystyle (1,-1,0,dots ,0)}(1, -1, 0, dots, 0)。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为




(1,−1,0,…,0){displaystyle (1,-1,0,dots ,0)}(1, -1, 0, dots, 0),


(0,1,−1,…,0){displaystyle (0,1,-1,dots ,0)}(0, 1, -1, dots, 0),

…,


(0,0,0,…,1,−1){displaystyle (0,0,0,dots ,1,-1)}(0, 0, 0, dots, 1, -1).


它的嘉当矩阵是



(2−10…0−12−1…00−12…0⋮⋮⋮⋱⋮000…2){displaystyle {begin{pmatrix}2&-1&0&dots &0\-1&2&-1&dots &0\0&-1&2&dots &0\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&0&dots &2end{pmatrix}}} begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & dots & 0 \-1 & 2 & -1 & dots & 0 \ 0 & -1 & 2 & dots & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & 0 & dots & 2 end{pmatrix} .

它的外尔群或考克斯特群是对称群 Sn{displaystyle S_{n}}S_{n}，(n−1){displaystyle (n-1)}(n - 1)-单形的对称群。



广义特殊酉群


对一个域 F，F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。


特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有


M∈SU(p,q,R){displaystyle Min SU(p,q,R)}M in SU(p,q,R)

满足


M∗AM=A{displaystyle M^{*}AM=A,}M^{*} A M = A ,

detM=1.{displaystyle det M=1.,}det M = 1. ,

经常可以见到记号 SUp,q{displaystyle SU_{p,q}}SU_{p,q} 略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是


A=[00i0In−20−i00].{displaystyle A={begin{bmatrix}0&0&i\0&I_{n-2}&0\-i&0&0end{bmatrix}}.}<br /> A<br /> =<br /> begin{bmatrix}<br /> 0 & 0 & i \<br /> 0 & I_{n-2} & 0 \<br /> -i & 0 & 0<br /> end{bmatrix}.<br />

对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。



例子


这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 HC2{displaystyle HC^{2}}HC^2 上作用的基本域，参见 [1]。


另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。



重要子群


在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1：


SU(n)⊃SU(p)×SU(n−p)×U(1).{displaystyle SU(n)supset SU(p)times SU(n-p)times U(1).}<br /> SU(n) supset SU(p)times SU(n-p) times U(1).<br />

为了完整性，还有正交与辛子群：



SU(n)⊃O(n){displaystyle SU(n)supset O(n)}SU(n)supset O(n)

SU(2n)⊃USp(2n).{displaystyle SU(2n)supset USp(2n).}<br /> SU(2n) supset USp(2n).<br />


因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群：



SO(2n)⊃SU(n){displaystyle SO(2n)supset SU(n)}<br /> SO(2n) supset SU(n)<br />

USp(2n)⊃SU(n){displaystyle USp(2n)supset SU(n)}<br /> USp(2n) supset SU(n)<br />


Spin(4)=SU(2)×SU(2){displaystyle Spin(4)=SU(2)times SU(2)}<br /> Spin(4) = SU(2) times SU(2)<br /> （参见自旋群）

E6⊃SU(6){displaystyle E_{6}supset SU(6)}<br /> E_6 supset SU(6) <br />

E7⊃SU(8){displaystyle E_{7}supset SU(8)}<br /> E_7 supset SU(8)<br />


G2⊃SU(3){displaystyle G_{2}supset SU(3)}<br /> G_2 supset SU(3)<br /> （关于 E6, E7 与 G2 参见单李群）。


有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。


最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。



相关条目




  • SU(2)的表示论


  • 射影特殊酉群 PSU(n)



注释





  1. ^ R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.




参考文献




  • Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 

  • Maximal Subgroups of Compact Lie Groups



外部链接


  • Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003



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刘萌萌

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body.skin-minerva .mw-parser-output table.infobox caption{text-align:center} 刘萌萌 女演员 罗马拼音 Liu Meng Meng 英文名 Cya 国籍   中国 民族 汉族 出生 ( 1989-10-16 ) 1989年10月16日 （ 29歲）   中国辽宁省大连市 职业 演员、艺人 语言 汉语 教育程度 沈阳音乐学院 北京电影学院表演系进修班 活跃年代 2011年至今 唱片公司 浙江永乐影视制作有限公司 经纪公司 浙江永乐影视制作有限公司 网站 刘萌萌 官方微博 刘萌萌 （1989年10月16日 － ），汉族，中国演员，2010年参加湖南卫视《芒果训练营》而出道至今，凭借电视剧《爱情公寓》“诺澜”一角走红。北京电影学院10级表演系（进修班）毕业。 目录 1 主要经历 2 影视作品 2.1 电视剧 2.2 电影 2.3 综艺节目 3 参考文献 4 外部链接 主要经历 1989年，出生于辽宁省大连市一个工人家庭； 2006年，考入沈阳音乐学院舞蹈系本科班学习； 2010年，参加湖南卫视《芒果训练营》演艺新秀比赛而出道 [1] ；進入北京电影学院表演系进修班 2011年，出演电视剧《隋唐演义》“琼花公主”一角色； 2012年，担任电视剧《爱情公寓》“诺澜”一角并开始走红 [2] ； 2013年，担任电视剧《利箭纵横》《利剑行动》 [3] 女主角“林筱雨” 2014年，参加江苏卫视真人秀栏目《花样年华》 [4] 备受瞩目 [5] 。 影视作品 电视剧 首播年份 剧名 角色 备注 2012 《爱情公寓3》 诺澜 2012 《利箭行动》 林筱雨 2013 《隋唐演义》 琼花公主 2013 《决战燕子门》 马晓婉 2014 《利箭纵横》 林筱雨 2014 《屌丝日记》 林洛霏 網絡劇 2014 《爱情公寓4》 诺澜 ...
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