Z轉換

傅里叶变换 Z轉換 傅里叶级数 傅里叶变换 离散傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 分数傅里叶变换 短时距傅立叶变换 小波变换 離散小波變換 连续小波变换

  關於统计学中的标准Z-分数，請見“標準分數”。關於统计学中的Fisher Z-转换，請見“费雪转换”。

在數學和信号处理中，Z轉換（英语：Z-transform）把一連串離散的實數或複數訊號，從時域轉為复頻域表示。

可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性

目录

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  1 历史
  


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  2 定義
  
  
  
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    2.1 双边Z变换
    
  
  
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    2.2 单边Z变换
    
  
  
  • 
    2.3 地球物理学定义
    
  
  
  
  


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  3 逆Z变换
  


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  4 收敛域
  
  
  
  • 
    4.1 例1（无ROC）
    
  
  
  • 
    4.2 例2（因果ROC）
    
  
  
  • 
    4.3 例3（非因果ROC）
    
  
  
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    4.4 实例结论
    
  
  
  
  


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  5 性质
  


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  6 常见的Z变换对表
  


• 
  7 与傅里叶级数和傅里叶变换的关系
  


• 
  8 和拉氏变換的關係
  
  
  
  • 
    8.1 双线性变换
    
  
  
  
  


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  9 线性常系数差分方程
  
  
  
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    9.1 传递函数
    
  
  
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    9.2 零点和极点
    
  
  
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    9.3 输出响应
    
  
  
  
  


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  10 参见
  


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  11 参考文献
  


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  12 延伸阅读
  


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  13 外部链接
  

历史

现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W. Hurewicz（英语：Witold Hurewicz）用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。^[1] 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的雷加基尼和查德称其为“Z变换”。^[2][3]

E. I. Jury后来发展并推广了改进或高级Z变换。^[4][5]

Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。^[6]
从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。

定義

像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。

双边Z变换

双边Z轉換把离散時域信号 x[n] 轉為形式幂级数 X(Z)。

X(z)=Z{x[n]}=∑n=−∞∞x[n]z−n{displaystyle X(z)={mathcal {Z}}{x[n]}=sum _{n=-infty }^{infty }x[n]z^{-n}}

當中 n{displaystyle n} 是整數，z{displaystyle z} 是複數变量，其表示方式為

z=Aejϕ=A(cos⁡ϕ+jsin⁡ϕ){displaystyle z=Ae^{jphi }=A(cos {phi }+jsin {phi }),}

其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位，而 ɸ 为幅角（也叫相位角），用弧度表示。

单边Z变换

另外，只对 n ≥ 0 定义的 x[n]，单边Z变换定义为

X(z)=Z{x[n]}=∑n=0∞x[n]z−n.{displaystyle X(z)={mathcal {Z}}{x[n]}=sum _{n=0}^{infty }x[n]z^{-n}.}

在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。

单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s)，用 s = z⁻¹ 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。

地球物理学定义

地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z⁻¹ 的。例如，Robinson、Treitel^[7]和Kanasewich都使用这个惯例。^[8] 地球物理定义为：

X(z)=Z{x[n]}=∑nx[n]zn.{displaystyle X(z)={mathcal {Z}}{x[n]}=sum _{n}x[n]z^{n}.}

这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。^[7][8]
因此，需要注意特定作者使用的定义。

逆Z变换

逆Z变换为

x[n]=Z−1{X(z)}=12πj∮C⁡X(z)zn−1dz{displaystyle x[n]={mathcal {Z}}^{-1}{X(z)}={frac {1}{2pi j}}oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}

其中 C 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。

这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：

x[n]=12π∫−π+πX(ejω)ejωndω.{displaystyle x[n]={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{+pi }X(e^{jomega })e^{jomega n}domega .}

有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。

收敛域

收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。

ROC={z:|∑n=−∞∞x[n]z−n|<∞}{displaystyle ROC=left{z:left|sum _{n=-infty }^{infty }x[n]z^{-n}right|<infty right}}

例1（无ROC）

令 x[n] = (0.5)ⁿ。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 成为

x[n]={⋯,0.5−3,0.5−2,0.5−1,1,0.5,0.52,0.53,⋯}={⋯,23,22,2,1,0.5,0.52,0.53,⋯}.{displaystyle x[n]=left{cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},cdots right}=left{cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},cdots right}.}

观察上面的和

∑n=−∞∞x[n]z−n→∞.{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }x[n]z^{-n}to infty .}

因此，没有一个 z 值可以满足这个条件。

例2（因果ROC）

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（外圈者，而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示（內圈者）

令 x[n]=0.5nu[n] {displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n] }（其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

x[n]={⋯,0,0,0,1,0.5,0.52,0.53,⋯}.{displaystyle x[n]=left{cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},cdots right}.}

观察这个和

∑n=−∞∞x[n]z−n=∑n=0∞0.5nz−n=∑n=0∞(0.5z)n=11−0.5z−1.{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }x[n]z^{-n}=sum _{n=0}^{infty }0.5^{n}z^{-n}=sum _{n=0}^{infty }left({frac {0.5}{z}}right)^{n}={frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}

最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z⁻¹| < 1 时成立，可以以 z 为变量写成 |z| > 0.5。因此，收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。

例3（非因果ROC）

ROC用蓝色表示，单位圆用灰色虚点圆表示（用眼睛看会呈红色），而 |z| = 0.5 这个圆用虚线圆表示

令 x[n]=−(0.5)nu[−n−1] {displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1] }（其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到

x[n]={⋯,−(0.5)−3,−(0.5)−2,−(0.5)−1,0,0,0,0,⋯}.{displaystyle x[n]=left{cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,cdots right}.}

观察这个和

∑n=−∞∞x[n]z−n=−∑n=−∞−10.5nz−n=−∑m=1∞(z0.5)m=1−11−0.5−1z=11−0.5z−1{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }x[n]z^{-n}=-sum _{n=-infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-sum _{m=1}^{infty }left({frac {z}{0.5}}right)^{m}=1-{frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={frac {1}{1-0.5z^{-1}}}}

再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5⁻¹z| < 1 时成立，可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此，收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。

本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。

实例结论

实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，x[n] 的Z变换 X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图（英语：pole–zero plot）表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域永远不会包含极点。

在例2中，因果系统产生一个包含 |z| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 |z| = 0 的收敛域。

ROC表示为蓝色圆环 0.5 < |z| < 0.75

在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，

x[n]=0.5nu[n]−0.75nu[−n−1]{displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]}

的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)ⁿu[n] 和一个非因果项 −(0.75)ⁿu[−n−1]。

一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z| > 0.5 包含单位圆。

如果给定一个没有收敛域的Z变换（即模糊的 x[n]），可以确定一个唯一的 x[n] 满足下列：

• 稳定性


• 因果性

如果你要稳定性，收敛域必须包含单位圆；如果你需要一个因果系统，收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果你需要一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果你既要稳定性，也要因果性，系统函数的所有极点都必须在单位圆内。

可以找到唯一的 x[n]。

性质

Z变换性质

	时域	Z域	证明	收敛域
记法	x[n]=Z−1{X(z)}{displaystyle x[n]={mathcal {Z}}^{-1}{X(z)}}	X(z)=Z{x[n]}{displaystyle X(z)={mathcal {Z}}{x[n]}}		r2<|z|<r1{displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}
線性	a1x1[n]+a2x2[n]{displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}	a1X1(z)+a2X2(z){displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}	X(z)=∑n=−∞∞(a1x1(n)+a2x2(n))z−n=a1∑n=−∞∞x1(n)z−n+a2∑n=−∞∞x2(n)z−n=a1X1(z)+a2X2(z){displaystyle {begin{aligned}X(z)&=sum _{n=-infty }^{infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\&=a_{1}sum _{n=-infty }^{infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}sum _{n=-infty }^{infty }x_{2}(n)z^{-n}\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)end{aligned}}}	包含 ROC1 ∩ ROC2
时间膨胀	xK[n]={x[r],n=rK0,n≠rK{displaystyle x_{K}[n]={begin{cases}x[r],&n=rK\0,&nnot =rKend{cases}}} r: 整数	X(zK){displaystyle X(z^{K})}	XK(z)=∑n=−∞∞xK(n)z−n=∑r=−∞∞x(r)z−rK=∑r=−∞∞x(r)(zK)−r=X(zK){displaystyle {begin{aligned}X_{K}(z)&=sum _{n=-infty }^{infty }x_{K}(n)z^{-n}\&=sum _{r=-infty }^{infty }x(r)z^{-rK}\&=sum _{r=-infty }^{infty }x(r)(z^{K})^{-r}\&=X(z^{K})end{aligned}}}	R1K{displaystyle R^{frac {1}{K}}}
降采样	x[nK]{displaystyle x[nK]}	1K∑p=0K−1X(z1K⋅e−i2πKp){displaystyle {frac {1}{K}}sum _{p=0}^{K-1}Xleft(z^{tfrac {1}{K}}cdot e^{-i{tfrac {2pi }{K}}p}right)}	ohio-state.edu  或  ee.ic.ac.uk
时移	x[n−k]{displaystyle x[n-k]}	z−kX(z){displaystyle z^{-k}X(z)}	Z{x[n−k]}=∑n=0∞x[n−k]z−n=∑j=−k∞x[j]z−(j+k)j=n−k=∑j=−k∞x[j]z−jz−k=z−k∑j=−k∞x[j]z−j=z−k∑j=0∞x[j]z−jx[β]=0,β<0=z−kX(z){displaystyle {begin{aligned}Z{x[n-k]}&=sum _{n=0}^{infty }x[n-k]z^{-n}\&=sum _{j=-k}^{infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\&=sum _{j=-k}^{infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\&=z^{-k}sum _{j=-k}^{infty }x[j]z^{-j}\&=z^{-k}sum _{j=0}^{infty }x[j]z^{-j}&&x[beta ]=0,beta <0\&=z^{-k}X(z)end{aligned}}}	ROC，除了 k > 0 时 z = 0 和 k < 0 时 z = ∞
Z域的 尺度性质	anx[n]{displaystyle a^{n}x[n]}	X(a−1z){displaystyle X(a^{-1}z)}	Z{anx[n]}=∑n=−∞∞anx(n)z−n=∑n=−∞∞x(n)(a−1z)−n=X(a−1z){displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}left{a^{n}x[n]right}&=sum _{n=-infty }^{infty }a^{n}x(n)z^{-n}\&=sum _{n=-infty }^{infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\&=X(a^{-1}z)end{aligned}}}	|a|r2<|z|<|a|r1{displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}
时间反转	x[−n]{displaystyle x[-n]}	X(z−1){displaystyle X(z^{-1})}	Z{x(−n)}=∑n=−∞∞x(−n)z−n=∑m=−∞∞x(m)zm=∑m=−∞∞x(m)(z−1)−m=X(z−1){displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}{x(-n)}&=sum _{n=-infty }^{infty }x(-n)z^{-n}\&=sum _{m=-infty }^{infty }x(m)z^{m}\&=sum _{m=-infty }^{infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\&=X(z^{-1})\end{aligned}}}	1r1<|z|<1r2{displaystyle {tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{tfrac {1}{r_{2}}}}
共轭复数	x∗[n]{displaystyle x^{*}[n]}	X∗(z∗){displaystyle X^{*}(z^{*})}	Z{x∗(n)}=∑n=−∞∞x∗(n)z−n=∑n=−∞∞[x(n)(z∗)−n]∗=[∑n=−∞∞x(n)(z∗)−n]∗=X∗(z∗){displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}{x^{*}(n)}&=sum _{n=-infty }^{infty }x^{*}(n)z^{-n}\&=sum _{n=-infty }^{infty }left[x(n)(z^{*})^{-n}right]^{*}\&=left[sum _{n=-infty }^{infty }x(n)(z^{*})^{-n}right]^{*}\&=X^{*}(z^{*})end{aligned}}}
实部	Re⁡{x[n]}{displaystyle operatorname {Re} {x[n]}}	12[X(z)+X∗(z∗)]{displaystyle {tfrac {1}{2}}left[X(z)+X^{*}(z^{*})right]}
虚部	Im⁡{x[n]}{displaystyle operatorname {Im} {x[n]}}	12j[X(z)−X∗(z∗)]{displaystyle {tfrac {1}{2j}}left[X(z)-X^{*}(z^{*})right]}
微分	nx[n]{displaystyle nx[n]}	−zdX(z)dz{displaystyle -z{frac {dX(z)}{dz}}}	Z{nx(n)}=∑n=−∞∞nx(n)z−n=z∑n=−∞∞nx(n)z−n−1=−z∑n=−∞∞x(n)(−nz−n−1)=−z∑n=−∞∞x(n)ddz(z−n)=−zdX(z)dz{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}{nx(n)}&=sum _{n=-infty }^{infty }nx(n)z^{-n}\&=zsum _{n=-infty }^{infty }nx(n)z^{-n-1}\&=-zsum _{n=-infty }^{infty }x(n)(-nz^{-n-1})\&=-zsum _{n=-infty }^{infty }x(n){frac {d}{dz}}(z^{-n})\&=-z{frac {dX(z)}{dz}}end{aligned}}}
卷积	x1[n]∗x2[n]{displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}	X1(z)X2(z){displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}	Z{x1(n)∗x2(n)}=Z{∑l=−∞∞x1(l)x2(n−l)}=∑n=−∞∞[∑l=−∞∞x1(l)x2(n−l)]z−n=∑l=−∞∞x1(l)[∑n=−∞∞x2(n−l)z−n]=[∑l=−∞∞x1(l)z−l][∑n=−∞∞x2(n)z−n]=X1(z)X2(z){displaystyle {begin{aligned}{mathcal {Z}}{x_{1}(n)*x_{2}(n)}&={mathcal {Z}}left{sum _{l=-infty }^{infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)right}\&=sum _{n=-infty }^{infty }left[sum _{l=-infty }^{infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)right]z^{-n}\&=sum _{l=-infty }^{infty }x_{1}(l)left[sum _{n=-infty }^{infty }x_{2}(n-l)z^{-n}right]\&=left[sum _{l=-infty }^{infty }x_{1}(l)z^{-l}right]!!left[sum _{n=-infty }^{infty }x_{2}(n)z^{-n}right]\&=X_{1}(z)X_{2}(z)end{aligned}}}	包含 ROC1 ∩ ROC2
互相关	rx1,x2=x1∗[−n]∗x2[n]{displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}	Rx1,x2(z)=X1∗(1z∗)X2(z){displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}		包含 X1(1z∗){displaystyle X_{1}({tfrac {1}{z^{*}}})} 与 X2(z){displaystyle X_{2}(z)} 的ROC的交集
一阶差分	x[n]−x[n−1]{displaystyle x[n]-x[n-1]}	(1−z−1)X(z){displaystyle (1-z^{-1})X(z)}		包含 X1(z) 与 z ≠ 0 的ROC的交集
累积	∑k=−∞nx[k]{displaystyle sum _{k=-infty }^{n}x[k]}	11−z−1X(z){displaystyle {frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}	∑n=−∞∞∑k=−∞nx[k]z−n=∑n=−∞∞(x[n]+⋯+x[−∞])z−n=X[z](1+z−1+z−2+⋯)=X[z]∑j=0∞z−j=X[z]11−z−1{displaystyle {begin{aligned}sum _{n=-infty }^{infty }sum _{k=-infty }^{n}x[k]z^{-n}&=sum _{n=-infty }^{infty }(x[n]+cdots +x[-infty ])z^{-n}\&=X[z]left(1+z^{-1}+z^{-2}+cdots right)\&=X[z]sum _{j=0}^{infty }z^{-j}\&=X[z]{frac {1}{1-z^{-1}}}end{aligned}}}
乘法	x1[n]x2[n]{displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}	1j2π∮C⁡X1(v)X2(zv)v−1dv{displaystyle {frac {1}{j2pi }}oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({tfrac {z}{v}})v^{-1}mathrm {d} v}		-

帕塞瓦尔定理

∑n=−∞∞x1[n]x2∗[n]=1j2π∮C⁡X1(v)X2∗(1v∗)v−1dv{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]quad =quad {frac {1}{j2pi }}oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}mathrm {d} v}

初值定理：如果 x[n] 为因果的，那么

x[0]=limz→∞X(z).{displaystyle x[0]=lim _{zto infty }X(z).}

终值定理：如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内，则

x[∞]=limz→1(z−1)X(z).{displaystyle x[infty ]=lim _{zto 1}(z-1)X(z).}

常见的Z变换对表

这里：

u:n↦u[n]={1,n≥00,n<0{displaystyle u:nmapsto u[n]={begin{cases}1,&ngeq 0\0,&n<0end{cases}}}

是单位阶跃函数而

δ:n↦δ[n]={1,n=00,n≠0{displaystyle delta :nmapsto delta [n]={begin{cases}1,&n=0\0,&nneq 0end{cases}}}

是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。

	信号，x[n]{displaystyle x[n]}	Z变换，X(z){displaystyle X(z)}	ROC
1	δ[n]{displaystyle delta [n]}	1	所有 z
2	δ[n−n0]{displaystyle delta [n-n_{0}]}	z−n0{displaystyle z^{-n_{0}}}	z≠0{displaystyle zneq 0}
3	u[n]{displaystyle u[n],}	11−z−1{displaystyle {frac {1}{1-z^{-1}}}}	|z|>1{displaystyle |z|>1}
4	e−αnu[n]{displaystyle e^{-alpha n}u[n]}	11−e−αz−1{displaystyle 1 over 1-e^{-alpha }z^{-1}}	|z|>e−α{displaystyle |z|>e^{-alpha },}
5	−u[−n−1]{displaystyle -u[-n-1]}	11−z−1{displaystyle {frac {1}{1-z^{-1}}}}	|z|<1{displaystyle |z|<1}
6	nu[n]{displaystyle nu[n]}	z−1(1−z−1)2{displaystyle {frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}	|z|>1{displaystyle |z|>1}
7	−nu[−n−1]{displaystyle -nu[-n-1],}	z−1(1−z−1)2{displaystyle {frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}	|z|<1{displaystyle |z|<1}
8	n2u[n]{displaystyle n^{2}u[n]}	z−1(1+z−1)(1−z−1)3{displaystyle {frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}	|z|>1{displaystyle |z|>1,}
9	−n2u[−n−1]{displaystyle -n^{2}u[-n-1],}	z−1(1+z−1)(1−z−1)3{displaystyle {frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}	|z|<1{displaystyle |z|<1,}
10	n3u[n]{displaystyle n^{3}u[n]}	z−1(1+4z−1+z−2)(1−z−1)4{displaystyle {frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}	|z|>1{displaystyle |z|>1,}
11	−n3u[−n−1]{displaystyle -n^{3}u[-n-1]}	z−1(1+4z−1+z−2)(1−z−1)4{displaystyle {frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}	|z|<1{displaystyle |z|<1,}
12	anu[n]{displaystyle a^{n}u[n]}	11−az−1{displaystyle {frac {1}{1-az^{-1}}}}	|z|>|a|{displaystyle |z|>|a|}
13	−anu[−n−1]{displaystyle -a^{n}u[-n-1]}	11−az−1{displaystyle {frac {1}{1-az^{-1}}}}	|z|<|a|{displaystyle |z|<|a|}
14	nanu[n]{displaystyle na^{n}u[n]}	az−1(1−az−1)2{displaystyle {frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}	|z|>|a|{displaystyle |z|>|a|}
15	−nanu[−n−1]{displaystyle -na^{n}u[-n-1]}	az−1(1−az−1)2{displaystyle {frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}	|z|<|a|{displaystyle |z|<|a|}
16	n2anu[n]{displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}	az−1(1+az−1)(1−az−1)3{displaystyle {frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}	|z|>|a|{displaystyle |z|>|a|}
17	−n2anu[−n−1]{displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}	az−1(1+az−1)(1−az−1)3{displaystyle {frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}	|z|<|a|{displaystyle |z|<|a|}
18	cos⁡(ω0n)u[n]{displaystyle cos(omega _{0}n)u[n]}	1−z−1cos⁡(ω0)1−2z−1cos⁡(ω0)+z−2{displaystyle {frac {1-z^{-1}cos(omega _{0})}{1-2z^{-1}cos(omega _{0})+z^{-2}}}}	|z|>1{displaystyle |z|>1}
19	sin⁡(ω0n)u[n]{displaystyle sin(omega _{0}n)u[n]}	z−1sin⁡(ω0)1−2z−1cos⁡(ω0)+z−2{displaystyle {frac {z^{-1}sin(omega _{0})}{1-2z^{-1}cos(omega _{0})+z^{-2}}}}	|z|>1{displaystyle |z|>1}
20	ancos⁡(ω0n)u[n]{displaystyle a^{n}cos(omega _{0}n)u[n]}	1−az−1cos⁡(ω0)1−2az−1cos⁡(ω0)+a2z−2{displaystyle {frac {1-az^{-1}cos(omega _{0})}{1-2az^{-1}cos(omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}	|z|>|a|{displaystyle |z|>|a|}
21	ansin⁡(ω0n)u[n]{displaystyle a^{n}sin(omega _{0}n)u[n]}	az−1sin⁡(ω0)1−2az−1cos⁡(ω0)+a2z−2{displaystyle {frac {az^{-1}sin(omega _{0})}{1-2az^{-1}cos(omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}	|z|>|a|{displaystyle |z|>|a|}

与傅里叶级数和傅里叶变换的关系

对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=e^jω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：

∑n=−∞∞x[n] z−n=∑n=−∞∞x[n] e−jωn,{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }x[n] z^{-n}=sum _{n=-infty }^{infty }x[n] e^{-jomega n},}

(Eq.1)

也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的周期性求和（英语：periodic summation），这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作：

∑n=−∞∞x(nT)⏞x[n] e−j2πfnT⏟DTFT=1T∑k=−∞∞X(f−k/T).{displaystyle underbrace {sum _{n=-infty }^{infty }overbrace {x(nT)} ^{x[n]} e^{-j2pi fnT}} _{text{DTFT}}={frac {1}{T}}sum _{k=-infty }^{infty }X(f-k/T).}

若T的單位是秒，f{displaystyle textstyle f}的單位即為赫兹。比較兩個數列可得 ω=2πfT{displaystyle textstyle omega =2pi fT} 為标准化频率（英语：Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations），單位是radians per sample。數值ω=2π對應f=1T{displaystyle textstyle f={frac {1}{T}}} Hz. ，而且在替換 f=ω2πT,{displaystyle textstyle f={frac {omega }{2pi T}},}後，  Eq.1可以表示為傅里叶变换X(•):

∑n=−∞∞x[n] e−jωn=1T∑k=−∞∞X(ω2πT−kT)⏟X(ω−2πk2πT).{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }x[n] e^{-jomega n}={frac {1}{T}}sum _{k=-infty }^{infty }underbrace {Xleft({tfrac {omega }{2pi T}}-{tfrac {k}{T}}right)} _{Xleft({frac {omega -2pi k}{2pi T}}right)}.}

若數列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，這些函數也稱為频率响应，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函数表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的离散傅里叶变换來計算。（參照離散傅立葉變換#周期性）

和拉氏变換的關係

双线性变换

双线性变换可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：

s=2T(z−1)(z+1){displaystyle s={frac {2}{T}}{frac {(z-1)}{(z+1)}}}

將一個拉氏域的函數H(s){displaystyle H(s)}轉換為Z域下的H(z){displaystyle H(z)}，或是

z=2+sT2−sT{displaystyle z={frac {2+sT}{2-sT}}}

從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换，複數的s平面（拉氏变換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的单位圆內。因此，傅立葉變換（在jΩ axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏变換的收斂區域包括jΩ軸。

线性常系数差分方程

线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。

∑p=0Ny[n−p]αp=∑q=0Mx[n−q]βq{displaystyle sum _{p=0}^{N}y[n-p]alpha _{p}=sum _{q=0}^{M}x[n-q]beta _{q}}

上面等式两边可以同时除以 α₀，如果非零，正规化 α₀ = 1，LCCD方程可以写成

y[n]=∑q=0Mx[n−q]βq−∑p=1Ny[n−p]αp.{displaystyle y[n]=sum _{q=0}^{M}x[n-q]beta _{q}-sum _{p=1}^{N}y[n-p]alpha _{p}.}

LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p]、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。

传递函数

对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到

Y(z)∑p=0Nz−pαp=X(z)∑q=0Mz−qβq{displaystyle Y(z)sum _{p=0}^{N}z^{-p}alpha _{p}=X(z)sum _{q=0}^{M}z^{-q}beta _{q}}

整理结果

H(z)=Y(z)X(z)=∑q=0Mz−qβq∑p=0Nz−pαp=β0+z−1β1+z−2β2+⋯+z−MβMα0+z−1α1+z−2α2+⋯+z−NαN.{displaystyle H(z)={frac {Y(z)}{X(z)}}={frac {sum _{q=0}^{M}z^{-q}beta _{q}}{sum _{p=0}^{N}z^{-p}alpha _{p}}}={frac {beta _{0}+z^{-1}beta _{1}+z^{-2}beta _{2}+cdots +z^{-M}beta _{M}}{alpha _{0}+z^{-1}alpha _{1}+z^{-2}alpha _{2}+cdots +z^{-N}alpha _{N}}}.}

零点和极点

由代数基本定理得知分子有 M 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为

H(z)=(1−q1z−1)(1−q2z−1)⋯(1−qMz−1)(1−p1z−1)(1−p2z−1)⋯(1−pNz−1){displaystyle H(z)={frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})cdots (1-p_{N}z^{-1})}}}

其中 q_k 为 k 阶零点，p_k 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为零极点图（英语：pole–zero plot）。

此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。

通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。

输出响应

如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 y[n]。在实际运用中，在分式分解 Y(z)z{displaystyle {frac {Y(z)}{z}}} 之后再乘 z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。

参见

• 高级Z变换


• 双线性变换


• 
  差分方程（遞迴關係式）


• 离散卷积


• 离散时间傅里叶变换


• 有限脉冲响应


• 形式幂级数


• 拉普拉斯变换


• 洛朗级数


• 概率母函数


• Star变换（英语：Star transform）


• Zak变换（英语：Zak transform）


• ζ函数正规化（英语：Zeta function regularization）

参考文献

1. 
   ^ E. R. Kanasewich. Time sequence analysis in geophysics 3rd. University of Alberta. 1981: 185–186. ISBN 978-0-88864-074-1. 
   


2. 
   ^ J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh. The analysis of sampled-data systems. Trans. Am. Inst. Elec. Eng. 1952, 71 (II): 225–234. 
   


3. 
   ^ Cornelius T. Leondes. Digital control systems implementation and computational techniques. Academic Press. 1996: 123. ISBN 978-0-12-012779-5. 
   


4. 
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   Eliahu Ibrahim Jury. Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons. 1958. 
   


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   ^
   Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. Krieger Pub Co. 1973. ISBN 0-88275-122-0. 
   


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   Eliahu Ibrahim Jury. Theory and Application of the Z-Transform Method. John Wiley & Sons. 1964: 1. 
   


7. 
   ^ ^7.07.1
   Enders A. Robinson, Sven Treitel. Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing Digital Imaging and Deconvolution: The ABCs of Seismic Exploration and Processing. SEG Books. 2008: 163, 375–376. ISBN 9781560801481. 
   


8. 
   ^ ^8.08.1
   E. R. Kanasewich. Time Sequence Analysis in Geophysics. University of Alberta. 1981: 186, 249. ISBN 9780888640741. 
   

延伸阅读

• Refaat El Attar, Lecture notes on Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 978-1-4116-1979-1.


• Ogata, Katsuhiko, Discrete Time Control Systems 2nd Ed, Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 978-0-13-034281-2.


• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing, 2nd Edition, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 978-0-13-754920-7.

外部链接

• 
  Hazewinkel, Michiel (编), Z-transform, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• Z-Transform table of some common Laplace transforms


• Mathworld's entry on the Z-transform


• Z-Transform threads in Comp.DSP


• Z-Transform Module by John H. Mathews


• A graphic of the relationship between Laplace transform s-plane to Z-plane of the Z transform

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